Superficie desarrollable

Las superficies desarrollables que pueden realizarse en el espacio tridimensional incluyen:

• Cilindros y, más generalmente, el cilindro "generalizado"; su sección transversal puede ser cualquier curva suave.
• Conos y, más generalmente, superficies cónicas ; lejos del vértice
• El oloide y el esferoide pertenecen a una familia especial de sólidos que desarrollan toda su superficie al rodar por un plano horizontal.
• Planos (trivialmente); que pueden verse como un cilindro cuya sección transversal es una línea .

Una superficie definida por${\displaystyle F(x,y,z)=0}$es desarrollable si ^{[ 3 ] : 93}$${\displaystyle \left|{\begin{array}{llll}F_{xx}&F_{xy}&F_{xz}&F_{x}\\F_{yx}&F_{yy}&F_{yz}&F_{y}\\F_{zx}&F_{zy}&F_{zz}&F_{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}&0\end{array}}\right|=0,\quad F_{x}=\partial F/\partial x,{\text{ etc }}}$$

Consideremos una superficie reglada.$${\displaystyle F(s,v)=c(s)+vd(s),\quad |d(s)|=1}$$con${\textstyle s}$el parámetro rector y${\textstyle v}$la coordenada a lo largo de cada regla. Es desarrollable si y solo si el plano tangente no se tuerce al moverse a lo largo de una regla, es decir, el plano tangente en${\textstyle F(s,v)}$es lo mismo para todos${\textstyle v}$Con eso solucionado${\textstyle s}$En las fórmulas dice$${\displaystyle \operatorname {det} \left(c^{\prime }(s),d(s),d^{\prime }(s)\right)=0,\quad \forall s}$$Cuando esto se cumple, las reglas infinitesimalmente cercanas se intersecan y producen una curva espacial como su curva envolvente . La curva se traza mediante${\textstyle c(s)+v_{0}(s)d(s)}$, dónde$${\displaystyle v_{0}(s)=-{\frac {\left\langle c^{\prime }(s),d^{\prime }(s)\right\rangle }{\left\langle d^{\prime }(s),d^{\prime }(s)\right\rangle }}}$$Esta curva es el borde de regresión de la superficie original, y la superficie original es la tangente desarrollable de la curva. línea tangente a${\textstyle r}$.

En términos generales, cada superficie desarrollable tiene una sola arista de regresión. De esta manera, la teoría de las superficies desarrollables genéricas es la misma que la teoría de las superficies tangentes desarrollables genéricas.

Las superficies desarrollables especiales tienen bordes de regresión "degenerados", incluyendo un plano, un cilindro y un cono.

Mediante algunos teoremas generales, se pueden generar superficies desarrollables en una variedad infinita.

Como se indicó anteriormente, las superficies desarrollables tangentes se construyen extendiendo las líneas tangentes de una curva espacial. Esta es la superficie envolvente de los planos osculadores de la curva. La curva en sí se denomina arista de regresión de la superficie desarrollable.

La superficie envolvente de una familia diferenciable de planos de un parámetro es desarrollable. De esta manera, cualquier función diferenciable del tipo${\displaystyle \mathbb {R} \to {\text{planos en }}\mathbb {R} ^{3}}$produce una superficie desarrollable.

Los desarrollables polares se construyen de la siguiente manera: Dada una curva espacial suave${\displaystyle \gamma }$Construimos los círculos osculadores en cada punto y, a continuación, la línea que pasa por el centro de cada círculo, perpendicular al plano del círculo. Estas líneas son las líneas polares . De forma equivalente, construimos el plano normal en cada punto. Los planos normales de dos puntos infinitesimalmente cercanos se intersecan en una línea. Estas líneas son las líneas polares. Las líneas polares barren una superficie desarrollable, ya que es la superficie envolvente de los planos normales de la curva. ^{[ 4 ]}

Por ejemplo, el desarrollable polar de una hélice se obtiene al girar un plano a lo largo de un eje que no se encuentra dentro del plano.

Para una curva espacial genérica, el borde de regresión de su desarrollable polar es la curva de centros de las esferas osculadoras de la curva. En muchos textos, también se la denomina curva focal o evoluta esférica de la curva.

Dada una curva espacial${\displaystyle \gamma }$y otra curva espacial${\displaystyle \mu }$, decimos que${\displaystyle \mu }$es una curva evoluta de${\displaystyle \gamma }$si y solo si cada tangente de${\displaystyle \mu }$interseca${\displaystyle \gamma }$en ángulo recto. Esto es análogo al concepto de evoluta en curvas planas, aunque cabe señalar que en el plano solo hay una evoluta por curva, pero en el espacio en general existe toda una familia de evolutas de un parámetro por curva. Todas las curvas evolutas de${\displaystyle \gamma }$son geodésicas del desarrollable polar de${\displaystyle \gamma }$. ^{[ 5 ]}

Dejar${\displaystyle \mu }$ser un evoluto de${\displaystyle \gamma }$, entonces${\displaystyle \gamma }$está en el desarrollable tangente de${\displaystyle \mu }$, y${\displaystyle \gamma }$es ortogonal a su regla.

El desarrollable polar es un cilindro si y solo si la curva original${\displaystyle \gamma }$es una curva en un plano${\displaystyle P}$ortogonal a la dirección del cilindro. En este caso, se obtiene trasladando la curva evoluta a lo largo de la dirección perpendicular de${\displaystyle P}$.

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle \gamma }$sea ​​la evolvente de un círculo. Considerada como una curva espacial,${\displaystyle \gamma }$El desarrollable polar de es el cilindro generado al mover el círculo a lo largo de su dirección perpendicular. Las evolutas de${\displaystyle \gamma }$son las hélices en el cilindro, todas pasando por el mismo punto cuspidal donde${\displaystyle \gamma }$toca el cilindro.

El desarrollo polar es un cono si y solo si la curva original es una curva en una esfera centrada en el vértice del cono.

Dada una superficie curva, las líneas normales a lo largo de cualquier línea de curvatura de la superficie generan una superficie desarrollable. De esta forma, una superficie curva genérica produce dos familias de superficies desarrollables de un parámetro, que se intersecan en ángulo recto. Estas son las superficies desarrollables normales de la superficie.

Consideremos una de estas dos familias de un parámetro. Cada superficie desarrollable de la familia posee una arista de regresión. Estas generan una familia completa de aristas de regresión de un parámetro, que a su vez generan una superficie espacial. La otra familia genera otra superficie espacial. Estas son las dos superficies focales de la superficie original.

Las geodésicas de un plano son líneas rectas, por lo que las geodésicas de una superficie desarrollable se pueden obtener extendiéndola primero sobre el plano, trazando una línea recta y luego desenrollándola. Esto genera la familia de dos parámetros de todas las geodésicas.

Las esferas no son superficies desarrollables bajo ninguna métrica , ya que no se pueden desplegar sobre un plano.

El helicoide es una superficie reglada, pero a diferencia de las superficies regladas mencionadas anteriormente, no es una superficie desarrollable.

El paraboloide hiperbólico y el hiperboloide son superficies doblemente regladas ligeramente diferentes, pero a diferencia de las superficies regladas mencionadas anteriormente, ninguna de ellas es una superficie desarrollable.

Muchas estructuras reticulares , estructuras tensadas y construcciones similares ganan resistencia mediante el uso de cualquier forma de doble curvatura.