Número de Grassmann

En física matemática , un número de Grassmann , llamado así en honor a Hermann Grassmann (también llamado número anticonmutativo o supernúmero ), es un elemento del álgebra exterior de un espacio vectorial complejo. ^{[ 1 ]} El caso especial de un álgebra unidimensional se conoce como número dual . Los números de Grassmann se utilizaron inicialmente en física para expresar una representación de integral de camino para campos fermiónicos , aunque ahora se utilizan ampliamente como fundamento del superespacio , sobre el cual se construye la supersimetría .

Los números de Grassmann se generan mediante elementos u objetos anticonmutativos. La idea de objetos anticonmutativos surge en diversas áreas de las matemáticas: se observan típicamente en la geometría diferencial , donde las formas diferenciales son anticonmutativas. Las formas diferenciales se definen normalmente en términos de su acción sobre el espacio tangente de la variedad; sin embargo, se puede contemplar la situación en la que se "olvida" o "ignora" la existencia de cualquier variedad subyacente, y se "olvida" o "ignora" alguna estructura, y en su lugar, simplemente se contempla una situación en la que se tienen objetos que anticonmutan y forman un espacio vectorial, sin otras propiedades predefinidas o presupuestas. Dichos objetos, que forman un álgebra bajo anticonmutación, se denominan álgebra de Grassmann o álgebra exterior .

Con la motivación que nos brinda la geometría diferencial, y entendiendo que un número de Grassmann es simplemente un elemento de esa álgebra, la denominación de "número" se justifica por el hecho de que se comportan de manera similar a los números "ordinarios": se pueden sumar, multiplicar e incluso dividir cuando tienen una parte escalar distinta de cero; se comportan casi como un cuerpo . Se puede ir más allá: se pueden considerar polinomios de números de Grassmann, lo que lleva a la idea de funciones holomorfas . Se pueden tomar derivadas de dichas funciones y luego considerar también las antiderivadas. Cada una de estas ideas se puede definir cuidadosamente y se corresponde razonablemente bien con los conceptos equivalentes de las matemáticas ordinarias. La analogía no termina ahí: existe toda una rama de la supermatemática , donde el análogo del espacio euclidiano es el superespacio , el análogo de una variedad es una supervariedad , el análogo de un álgebra de Lie es una superálgebra de Lie , y así sucesivamente. Los números de Grassmann son la construcción subyacente que hace posible todo esto.

Por supuesto, se podría desarrollar un programa similar para cualquier otro campo, o incluso para anillos , y de hecho esto se hace de forma generalizada y común en matemáticas. Sin embargo, la supermatemática adquiere una importancia especial en física, ya que el comportamiento anticonmutativo se identifica claramente con el comportamiento cuántico-mecánico de los fermiones: la anticonmutación es la del principio de exclusión de Pauli . Por lo tanto, el estudio de los números de Grassmann, y de la supermatemática en general, está fuertemente impulsado por su utilidad en física.

Específicamente, en la teoría cuántica de campos , o más precisamente, en la segunda cuantización , se trabaja con operadores de escalera que crean estados cuánticos de múltiples partículas. Los operadores de escalera para fermiones crean cuantos de campo que necesariamente deben tener funciones de onda antisimétricas , como lo impone el principio de exclusión de Pauli. En esta situación, un número de Grassmann corresponde inmediata y directamente a una función de onda que contiene un número (generalmente indeterminado) de fermiones.

Cuando el número de fermiones es fijo y finito, el grupo de espín establece una relación explícita entre las relaciones de anticonmutación y los espinores . Este grupo se define como el subconjunto de vectores unitarios en el álgebra de Clifford y se factoriza naturalmente en espinores de Weyl anticonmutativos . Tanto la anticonmutación como la expresión como espinores surgen de forma natural para el grupo de espín. En esencia, los números de Grassmann pueden considerarse como una omisión de las relaciones derivadas del espín, conservando únicamente las debidas a la anticonmutación.

Los números de Grassmann son elementos o puntos individuales del álgebra exterior generados por un conjunto de n variables de Grassmann o direcciones de Grassmann o supercargas.${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$, con n posiblemente siendo infinito. El uso del término "variables de Grassmann" es histórico; no son variables, per se ; se entienden mejor como los elementos base de un álgebra unitaria . La terminología proviene del hecho de que un uso principal es definir integrales, y que la variable de integración tiene valores de Grassmann, y por lo tanto, por abuso del lenguaje, se llama variable de Grassmann. De manera similar, la noción de dirección proviene de la noción de superespacio , donde el espacio euclidiano ordinario se extiende con "direcciones" adicionales con valores de Grassmann. La denominación de carga proviene de la noción de cargas en física , que corresponden a los generadores de simetrías físicas (a través del teorema de Noether ). La simetría percibida es que la multiplicación por una sola variable de Grassmann intercambia la${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$la gradación entre fermiones y bosones; esto se analiza con mayor detalle más adelante.

Las variables de Grassmann son los vectores base de un espacio vectorial (de dimensión n ). Forman un álgebra sobre un cuerpo , que generalmente se considera el de los números complejos , aunque también se podrían considerar otros cuerpos, como los números reales. El álgebra es unitaria y sus generadores son anticonmutativos.

${\displaystyle \theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}}$

Desde el${\displaystyle \theta _{i}}$son elementos de un espacio vectorial sobre los números complejos, por definición, conmutan con los números complejos. Es decir, para un x complejo , se tiene

${\displaystyle \theta _{i}x=x\theta _{i}.}$

Los cuadrados de los generadores desaparecen:

${\displaystyle (\theta _{i})^{2}=0,}$desde${\displaystyle \theta _ {i}\theta _ {i}=-\theta _ {i}\theta _ {i}.}$

En otras palabras, una variable de Grassmann es una raíz cuadrada de cero distinta de cero.

Formalmente, sea V un espacio vectorial complejo n -dimensional con base${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$. El álgebra de Grassmann cuyas variables de Grassmann son${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$se define como el álgebra exterior de V , a saber:

${\displaystyle \Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V=\bigoplus _{k=0}^{n}\Lambda ^{k}V,}$

dónde${\displaystyle \wedge }$es el producto exterior ,${\displaystyle \Lambda ^{k}V\equiv \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{k}}$y${\displaystyle \oplus }$es la suma directa . Los elementos individuales de esta álgebra se denominan entonces números de Grassmann . Es habitual omitir el símbolo de cuña.${\displaystyle \wedge }$al escribir un número de Grassmann una vez establecida la definición. Un número de Grassmann general se puede escribir como

${\displaystyle z=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}=1}^{n}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

donde el${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$son tensores complejos, completamente antisimétricos de rango k . Nuevamente, el${\displaystyle \theta _{i}}$y el${\displaystyle \theta _{i}\wedge \theta _{j}=\theta _{i}\theta _{j}}$(sujeto a${\displaystyle i<j}$), y productos finitos más grandes, se puede ver aquí que desempeñan el papel de vectores base de subespacios de${\displaystyle \Lambda }$.

El álgebra de Grassmann generada por n variables de Grassmann linealmente independientes tiene dimensión 2 ⁿ ; esto se deduce del teorema del binomio aplicado a la suma anterior, y del hecho de que el producto ( n + 1) -múltiple de variables debe anularse, por las relaciones de anticonmutación anteriores. La dimensión de${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$viene dado por n sobre k , el coeficiente binomial . El caso especial de n = 1 se llama número dual , y fue introducido por William Clifford en 1873.

En caso de que V sea de dimensión infinita, la serie anterior no termina y se define

${\displaystyle \Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots .}$

El elemento general es ahora

${\displaystyle z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

dónde${\displaystyle z_{B}}$a veces se le denomina el cuerpo y${\displaystyle z_{S}}$como el alma del supernúmero${\displaystyle z}$.

En el caso de dimensión finita (usando la misma terminología), el alma es nilpotente , es decir

${\displaystyle z_{S}^{n+1}=0,}$

pero esto no es necesariamente así en el caso de dimensión infinita. ^{[ 2 ]}

Si V es de dimensión finita, entonces

${\displaystyle \theta _{i}z=0,\quad 1\leq i\leq n\Rightarrow z=c\theta _{1}\theta _{2}\cdots \theta _{n},\quad c\in \mathbb {C} ,}$

y si V es de dimensión infinita ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \theta _{a}z=0\quad \forall a\Rightarrow z=0.}$

En la literatura suelen aparecer dos tipos distintos de supernúmeros: aquellos con un número finito de generadores, típicamente n = 1, 2, 3 o 4, y aquellos con un número infinito numerable de generadores. Estas dos situaciones no están tan desvinculadas como podrían parecer a primera vista. En primer lugar, en la definición de una supervariedad , una variante utiliza un número infinito numerable de generadores, pero luego emplea una topología que reduce efectivamente la dimensión a un número finito pequeño. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

En el otro caso, se puede comenzar con un número finito de generadores, pero en el transcurso de la segunda cuantización surge la necesidad de un número infinito de generadores: uno por cada momento posible que pueda tener un fermión.

Los números complejos se suelen elegir como campo para la definición de los números de Grassmann, en lugar de los números reales, ya que esto evita algunos comportamientos extraños cuando se introduce una conjugación o involución . Es común introducir un operador * en los números de Grassmann de tal manera que:

${\displaystyle \theta =\theta ^{*}}$

cuando${\displaystyle \theta }$es un generador, y tal que

${\displaystyle (\theta _{i}\theta _{j}\cdots \theta _{k})^{*}=\theta _{k}\cdots \theta _{j}\theta _{i}}$

Entonces se pueden considerar los números de Grassmann z para los cuales${\displaystyle z=z^{*}}$y denominar a estos (super)reales , mientras que aquellos que obedecen${\displaystyle z^{*}=-z}$Se denominan (super)imaginarios . Estas definiciones se mantienen sin problemas, incluso si los números de Grassmann utilizan los números reales como base; sin embargo, en tal caso, muchos coeficientes se anulan si el número de generadores es menor que 4. Por lo tanto, por convención, los números de Grassmann se definen generalmente sobre los números complejos.

Son posibles otras convenciones; la anterior a veces se denomina convención de DeWitt; Rogers emplea${\displaystyle \theta ^{*}=i\theta }$para la involución. En esta convención, los supernúmeros reales siempre tienen coeficientes reales; mientras que en la convención de DeWitt, los supernúmeros reales pueden tener coeficientes tanto reales como imaginarios. A pesar de esto, suele ser más fácil trabajar con la convención de DeWitt.

Los productos de un número impar de variables de Grassmann anticonmutan entre sí; a menudo se les llama números a . Los productos de un número par de variables de Grassmann conmutan (con todos los números de Grassmann); a menudo se les llama números c . Por abuso de terminología, a veces se llama número a un número c anticonmutativo . Esta descomposición en subespacios pares e impares proporciona una${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$la calificación en el álgebra; por lo tanto, las álgebras de Grassmann son los ejemplos prototípicos de álgebras superconmutativas . Nótese que los números c forman una subálgebra de${\displaystyle \Lambda }$, pero los números a no (son un subespacio, no una subálgebra).

La definición de números de Grassmann permite realizar análisis matemáticos , de forma análoga al análisis de números complejos. Es decir, se pueden definir funciones superholomorfas , derivadas e integrales. Algunos de los conceptos básicos se desarrollan con mayor detalle en el artículo sobre números duales .

Como regla general, suele ser más fácil definir los análogos supersimétricos de entidades matemáticas ordinarias trabajando con números de Grassmann con un número infinito de generadores: la mayoría de las definiciones se vuelven directas y pueden tomarse de las definiciones bosónicas correspondientes. Por ejemplo, un solo número de Grassmann puede pensarse como generador de un espacio unidimensional. Un espacio vectorial, el superespacio m- dimensional , aparece entonces como el producto cartesiano m -ésimo de estos espacios unidimensionales.${\displaystyle \Lambda .}$Se puede demostrar que esto es esencialmente equivalente a un álgebra con m generadores, pero esto requiere trabajo. ^{[ 6 ]}

Las integrales sobre los números de Grassmann se conocen como integrales de Berezin (a veces llamadas integrales de Grassmann). Para reproducir la integral de trayectoria para un campo de Fermi, la definición de la integración de Grassmann debe tener las siguientes propiedades:

• linealidad$${\displaystyle \int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta }$$
• fórmula de integración parcial$${\displaystyle \int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0.}$$

Además, la expansión de Taylor de cualquier función${\displaystyle f(\theta )=A+B\theta }$finaliza después de dos períodos porque${\displaystyle \theta ^{2}=0}$y la teoría cuántica de campos requiere además invariancia bajo el desplazamiento de las variables de integración.${\displaystyle \theta \to \theta +\eta }$de tal manera que

${\displaystyle \int d\theta f(\theta )=\int d\theta (A+B\theta )\equiv \int d\theta ((A+B\eta )+B\theta ).}$

La única función lineal que satisface esta condición es una constante (convencionalmente 1) veces B , por lo que Berezin la definió ^{[ 7 ].}

${\displaystyle \int d\theta (A+B\theta )\equiv B.}$

Esto da como resultado las siguientes reglas para la integración de una magnitud de Grassmann:

• ${\displaystyle \int \,1\,d\theta =0}$
• ${\displaystyle \int \,\theta \,d\theta =1.}$

Por lo tanto, concluimos que las operaciones de integración y diferenciación de un número de Grassmann son idénticas.

En la formulación de integral de trayectoria de la teoría cuántica de campos, se necesita la siguiente integral gaussiana de cantidades de Grassmann para campos anticonmutativos fermiónicos, donde A es una matriz N × N :  

${\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{\rm {T}}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A}$.

Los números de Grassmann se pueden representar mediante matrices . Consideremos, por ejemplo, el álgebra de Grassmann generada por dos números de Grassmann.${\displaystyle \theta _{1}}$y${\displaystyle \theta _{2}}$Estos números de Grassmann se pueden representar mediante matrices de 4 × 4:

${\displaystyle \theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

En general, un álgebra de Grassmann con n generadores se puede representar mediante matrices ^{cuadradas de 2n} × 2n . Físicamente, estas matrices pueden considerarse como operadores de elevación que actúan sobre un espacio de Hilbert de n fermiones idénticos en la base del número de ocupación. Dado que el número de ocupación de cada fermión es 0 o 1, existen 2n ^posibles estados base. Matemáticamente, estas matrices pueden interpretarse como los operadores lineales correspondientes a la multiplicación exterior izquierda sobre el propio álgebra de Grassmann.

Existen algunas generalizaciones de los números de Grassmann. Estas requieren reglas en términos de N variables tales que:

${\displaystyle \theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{N}}+\theta _{i_{N}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots +\cdots =0}$

donde los índices se suman sobre todas las permutaciones de manera que, como consecuencia:

${\displaystyle (\theta _{i})^{N}=0\,}$

para algún N  >  2. Estas son útiles para calcular hiperdeterminantes de tensores N donde N  >  2 y también para calcular discriminantes de polinomios para potencias mayores que  2. También existe el caso límite cuando N tiende a infinito, en el cual se pueden definir funciones analíticas sobre los números. Por ejemplo, en el caso con N  =  3, un único número de Grassmann se puede representar mediante la matriz:

${\displaystyle \theta ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad }$

de modo que${\displaystyle \theta ^{3}=0}$Para dos números de Grassmann, la matriz tendría un tamaño de 10×10.

Por ejemplo, las reglas para N  =  3 con dos variables de Grassmann implican:

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}+\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}+(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=0}$

para que se pueda demostrar que

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=(\theta _{2})^{2}\theta _{1}}$

y entonces

${\displaystyle (\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}=(\theta _{2})^{2}(\theta _{1})^{2}=\theta _{1}(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=\theta _{2}(\theta _{1})^{2}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1},}$

que da una definición para el hiperdeterminante de un tensor de 2×2×2 como

${\displaystyle (A^{abc}\theta _{a}\eta _{b}\psi _{c})^{4}=\det(A)(\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}(\eta _{1})^{2}(\eta _{2})^{2}(\psi _{1})^{2}(\psi _{2})^{2}.}$

• Grassmanniano
• Hermann Grassmann (lingüista y matemático)
• Superespacio
• Álgebra exterior

• DeWitt, B. (1984). Supermanifolds . Cambridge University Press. ISBN 0-521-42377-5.
• Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos (5.ª ed. (corregida)  ). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 9780201503975.
• Rogers, Alice (2007a). Supervelocidades: Teoría y aplicaciones (PDF) . World Scientific. Capítulo 1. doi : 10.1142/1878 . ISBN 978-981-3203-21-1.
• Rogers, Alice (2007). Supervelocidades: Teoría y aplicaciones . World Scientific. ISBN 978-981-3203-21-1.