Teorema de Chasles (cinemática)

En cinemática , el teorema de Chasles , o teorema de Mozzi-Chasles , establece que el desplazamiento más general de un cuerpo rígido puede producirse mediante un desplazamiento helicoidal o movimiento helicoidal . Una isometría euclidiana directa en tres dimensiones implica una traslación y una rotación . La representación de la isometría mediante desplazamiento helicoidal descompone la traslación en dos componentes: una paralela al eje de rotación asociado a la isometría y otra perpendicular a dicho eje. El teorema de Chasles indica que el eje de rotación puede seleccionarse para proporcionar la segunda componente de la traslación original como resultado de la rotación. Este teorema en tres dimensiones extiende una representación similar de isometrías planas como rotación. Una vez seleccionado el eje helicoidal , el desplazamiento helicoidal rota alrededor de este, incluyendo una traslación paralela al eje. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La geometría euclidiana se expresa en el plano complejo mediante puntos.${\displaystyle p=x+yi}$donde i al cuadrado es − 1. Las rotaciones resultan de multiplicaciones por${\displaystyle \omega =\cos t+i\sin t}$. Nótese que una rotación alrededor del punto complejo p se obtiene mediante aritmética compleja con

$${\displaystyle z\mapsto \omega (zp)+p=\omega z+p(1-\omega )}$$

donde la última expresión muestra el mapeo equivalente a una rotación en 0 y una traslación. Por lo tanto, dada la isometría directa${\displaystyle z\mapsto \omega z+a,}$uno puede resolver${\displaystyle p(1-\omega )=a}$para obtener${\displaystyle p=a/(1-\omega )}$como centro para una rotación equivalente, siempre que${\displaystyle \omega \neq 1}$, es decir, siempre que la isometría directa no sea una traslación pura. Como afirma Cederberg, "Una isometría directa es una rotación o una traslación". ^{[ 3 ]}

La demostración de que un desplazamiento espacial puede descomponerse en una rotación y un deslizamiento alrededor y a lo largo de una línea se atribuye al astrónomo y matemático Giulio Giuseppe Mozzi (1763); de hecho, el eje helicoidal se denomina tradicionalmente asse di Mozzi en Italia. Sin embargo, la mayoría de los libros de texto se refieren a un trabajo similar posterior de Michel Chasles que data de 1830. ^{[ 4 ]} Varios otros contemporáneos de M. Chasles obtuvieron resultados iguales o similares por esa época, incluidos Gaetano Giorgini , Augustin-Louis Cauchy , Louis Poinsot , Siméon Denis Poisson y Olinde Rodrigues . Una descripción de la demostración de 1763 de Giulio Mozzi y parte de su historia se puede encontrar aquí. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Mozzi considera un cuerpo rígido que primero rota alrededor de un eje que pasa por su centro de masa y luego se traslada con un desplazamiento D en una dirección arbitraria. Cualquier movimiento rígido puede realizarse de esta manera gracias a un teorema de Euler sobre la existencia de un eje de rotación . El desplazamiento D del centro de masa se puede descomponer en componentes paralelas y perpendiculares al eje. La componente perpendicular (y paralela) actúa sobre todos los puntos del cuerpo rígido, pero Mozzi demuestra que para algunos puntos la rotación anterior actuó exactamente con un desplazamiento opuesto, por lo que esos puntos se trasladan paralelamente al eje de rotación. Estos puntos se encuentran sobre el eje de Mozzi, a través del cual el movimiento rígido puede realizarse mediante un movimiento helicoidal.

Otra demostración elemental del teorema de Mozzi-Chasles fue dada por E. T. Whittaker en 1904. ^{[ 7 ]} Supongamos que A se va a transformar en B. Whittaker sugiere que se seleccione la línea AK paralela al eje de la rotación dada, con K como pie de una perpendicular desde B. El desplazamiento de tornillo apropiado es alrededor de un eje paralelo a AK tal que K se mueve a B. En términos de Whittaker, "Una rotación alrededor de cualquier eje es equivalente a una rotación del mismo ángulo alrededor de cualquier eje paralelo a él, junto con una simple traslación en una dirección perpendicular al eje".

El cálculo de la traslación y rotación conmutativas de un movimiento helicoidal se puede realizar utilizando 3DPGA (${\displaystyle \mathbb {R} _{3,0,1}}$), el álgebra geométrica del espacio euclidiano 3D. ^{[ 8 ]} Tiene tres vectores base euclidianos${\displaystyle \mathbf {e} _ {i}}$satisfactorio${\displaystyle \mathbf {e} _ {i}^{2}=1}$que representan planos ortogonales que pasan por el origen, y un vector base de Grassmann${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$satisfactorio${\displaystyle \mathbf {e} _{0}^{2}=0}$para representar el plano en el infinito. Cualquier plano a distancia${\displaystyle \delta }$A partir del origen se puede formar entonces como una combinación lineal.$${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{3}a^{i}\mathbf {e} _{i}-\delta \mathbf {e} _{0}}$$que se normaliza de tal manera que${\displaystyle a^{2}=1}$. Debido a que las reflexiones pueden representarse mediante el plano en el que ocurre la reflexión, el producto de dos planos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$es la birreflexión${\displaystyle ab}$El resultado es una rotación alrededor de su línea de intersección.${\displaystyle a\wedge b}$, que también podría estar en el plano en el infinito cuando las dos reflexiones son paralelas, en cuyo caso la birreflexión${\displaystyle ab}$es una traducción.

Un movimiento de tornillo${\displaystyle S}$es el producto de cuatro reflexiones no colineales y, por lo tanto,${\displaystyle S=abcd}$Pero según el teorema de Mozzi-Chasles, un movimiento helicoidal puede descomponerse en una traslación conmutativa.$${\displaystyle T=e^{\alpha B_{1}}=1+\alpha B_{1}}$$dónde${\displaystyle B_{1}}$¿El eje de traslación satisface?${\displaystyle B_{1}^{2}=0}$y rotación$${\displaystyle R=e^{\beta B_{2}}=\cos(\beta )+B_{2}\sin(\beta )}$$dónde${\displaystyle B_{2}}$es el eje de rotación que satisface${\displaystyle B_{2}^{2}=-1}$Las dos líneas bivectoriales${\displaystyle B_{1}}$y${\displaystyle B_{2}}$son ortogonales y conmutativas. Para encontrar${\displaystyle T}$y${\displaystyle R}$de${\displaystyle S}$, simplemente escribimos${\displaystyle S}$y considerar el resultado grado por grado:$${\displaystyle {\begin{aligned}S&=TR\\&=e^{\alpha B_{1}}e^{\beta B_{2}}\\&=\underbrace {\cos \beta } _{\text{escalar}}+\underbrace {\sin \beta B_{2}+\alpha \cos \beta B_{1}} _{\text{bivector}}+\underbrace {\alpha \sin \beta B_{1}B_{2}} _{\text{cuadrivector}}\end{aligned}}}$$Porque la parte cuadrivectorial${\displaystyle \langle S\rangle _{4}=\langle T\rangle _{2}\langle R\rangle _{2}}$y${\displaystyle B_{1}^{2}=0}$,${\displaystyle T}$se encuentra directamente que es ^{[ 9 ]}$${\displaystyle T=1+{\frac {\langle S\rangle _{4}}{\langle S\rangle _{2}}}}$$y por lo tanto$${\displaystyle R=ST^{-1}=T^{-1}S={\frac {S}{T}}}$$Por lo tanto, para un movimiento de tornillo dado${\displaystyle S}$La traslación y rotación conmutativas se pueden encontrar utilizando las dos fórmulas anteriores, después de lo cual las líneas${\displaystyle B_{1}}$y${\displaystyle B_{2}}$se ha descubierto que son proporcionales a${\displaystyle \langle T\rangle _ {2}}$y${\displaystyle \langle R\rangle _ {2}}$respectivamente.

El teorema de Chasles es un caso especial de la descomposición invariante .

• Rotaciones y reflexiones en dos dimensiones

• Benjamin Peirce (1872) Un sistema de mecánica analítica , III. Movimientos combinados de rotación y traslación, especialmente §§ 32 y 39, David van Nostrand & Company, enlace desde Internet Archive
• Richard M. Friedberg (2022) " Rodrigues, Olinde: "Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un systéme solide...", traducción y comentario ", explicación del artículo de 1840 de Rodrigues, ver §4 sobre el teorema de Chasles