Determinante

El determinante tiene varias propiedades clave que pueden probarse mediante la evaluación directa de la definición para${\displaystyle 2\times 2}$matrices, y que siguen siendo válidas para determinantes de matrices más grandes. Son las siguientes: ^{[ 1 ]} primero, el determinante de la matriz identidad${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$es 1. Segundo, el determinante es cero si dos filas son iguales:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}}=ab-ba=0.}$

Esto se cumple de manera similar si las dos columnas son iguales. Además,

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b+b'\\c&d+d'\end{vmatrix}}=a(d+d')-(b+b')c={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a&b'\\c&d'\end{vmatrix}}.}$

Finalmente, si alguna columna se multiplica por algún número${\displaystyle r}$(es decir, todas las entradas de esa columna se multiplican por ese número), el determinante también se multiplica por ese número:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}r\cdot a&b\\r\cdot c&d\end{vmatrix}}=rad-brc=r(ad-bc)=r\cdot {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}.}$

El determinante se puede caracterizar por las siguientes tres propiedades clave. Para enunciarlas, es conveniente considerar un${\displaystyle n\times n}$matriz A como compuesta de su${\displaystyle n}$columnas, así denominadas como

${\displaystyle A={\big (}a_{1},\dots ,a_{n}{\big )},}$

donde el vector columna${\displaystyle a_{i}}$(para cada i ) está compuesta por las entradas de la matriz en la i -ésima columna.

2. ${\displaystyle \det \left(I\right)=1}$, dónde${\displaystyle I}$es una matriz identidad .
4. El determinante es multilineal : si la j -ésima columna de una matriz${\displaystyle A}$se escribe como una combinación lineal${\displaystyle a_{j}=r\cdot v+w}$Si A tiene dos vectores columna v y w y un número r , entonces el determinante de A se puede expresar como una combinación lineal similar:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}|A|&={\big |}a_{1},\dots ,a_{j-1},r\cdot v+w,a_{j+1},\dots ,a_{n}|\\&=r\cdot |a_{1},\dots ,v,\dots a_{n}|+|a_{1},\dots ,w,\dots ,a_{n}|\end{aligned}}}$

6. El determinante es alternante : siempre que dos columnas de una matriz son idénticas, su determinante es 0:

   ${\displaystyle |a_{1},\dots ,v,\dots ,v,\dots ,a_{n}|=0.}$

Si el determinante se define utilizando la fórmula de Leibniz como se indicó anteriormente, estas tres propiedades se pueden demostrar mediante la inspección directa de dicha fórmula. Algunos autores también abordan el determinante directamente utilizando estas tres propiedades: se puede demostrar que existe exactamente una función que asigna a cualquier${\displaystyle n\times n}$matriz A un número que satisface estas tres propiedades. ^{[ 5 ]} Esto también muestra que este enfoque más abstracto del determinante produce la misma definición que la que utiliza la fórmula de Leibniz.

Para comprobarlo, basta con expandir el determinante mediante multilinealidad en las columnas en una (enorme) combinación lineal de determinantes de matrices en la que cada columna es un vector base estándar . Estos determinantes son 0 (si las columnas son linealmente dependientes, según la propiedad 3) o ±1 (según las propiedades 1 y 3; el signo negativo aparece cuando las columnas se permutan según una permutación impar ), por lo que la combinación lineal da la expresión anterior en términos del símbolo de Levi-Civita. Si bien su apariencia es menos técnica, esta caracterización no puede reemplazar por completo la fórmula de Leibniz para definir el determinante, ya que sin ella no está clara la existencia de una función adecuada.

Estas reglas tienen varias consecuencias adicionales:

• El determinante es una función homogénea , es decir,$${\displaystyle \det(cA)=c^{n}\det(A)}$$(para un${\displaystyle n\times n}$matriz${\displaystyle A}$).
• Intercambiar cualquier par de columnas de una matriz multiplica su determinante por  −1. Esto se deduce de que el determinante es multilineal y alternante (propiedades 2 y 3 anteriores):$${\displaystyle |a_{1},\dots ,a_{j},\dots a_{i},\dots ,a_{n}|=-|a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{j},\dots ,a_{n}|.}$$Esta fórmula se puede aplicar de forma iterativa cuando se intercambian varias columnas. Por ejemplo$${\displaystyle |a_{3},a_{1},a_{2},a_{4}\dots ,a_{n}|=-|a_{1},a_{3},a_{2},a_{4},\dots ,a_{n}|=|a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\dots ,a_{n}|.}$$En términos más generales, cualquier permutación de las columnas multiplica el determinante por el signo de la permutación.
• Si alguna columna puede expresarse como una combinación lineal de las demás columnas (es decir, las columnas de la matriz forman un conjunto linealmente dependiente ), el determinante es 0. Como caso especial, esto incluye: si alguna columna tiene todos sus elementos iguales a cero, entonces el determinante de esa matriz es 0.
• Sumar un múltiplo escalar de una columna a otra no altera el valor del determinante. Esto se debe a la multilinealidad y a la alternancia: por multilinealidad, el determinante cambia en un múltiplo del determinante de una matriz con dos columnas iguales, cuyo determinante es cero, ya que el determinante es alternante.
• Si${\displaystyle A}$es una matriz triangular , es decir${\displaystyle a_{ij}=0}$, cuando sea${\displaystyle i>j}$o, alternativamente, cuando${\displaystyle i<j}$, entonces su determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal:$${\displaystyle \det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}.}$$De hecho, dicha matriz puede reducirse, añadiendo adecuadamente múltiplos de las columnas con menos entradas no nulas a aquellas con más entradas, a una matriz diagonal (sin cambiar el determinante). Para dicha matriz, el uso de la linealidad en cada columna reduce a la matriz identidad, en cuyo caso la fórmula enunciada se cumple por la primera propiedad que caracteriza a los determinantes. Alternativamente, esta fórmula también puede deducirse de la fórmula de Leibniz, ya que la única permutación${\displaystyle \sigma }$La permutación identidad es aquella que aporta una contribución distinta de cero.

El determinante de la transpuesta de${\displaystyle A}$es igual al determinante de A :

${\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(A)}$.

Esto se puede comprobar examinando la fórmula de Leibniz. ^{[ 6 ]} Esto implica que en todas las propiedades mencionadas anteriormente, la palabra "columna" puede sustituirse por "fila". Por ejemplo, si consideramos una matriz n × n compuesta por n filas, el determinante es una función n -lineal.

El determinante es una aplicación multiplicativa , es decir, para matrices cuadradas.${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Si son de igual tamaño, el determinante de un producto matricial es igual al producto de sus determinantes:

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$

Este hecho clave puede probarse observando que, para una matriz fija${\displaystyle B}$, ambos lados de la ecuación son alternantes y multilineales como una función que depende de las columnas de${\displaystyle A}$. Además, ambos toman el valor${\displaystyle \det B}$cuando${\displaystyle A}$es la matriz identidad. La caracterización única de los mapas multilineales alternados mencionada anteriormente demuestra, por lo tanto, esta afirmación. ^{[ 7 ]}

Una matriz${\displaystyle A}$Una matriz con entradas en un campo es invertible precisamente si su determinante es distinto de cero. Esto se deduce de la multiplicatividad del determinante y de la fórmula para la inversa que involucra la matriz adjunta mencionada a continuación. En este caso, el determinante de la matriz inversa viene dado por

${\displaystyle \det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}=[\det(A)]^{-1}}$.

En particular, los productos e inversas de matrices con determinante distinto de cero (respectivamente, determinante uno) aún conservan esta propiedad. Por lo tanto, el conjunto de tales matrices (de tamaño fijo)${\displaystyle n}$sobre un campo${\displaystyle K}$) forma un grupo conocido como el grupo lineal general${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$(respectivamente, un subgrupo llamado grupo lineal especial${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(K)\subset \operatorname {GL} _{n}(K)}$. De manera más general, la palabra "especial" indica el subgrupo de otro grupo matricial de matrices de determinante uno. Ejemplos incluyen el grupo ortogonal especial (que si n es 2 o 3 consta de todas las matrices de rotación ), y el grupo unitario especial .

Debido a que el determinante respeta la multiplicación y los inversos, de hecho es un homomorfismo de grupo de${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$en el grupo multiplicativo${\displaystyle K^{\times }}$de elementos distintos de cero de${\displaystyle K}$Este homomorfismo es sobreyectivo y su núcleo es ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(K)}$(las matrices con determinante uno). Por lo tanto, según el primer teorema de isomorfismo , esto demuestra que${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(K)}$es un subgrupo normal de${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$y que el grupo cociente${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)/\operatorname {SL} _{n}(K)}$es isomorfo a${\displaystyle K^{\times }}$.

La fórmula de Cauchy-Binet es una generalización de la fórmula del producto para matrices rectangulares . Esta fórmula también puede reformularse como una fórmula multiplicativa para matrices compuestas cuyos elementos son los determinantes de todas las submatrices cuadráticas de una matriz dada. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

La expansión de Laplace expresa el determinante de una matriz.${\displaystyle A}$recursivamente en términos de determinantes de matrices más pequeñas, conocidas como sus menores . El menor${\displaystyle M_{i,j}}$se define como el determinante de la${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$matriz que resulta de${\displaystyle A}$eliminando el${\displaystyle i}$-ésima fila y la${\displaystyle j}$-ésima columna. La expresión${\displaystyle (-1)^{i+j}M_{i,j}}$se conoce como cofactor . Por cada${\displaystyle i}$, uno tiene la igualdad

${\displaystyle \det(A)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j},}$

que se denomina expansión de Laplace a lo largo de la i- ésima fila . Por ejemplo, la expansión de Laplace a lo largo de la primera fila (${\displaystyle i=1}$) da como resultado la siguiente fórmula:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}}$

Desentrañando los determinantes de estos${\displaystyle 2\times 2}$Las matrices devuelven la fórmula de Leibniz mencionada anteriormente. De manera similar, la expansión de Laplace a lo largo de la${\displaystyle j}$La columna -ésima es la igualdad

${\displaystyle \det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j}.}$

La expansión de Laplace se puede utilizar de forma iterativa para calcular determinantes, pero este método es ineficiente para matrices grandes. Sin embargo, es útil para calcular los determinantes de matrices altamente simétricas, como la matriz de Vandermonde.$${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(x_{j}-x_{i}\right).}$$La expansión de Laplace de n términos a lo largo de una fila o columna se puede generalizar para escribir un determinante de n x n como una suma de${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$términos , cada uno el producto del determinante de una submatriz k x k y el determinante de la submatriz complementaria ( n−k ) x ( n−k ).

La matriz adjugada${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$es la transpuesta de la matriz de los cofactores, es decir,

${\displaystyle (\operatorname {adj} (A))_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{ji}.}$

Para cada matriz, se tiene ^{[ 10 ]}

${\displaystyle (\det A)I=A\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A.}$

Por lo tanto, la matriz adjugada puede utilizarse para expresar la inversa de una matriz no singular :

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A.}$

La fórmula para el determinante de un${\displaystyle 2\times 2}$La matriz anterior sigue siendo válida, bajo supuestos adicionales apropiados, para una matriz de bloques , es decir, una matriz compuesta por cuatro submatrices.${\displaystyle A,B,C,D}$de dimensión${\displaystyle m\times m}$,${\displaystyle m\times n}$,${\displaystyle n\times m}$y${\displaystyle n\times n}$, respectivamente. La fórmula más sencilla de este tipo, que puede demostrarse utilizando la fórmula de Leibniz o una factorización que involucre el complemento de Schur , es

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}.}$

Si${\displaystyle A}$es invertible , entonces se deduce con los resultados de la sección sobre multiplicatividad que

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}&=\det(A)\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\underbrace {\det {\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}B\\0&I_{n}\end{pmatrix}}} _{=\,\det(A^{-1})\,=\,(\det A)^{-1}}\\&=\det(A)\det {\begin{pmatrix}I_{m}&0\\CA^{-1}&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}}\\&=\det(A)\det(D-CA^{-1}B),\end{aligned}}}$

lo cual se simplifica a${\displaystyle \det(A)(D-CA^{-1}B)}$cuando${\displaystyle D}$es un${\displaystyle 1\times 1}$matriz.

Se obtiene un resultado similar cuando${\displaystyle D}$es invertible, es decir

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}&=\det(D)\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\underbrace {\det {\begin{pmatrix}I_{m}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{pmatrix}}} _{=\,\det(D^{-1})\,=\,(\det D)^{-1}}\\&=\det(D)\det {\begin{pmatrix}A-BD^{-1}C&BD^{-1}\\0&I_{n}\end{pmatrix}}\\&=\det(D)\det(A-BD^{-1}C).\end{aligned}}}$

Ambos resultados pueden combinarse para derivar el teorema del determinante de Sylvester , que también se enuncia a continuación.

Si los bloques son matrices cuadradas del mismo tamaño, se cumplen otras fórmulas. Por ejemplo, si${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$desplazamiento (es decir,${\displaystyle CD=DC}$), entonces ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(AD-BC).}$

Esta fórmula se ha generalizado a matrices compuestas por más de${\displaystyle 2\times 2}$bloques, nuevamente bajo condiciones de conmutatividad apropiadas entre los bloques individuales. ^{[ 12 ]}

Para${\displaystyle A=D}$y${\displaystyle B=C}$, la siguiente fórmula se cumple (incluso si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$no se desplacen diariamente).

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\B&A\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}A+B&B\\B+A&A\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}A+B&B\\0&A-B\end{pmatrix}}=\det(A+B)\det(A-B).}$

Es posible calcular el determinante mediante matrices de bloques de forma rápida utilizando algoritmos rápidos de multiplicación de matrices en el tiempo${\displaystyle O({n^{\omega }})}$para${\displaystyle ~2.37\leq \omega <3}$, por el${\displaystyle LU}$descomposición. ^{[ 13 ]}

El teorema del determinante de Sylvester establece que para A , una matriz m × n , y B , una matriz n × m (de modo que A y B tienen dimensiones que permiten que se multipliquen en cualquier orden formando una matriz cuadrada):

${\displaystyle \det \left(I_{\mathit {m}}+AB\right)=\det \left(I_{\mathit {n}}+BA\right),}$

donde I _m e I _n son las matrices identidad de m × m y n × n , respectivamente.

De este resultado general se derivan varias consecuencias.

Una generalización es${\displaystyle \det \left(Z+AWB\right)=\det \left(Z\right)\det \left(W\right)\det \left(W^{-1}+BZ^{-1}A\right)}$(véase el lema del determinante de matrices ), donde Z es una matriz invertible de m × m y W es una matriz invertible de n × n .

El determinante de la suma${\displaystyle A+B}$La relación entre dos matrices cuadradas del mismo tamaño no se puede expresar en general en términos de los determinantes de A y de B.

Sin embargo, para matrices semidefinidas positivas${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$y${\displaystyle C}$de igual tamaño, $${\displaystyle \det(A+B+C)+\det(C)\geq \det(A+C)+\det(B+C){\text{,}}}$$ con el corolario ^{[ 15 ] [ 16 ]}$${\displaystyle \det(A+B)\geq \det(A)+\det(B){\text{.}}}$$

El teorema de Brunn-Minkowski implica que la raíz n -ésima de un determinante es una función cóncava , cuando se restringe a funciones hermitianas definidas positivas.${\displaystyle n\times n}$matrices. ^{[ 17 ]} Por lo tanto, si A y B son hermíticas definidas positivas${\displaystyle n\times n}$matrices, una tiene $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\det(A+B)}}\geq {\sqrt[{n}]{\det(A)}}+{\sqrt[{n}]{\det(B)}},}$$ya que la raíz enésima del determinante es una función homogénea .

El determinante está estrechamente relacionado con otros dos conceptos centrales del álgebra lineal: los valores propios y el polinomio característico de una matriz.${\displaystyle A}$frijol${\displaystyle n\times n}$matriz con entradas complejas . Entonces, por el Teorema Fundamental del Álgebra,${\displaystyle A}$debe tener exactamente n valores propios${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$. (Aquí se entiende que un valor propio con multiplicidad algebraica μ aparece μ veces en esta lista). Entonces, resulta que el determinante de A es igual al producto de estos valores propios,

${\displaystyle \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$

El producto de todos los autovalores distintos de cero se denomina pseudodeterminante .

De esto se deduce inmediatamente que el determinante de una matriz${\displaystyle A}$es cero si y solo si${\displaystyle 0}$es un valor propio de${\displaystyle A}$. En otras palabras,${\displaystyle A}$es invertible si y solo si${\displaystyle 0}$no es un valor propio de${\displaystyle A}$.

El polinomio característico se define como ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \chi _{A}(t)=\det(t\cdot I-A).}$

Aquí,${\displaystyle t}$es la indeterminada del polinomio y${\displaystyle I}$es la matriz identidad del mismo tamaño que${\displaystyle A}$Mediante este polinomio, se pueden utilizar determinantes para hallar los valores propios de la matriz.${\displaystyle A}$: son precisamente las raíces de este polinomio, es decir, esos números complejos.${\displaystyle \lambda }$de tal manera que

${\displaystyle \chi _{A}(\lambda )=0.}$

Una matriz hermitiana es definida positiva si todos sus valores propios son positivos. El criterio de Sylvester afirma que esto es equivalente a los determinantes de las submatrices.

${\displaystyle A_{k}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k,1}&a_{k,2}&\cdots &a_{k,k}\end{bmatrix}}}$

ser positivo, para todos${\displaystyle k}$entre${\displaystyle 1}$y${\displaystyle n}$. ^{[ 19 ]}

La traza tr( A ) es por definición la suma de las entradas diagonales de A y también es igual a la suma de los valores propios. Por lo tanto, para matrices complejas A ,

${\displaystyle \det(\exp(A))=\exp(\operatorname {tr} (A))}$

o, para matrices reales A ,

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\log(\det(\exp(A))).}$

Aquí exp( A ) denota la exponencial matricial de A , porque cada valor propio λ de A corresponde al valor propio exp( λ ) de exp( A ). En particular, dado cualquier logaritmo de A , es decir, cualquier matriz L que satisfaga

${\displaystyle \exp(L)=A}$

El determinante de A viene dado por

${\displaystyle \det(A)=\exp(\operatorname {tr} (L)).}$

Por ejemplo, para n = 2 , n = 3 y n = 4 , respectivamente,

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{2}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}-\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right),\\\det(A)&={\frac {1}{6}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{3}-3\operatorname {tr} (A)~\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)+2\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)\right),\\\det(A)&={\frac {1}{24}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{4}-6\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}+3\left(\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right)^{2}+8\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)~\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} \left(A^{4}\right)\right).\end{aligned}}}$

cf. teorema de Cayley-Hamilton . Tales expresiones se pueden deducir de argumentos combinatorios, identidades de Newton o el algoritmo de Faddeev-LeVerrier . Es decir, para un n genérico , det A = (−1) ⁿ c ₀ el término constante con signo del polinomio característico , determinado recursivamente a partir de

${\displaystyle c_{n}=1;~~~c_{n-m}=-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{n-m+k}\operatorname {tr} \left(A^{k}\right)~~(1\leq m\leq n)~.}$

En el caso general, esto también se puede obtener de ^{[ 20 ].}

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\begin{array}{c}k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}\geq 0\\k_{1}+2k_{2}+\cdots +nk_{n}=n\end{array}}\prod _{l=1}^{n}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} \left(A^{l}\right)^{k_{l}},}$

donde la suma se toma sobre el conjunto de todos los enteros k _l ≥ 0 que satisfacen la ecuación

${\displaystyle \sum _{l=1}^{n}lk_{l}=n.}$

La fórmula se puede expresar en términos del polinomio exponencial completo de Bell de n argumentos s _l = −( l – 1)! tr( A ^l ) como

${\displaystyle \det(A)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}).}$

Esta fórmula también se puede utilizar para hallar el determinante de una matriz A ^I _J con índices multidimensionales I = ( i ₁ , i ₂ , ..., i _r ) y J = ( j ₁ , j ₂ , ..., j _r ) . El producto y la traza de dichas matrices se definen de forma natural como

${\displaystyle (AB)_{J}^{I}=\sum _{K}A_{K}^{I}B_{J}^{K},\operatorname {tr} (A)=\sum _{I}A_{I}^{I}.}$

Una importante identidad de dimensión arbitraria n se puede obtener a partir del desarrollo en serie de Mercator del logaritmo cuando el desarrollo converge. Si cada valor propio de A es menor que 1 en valor absoluto,

${\displaystyle \det(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}}{j}}\operatorname {tr} \left(A^{j}\right)\right)^{k}\,,}$

donde I es la matriz identidad. De forma más general, si

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{j}s^{j}}{j}}\operatorname {tr} \left(A^{j}\right)\right)^{k}\,,}$

se expande como una serie de potencias formal en s entonces todos los coeficientes de s ^m para m > n son cero y el polinomio restante es det( I + sA ) .

Para una matriz definida positiva A , el operador traza proporciona los siguientes límites inferiores y superiores ajustados para el determinante logarítmico.

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(I-A^{-1}\right)\leq \log \det(A)\leq \operatorname {tr} (A-I)}$

con igualdad si y solo si A = I. Esta relación se puede derivar mediante la fórmula de la divergencia de Kullback-Leibler entre dos distribuciones normales multivariadas .

También,

${\displaystyle {\frac {n}{\operatorname {tr} \left(A^{-1}\right)}}\leq \det(A)^{\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (A)\leq {\sqrt {{\frac {1}{n}}\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)}}.}$

Estas desigualdades pueden demostrarse expresando las trazas y el determinante en términos de los autovalores. De este modo, representan el hecho bien conocido de que la media armónica es menor que la media geométrica , que es menor que la media aritmética , que a su vez es menor que la raíz cuadrática media .

La fórmula de Leibniz muestra que el determinante de matrices cuadradas reales (o análogamente para matrices cuadradas complejas) es una función polinómica de${\displaystyle \mathbf {R} ^{n\times n}}$a${\displaystyle \mathbf {R} }$. En particular, es diferenciable en todas partes . Su derivada se puede expresar utilizando la fórmula de Jacobi : ^{[ 21 ]}

${\displaystyle {\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A){\frac {dA}{d\alpha }}\right).}$

dónde${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$denota el adjugado de${\displaystyle A}$. En particular, si${\displaystyle A}$es invertible, tenemos

${\displaystyle {\frac {d\det(A)}{d\alpha }}=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}{\frac {dA}{d\alpha }}\right).}$

Expresado en términos de las entradas de${\displaystyle A}$, estos son

${\displaystyle {\frac {\partial \det(A)}{\partial A_{ij}}}=\operatorname {adj} (A)_{ji}=\det(A)\left(A^{-1}\right)_{ji}.}$

Otra formulación equivalente es

${\displaystyle \det(A+\epsilon X)-\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)X)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}X\right)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right)}$,

utilizando la notación de la gran O. El caso especial donde${\displaystyle A=I}$, la matriz identidad, produce

${\displaystyle \det(I+\epsilon X)=1+\operatorname {tr} (X)\epsilon +O\left(\epsilon ^{2}\right).}$

Esta identidad se utiliza para describir álgebras de Lie asociadas a ciertos grupos de Lie de matrices . Por ejemplo, el grupo lineal especial.${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}}$se define mediante la ecuación${\displaystyle \det A=1}$La fórmula anterior muestra que su álgebra de Lie es el álgebra de Lie lineal especial .${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$que consiste en aquellas matrices cuya traza es cero.

Escribir un${\displaystyle 3\times 3}$matriz como${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}}}$dónde${\displaystyle a,b,c}$Si son vectores columna de longitud 3, entonces el gradiente sobre uno de los tres vectores se puede escribir como el producto vectorial de los otros dos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {a} }\det(A)&=\mathbf {b} \times \mathbf {c} \\\nabla _{\mathbf {b} }\det(A)&=\mathbf {c} \times \mathbf {a} \\\nabla _{\mathbf {c} }\det(A)&=\mathbf {a} \times \mathbf {b} .\end{aligned}}}$

Los determinantes pueden utilizarse para describir las soluciones de un sistema lineal de ecuaciones , escrito en forma matricial como${\displaystyle Ax=b}$Esta ecuación tiene una solución única.${\displaystyle x}$si y solo si${\displaystyle \det(A)}$es distinto de cero. En este caso, la solución viene dada por la regla de Cramer :

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,2,3,\ldots ,n}$

dónde${\displaystyle A_{i}}$es la matriz formada al reemplazar la${\displaystyle i}$-ésima columna de${\displaystyle A}$por el vector columna${\displaystyle b}$. Esto se sigue inmediatamente mediante la expansión en columna del determinante, es decir

${\displaystyle \det(A_{i})=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &b&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle =\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det {\begin{bmatrix}a_{1}&\ldots &a_{i-1}&a_{j}&a_{i+1}&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}}=x_{i}\det(A)}$

donde los vectores${\displaystyle a_{j}}$son las columnas de A. La regla también está implícita en la identidad.

${\displaystyle A\,\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\,A=\det(A)\,I_{n}.}$

La regla de Cramer se puede implementar en${\displaystyle \operatorname {O} (n^{3})}$tiempo, que es comparable a métodos más comunes de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, como LU , QR o descomposición en valores singulares . ^{[ 37 ]}

Los determinantes pueden utilizarse para caracterizar vectores linealmente dependientes :${\displaystyle \det A}$es cero si y solo si los vectores columna de la matriz${\displaystyle A}$son linealmente dependientes. ^{[ 38 ]} Por ejemplo, dados dos vectores linealmente independientes${\displaystyle v_{1},v_{2}\in \mathbf {R} ^{3}}$, un tercer vector${\displaystyle v_{3}}$se encuentra en el plano generado por los dos primeros vectores exactamente si el determinante de la${\displaystyle 3\times 3}$La matriz formada por los tres vectores es cero. La misma idea también se utiliza en la teoría de ecuaciones diferenciales : dadas las funciones${\displaystyle f_{1}(x),\dots ,f_{n}(x)}$(se supone que es${\displaystyle n-1}$veces diferenciable ), el Wronskiano se define como

${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}}.}$

Es distinto de cero (para algunos${\displaystyle x}$) en un intervalo especificado si y solo si las funciones dadas y todas sus derivadas hasta el orden${\displaystyle n-1}$son linealmente independientes. Si se puede demostrar que el Wronskiano es cero en todo un intervalo, entonces, en el caso de funciones analíticas , esto implica que las funciones dadas son linealmente dependientes. Véase el Wronskiano y la independencia lineal . Otro uso del determinante es el resultante , que proporciona un criterio cuando dos polinomios tienen una raíz común . ^{[ 39 ]}

El cálculo de un producto vectorial es equivalente a encontrar el determinante formal de una matriz específica de 3x3. Específicamente, para vectores${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$, y${\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }$:

$${\displaystyle \mathbf {a\times b} =\det {\begin{pmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{pmatrix}}}$$

El determinante puede entenderse como la asignación de un número a cada secuencia de n vectores en R ⁿ , utilizando la matriz cuadrada cuyas columnas son los vectores dados. El determinante será distinto de cero si y solo si la secuencia de vectores es una base para R ⁿ . En ese caso, el signo del determinante determina si la orientación de la base es consistente o opuesta a la orientación de la base estándar . En el caso de una base ortogonal, la magnitud del determinante es igual al producto de las longitudes de los vectores de la base. Por ejemplo, una matriz ortogonal con entradas en R ⁿ representa una base ortonormal en el espacio euclidiano , y por lo tanto tiene un determinante de ±1 (ya que todos los vectores tienen longitud 1). El determinante es +1 si y solo si la base tiene la misma orientación. Es −1 si y solo si la base tiene la orientación opuesta.

En términos más generales, si el determinante de A es positivo, A representa una transformación lineal que preserva la orientación (si A es una matriz ortogonal de 2 × 2 o 3 × 3 , se trata de una rotación ), mientras que si es negativo, A cambia la orientación de la base.

Como se indicó anteriormente, el valor absoluto del determinante de vectores reales es igual al volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores. En consecuencia, si${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}}$es el mapeo lineal dado por la multiplicación con una matriz${\displaystyle A}$, y${\displaystyle S\subset \mathbf {R} ^{n}}$es cualquier subconjunto medible , entonces el volumen de${\displaystyle f(S)}$es dado por${\displaystyle |\det(A)|}$veces el volumen de${\displaystyle S}$. ^{[ 40 ]} De manera más general, si el mapa lineal${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{m}}$está representado por el${\displaystyle m\times n}$matriz${\displaystyle A}$, entonces la relación entre el${\displaystyle n}$- volúmenes dimensionales de${\displaystyle f(S)}$y${\displaystyle S}$está dado por:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {volume} (f(S))}{\operatorname {volume} (S)}}={\sqrt {\det \left(A^{\textsf {T}}A\right)}}.}$

Cuando${\displaystyle m<n}$Esto es cero.

Calculando el volumen del tetraedro delimitado por cuatro puntos, se pueden utilizar para identificar líneas oblicuas . El volumen de cualquier tetraedro, dados sus vértices${\displaystyle a,b,c,d}$,${\displaystyle {\frac {1}{6}}\cdot |\det(a-b,b-c,c-d)|}$o cualquier otra combinación de pares de vértices que formen un árbol de expansión sobre los vértices.