Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert

Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert (en alemán, 'Conferencias sobre el desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX') es un libro deFelix Kleinque se publicó póstumamente en dos volúmenes (los volúmenes 24 y 25 deGrundlehren der mathematischen Wissenschaften) en 1926 y 1927.

Felix Klein impartió clases sobre el desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX y, posteriormente, sobre la relatividad durante la Primera Guerra Mundial. Los libros se elaboraron a partir de las notas de estas clases y fueron editados por Richard Courant y Otto Neugebauer para el primer volumen, y por Courant y Stefan Cohn-Vossen para el segundo. Falta parte del contenido que Klein había previsto originalmente para el texto.

El libro ha sido recibido con gran entusiasmo y ha recibido numerosos elogios. El primer volumen se tradujo al ruso en 1937 y al inglés en 1979; en 1989 apareció una segunda traducción al ruso, seguida en 2003 por la traducción del segundo volumen. Ambos volúmenes también se han traducido al chino.

Felix Klein (1849-1925) fue un matemático alemán conocido principalmente por su programa de Erlangen , que enfatizó el uso de grupos en geometría. De 1886 a 1913 fue profesor en la Universidad de Gotinga , que bajo su dirección se convirtió en uno de los principales centros de investigación matemática. ^{[ 1 ]}

Klein estaba interesado en la historia de las matemáticas y compró libros relevantes para la biblioteca de Gotinga. ^{[ 2 ]} Uno de sus alumnos, Conrad Müller , estudió un doctorado en historia de las matemáticas bajo la dirección de Klein y posteriormente obtuvo la primera habilitación en Gotinga en esta área temática. ^{[ 2 ]} Klein fue responsable del contenido matemático de un proyecto enciclopédico llamado Die Kultur der Gegenwart («La cultura del presente»), publicado por BG Teubner Verlag en Leipzig, una editorial con la que mantenía una larga relación. La historia de las matemáticas debía abarcarse en tres volúmenes; HG Zeuthen se encargaría del período hasta la Edad Media y Paul Stäckel del período comprendido entre 1500 y 1800. Para cubrir las matemáticas aplicadas del siglo XIX, Klein intentó convencer a Heinrich Weber y Carl Runge , pero finalmente aceptó que debía hacerlo él mismo. ^{[ 3 ]}

Klein planeó dar conferencias sobre el desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX en el semestre de invierno de 1910/11 y nuevamente en el semestre de invierno de 1912/13, pero en ambas ocasiones no pudo hacerlo. ^{[ 4 ]} Las clases se impartieron entonces de forma privada durante la Primera Guerra Mundial. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Los cursos de invierno de 1914/15 no se anunciaron en el Vorlesungsverzeichnis (lista de conferencias), mientras que los cursos de verano de 1915 e invierno de 1915/16 se anunciaron como " privatísimos y gratuitos". ^{[ 5 ]} Al primer semestre de conferencias asistieron 24 personas, incluyendo 13 estudiantes varones, 9 profesores y 2 mujeres. Las mujeres eran Iris Runge y la hija de Klein, Elisabeth Staiger. ^{[ 3 ]} Los dos primeros semestres de apuntes de clase fueron editados y mecanografiados por Staiger, recientemente viudo, mientras que el tercer curso fue trabajado por Käthe Heinemann y Helene Stähelin . ^{[ 5 ] [ 7 ]} La parte de Stähelin, completada en Basilea en 1918, incluía figuras dibujadas por Erwin Voellmy . ^{[ 5 ]} Durante algunos años, los apuntes de clase solo estuvieron disponibles como estos manuscritos mecanografiados. ^{[ 7 ]} Después de la muerte de Klein, Richard Courant y Otto Neugebauer editaron los apuntes y publicaron el primer volumen en 1926 en la "serie amarilla" de Springer Verlag , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . ^{[ 8 ] [ 5 ]} En su prefacio, explicaron que habían cambiado lo menos posible del texto original y admitieron que estaba más cerca de un borrador que de una presentación exhaustiva y equilibrada de la historia. ^{[ 9 ]} Si bien agradecieron a varios otros matemáticos por su ayuda, no mencionaron en ningún lugar del libro a las tres mujeres que habían preparado las transcripciones de las conferencias originales. ^{[ 5 ] [ 7 ]}

Posiblemente porque el proyecto Kultur der Gegenwart estaba teniendo dificultades financieras causadas por la guerra, o debido a sus intereses personales, las conferencias de Klein desde 1916 en adelante se centraron en la relatividad, ^{[ 7 ]} y pospuso el trabajo en el contenido relacionado con las obras de Poincaré y Sophus Lie . ^{[ 10 ]} A partir de 1916, Klein impartió sus conferencias en su propia casa para evitar tener que caminar hasta la universidad. ^{[ 7 ]} Las notas fueron tomadas por el asistente de Klein, Walter Baade . ^{[ 7 ]} Las conferencias de Klein sobre "aspectos selectos de las matemáticas más recientes" se centraron en Einstein , la teoría especial de la relatividad en una base invariante y los fundamentos de la relatividad general . ^{[ 11 ]} En 1916, su audiencia de 14 incluía a los profesores Runge y Carathéodory y al estudiante suizo Paul Finsler . La asistente de Hilbert, Emmy Noether, y Käthe Heinemann estaban entre las cinco mujeres presentes, y había dos estudiantes ciegos, Willi Windau y Friedrich Mittelsten Scheid. ^{[ 10 ]} En el invierno de 1916/17, asistieron siete personas: Baade, Richard Bär , Josef Engel , Vsevolod Frederiks , Heinemann, Rudolf Jakob Humm y Windau. ^{[ 12 ]} Klein envió una versión de sus conferencias de verano de 1917 sobre relatividad general a Albert Einstein, quien rechazó el enfoque por enfatizar demasiado el punto de vista formal sobre el heurístico. ^{[ 13 ]} En 1927, las conferencias se publicaron como el segundo volumen de Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert , con el subtítulo adicional Die Grundbegriffe der Invariantentheorie und ihr Eindringen in die mathematische Physik ('Los conceptos fundamentales de la teoría invariante y su infiltración en la física matemática'). Los editores fueron Courant y especialmente Stefan Cohn-Vossen , ^{[ 14 ]} quienes admitieron el carácter fragmentario del libro en su introducción. ^{[ 15 ]}

El primer volumen está organizado en ocho capítulos; el primero, titulado simplemente "Gauß", trata sobre la vida y obra de Carl Friedrich Gauss y se divide en una sección sobre matemáticas aplicadas y otra sobre matemáticas puras. El segundo capítulo, "Francia y la École Polytechnique en las primeras décadas del siglo XIX", contiene secciones sobre mecánica y física matemática (incluyendo la obra de Poisson , Fourier y Cauchy ), geometría ( Monge y sus seguidores), análisis y álgebra (centrándose en Cauchy y Galois ). El tercer capítulo, «La fundación de la revista de Crelle y el auge de las matemáticas puras en Alemania», trata sobre los matemáticos vinculados a la revista de Crelle (los analistas Dirichlet , Abel y Jacobi, y los geómetras Moebius , Plücker y Steiner ), seguido de un capítulo sobre «El desarrollo de la geometría algebraica después de Moebius, Plücker y Steiner», con secciones sobre geometría proyectiva , teoría de invariantes y espacios n- dimensionales y números complejos generales, incluyendo contenido sobre Graßmann y Hamilton . En el quinto capítulo, «Mecánica y física matemática en Alemania e Inglaterra hasta aproximadamente 1880», Klein analiza los trabajos de Hamilton y Jacobi sobre mecánica y los trabajos de matemáticos ingleses como Green , Stokes y Maxwell . El capítulo 6, «La teoría general de las funciones de variables complejas según Riemann y Weierstrass», contrasta el enfoque de Riemann al análisis complejo con el de Weierstrass , y le sigue el capítulo 7, «Una visión más profunda de la naturaleza de las variedades y estructuras algebraicas», que trata sobre geometría algebraica (incluidas las contribuciones de Clebsch y Noether ) y teoría algebraica de números ( Kummer , Dedekind e Hilbert , entre otros). En el último capítulo, «Teoría de grupos y teoría de funciones; funciones automórficas», Klein analiza la teoría de grupos en relación con las obras de Lagrange , Galois y C. Jordan . En la sección sobre formas automórficas, trata las funciones hipergeométricas, las transformaciones conformes, el icosaedro y las funciones elípticas, incluyendo algunas páginas sobre Poincaré . ^{[ 16 ]}Originalmente, Klein también había planeado incluir capítulos completos sobre Poincaré y Sophus Lie en el libro, pero estos no aparecen. ^{[ 9 ]} Además, planeaba analizar la teoría de conjuntos , el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 y los problemas de Hilbert . ^{[ 17 ]}

El segundo volumen está organizado en tres capítulos. El primer capítulo, "Contenido elemental sobre los fundamentos de la teoría lineal invariante", se divide en la parte A sobre la teoría lineal invariante general y una parte B más "libre" sobre la teoría lineal invariante que incluye comentarios sobre el Programa de Erlangen y el desarrollo del análisis vectorial y tensorial. El segundo capítulo, "La teoría especial de la relatividad en mecánica y física matemática", tiene tres partes: la parte A trata sobre mecánica celeste clásica, la parte B sobre la electrodinámica de Maxwell y el grupo de Lorentz , mientras que la parte C trata la adaptación de la mecánica a la teoría de la relatividad del grupo de Lorentz. El tercer capítulo, "Grupos de transformación sobre la base de una forma diferencial cuadrática", tiene cinco partes. La parte A trata sobre mecánica lagrangiana , la parte B sobre la geometría diferencial intrínseca de superficies siguiendo a Gauss. Las partes restantes se ocupan de la geometría riemanniana : la parte C contiene los fundamentos formales de las variedades riemannianas , la parte D las coordenadas normales y las interpretaciones geométricas, y la parte E informa sobre el desarrollo posterior a la época de Riemann, incluyendo el trabajo de Beltrami , Lipschitz y Christoffel . ^{[ 18 ]} Un cuarto capítulo planeado sobre la teoría general de la relatividad y la mecánica hamiltoniana con énfasis en las transformaciones de contacto y los grupos de Lie no se terminó; los editores declararon que ninguno de los borradores existentes podría haberse convertido en una forma imprimible sin agregar las ideas de un autor adicional al enfoque de Klein. ^{[ 15 ]} A diferencia del primer volumen, el segundo volumen tiene un enfoque más sistemático y fáctico y tiene menos comentarios biográficos e históricos. ^{[ 19 ]}

Los libros fueron recibidos con entusiasmo y, en especial, el primer volumen ha sido ampliamente celebrado. ^{[ 20 ] [ 5 ]} GA Miller , al reseñar el primer volumen en Science , ve a Klein como el matemático más eminente que ha escrito una historia general y encuentra la "tarea extremadamente difícil... bien iniciada", y elogia el conocimiento personal de Klein con la mayoría de los matemáticos más destacados. ^{[ 21 ]} La reseña de Josef Lense elogia a los editores y encuentra a Klein la persona más adecuada para la tarea. ^{[ 22 ]} David Eugene Smith , escribiendo para el Bulletin of the American Mathematical Society , llama a Klein un "maestro" y enfatiza la falta de prejuicio nacional en la obra. ^{[ 23 ]} La reseña admirativa de FP White en The Mathematical Gazette llama al libro "fascinante" y menciona varios episodios "curiosos y entretenidos". ^{[ 24 ]} El historiador de las matemáticas Heinrich Wieleitner reseñó ambos volúmenes para Isis . Su reseña del primer volumen acoge con entusiasmo su publicación y la información derivada de la participación personal de Klein, pero critica algunos de sus métodos por no estar a la altura de los estándares de la historiografía científica. El veredicto general es que el libro es eine sehr wertvolle Vorarbeit zu einer wirklichen Geschichte der Mathematik des 19. Jahrh. («una obra preliminar muy valiosa para una verdadera historia de las matemáticas del siglo XIX»). ^{[ 25 ]} El segundo volumen se describe como incompleto pero admirable. Aunque el reseñador señala una ausencia casi total del toque personal del primer volumen, elogia algunos pasajes hermosos. ^{[ 26 ]}

Los libros tuvieron una gran influencia en Dirk Jan Struik , quien había ayudado a los editores a preparar los manuscritos originales. ^{[ 27 ]} En su libro posterior, Una breve historia de las matemáticas , Struik los llama "la mejor historia de las matemáticas del siglo XIX". ^{[ 28 ]} El matemático soviético Vladimir Arnold valoraba profundamente los libros y comentó en una entrevista que gran parte de lo que había aprendido sobre matemáticas ("La mitad de las matemáticas que sé", en sus propias palabras) provenía de su estudio. ^{[ 29 ]} A menudo los recomendaba a sus estudiantes. ^{[ 30 ]}

Al reseñar la edición inglesa del libro, el matemático francés Jean Dieudonné elogia la idea de una nueva edición y señala que el libro de Klein ha sido durante mucho tiempo el único sobre su tema, y ​​aún se encuentra entre los mejores. Sin embargo, enumera una larga lista de omisiones y lamenta la falta de un índice. ^{[ 31 ]} En otra reseña francesa de la reimpresión alemana de ambos volúmenes, Pierre Dugac califica el libro de «insustituible» y elogia las expresiones de Klein sobre el «ambiente» de las matemáticas del siglo XIX, pero critica la falta de una introducción moderna que lo contextualice dentro de las obras históricas más recientes. ^{[ 32 ]} El historiador de las matemáticas de Alemania Oriental, Hans Wußing, celebra la reimpresión y considera que el libro forma parte de la literatura fundamental de la historia matemática, aunque señala que algunas de las opiniones de Klein son subjetivas y han quedado obsoletas. ^{[ 33 ]}

En su libro sobre Klein y Sophus Lie , el matemático soviético Isaak Yaglom defiende a Klein de las acusaciones de chovinismo formuladas por Jacques Hadamard en 1943. Si bien admite que Klein ignoró las contribuciones de matemáticos rusos e italianos y algunos campos como la teoría de la probabilidad , Yaglom escribe: «La importancia del libro radica en el concepto de trabajo conjunto de científicos de todas las razas y nacionalidades, que contribuyen quizás de diferentes maneras, pero con igual mérito, a la construcción del edificio matemático». ^{[ 34 ]} El matemático e historiador Detlef Laugwitz cita las Vorlesungen de Klein en su libro sobre Bernhard Riemann , calificando a Klein de «importante como testigo del efecto de las ideas de Riemann en las últimas décadas del siglo XIX». ^{[ 35 ]} El historiador de las matemáticas David E. Rowe las describe como "un relato muy personal de este período" y señala que las notas de clase originales "eran a veces incluso más subjetivas, expresando sus recelos sobre las recientes tendencias modernistas hacia la abstracción y la axiomática ". ^{[ 36 ]}

El libro fue traducido al ruso dos veces, ambas veces como Лекции о развитии математики в XIX столетии . La edición de 1937 fue traducida por B. Livshits, A. Lopshits , Y. Rabinovich y L. Tumerman y tenía un prefacio del historiador soviético de matemáticas Mark Vygodskii . ^{[ 37 ]} Contenía algunos errores. Por ejemplo, tradujo erróneamente Jacobi muriendo de Blattern (viruela) como muriendo en un lugar llamado Blattern. ^{[ 38 ]} La segunda versión apareció en 1989, traducida por NM Nagorny y editada por MM Postnikov . ^{[ 39 ]} En el prefacio, que se basa en el de Vygodskii, señalaron que su principal objetivo era ser lo más fieles posible al pensamiento de Klein y al espíritu de su obra. ^{[ 40 ]} En 2003, también apareció el segundo volumen, traducido por VA Antonov y editado por BP Kondratyev. ^{[ 41 ]}

El libro fue traducido al inglés por M. Ackerman como Development of Mathematics in The 19th Century (1979), editado por Robert Hermann , quien proporcionó un extenso apéndice sobre "Matemáticas kleinianas desde un punto de vista avanzado". ^{[ 42 ]} Fue traducido al chino como数学在19世纪的发展como parte de la serie数学翻译丛书(Traducciones matemáticas) editada por Shing-Tung Yau para Higher Education Press . El primer volumen apareció en 2010, traducido por Qi Minyou ; el segundo en 2011, traducido por Li Peilian (李培廉). El primer volumen incluye una traducción al chino del prefacio de Hermann a la traducción al inglés. ^{[ 43 ] [ 44 ]}

• Klein, Félix (1937). Lekcii o razvitii matematiki v XIX stoletii (en ruso). Moscú; Leningrado: Ob'edinennoye nauchno-tekhnicheskoye izdatelstvo NKTP SSSR.
• Klein, Félix (1989). Lekcii o razvitii matematiki v XIX stoletii. 1 . Moscú: Nauka. ISBN 978-5-02-013920-6.
• Klein, Félix (2003). Lekcii o razvitii matematiki v XIX stoletii. 2 . Moscú; Izhevsk: Institut Komp'yuternykh Issledovaniy. ISBN 5-93972-208-3.
• Klein, Felix (2010).数学在19世纪的发展 (第一卷)(en chino). 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-028886-5.
• Klein, Felix (2011).数学在19世纪的发展 (第二卷)(en chino). 高等教育出版社. ISBN 978-7-04-032284-2.
• Klein, Felix (1979a). Desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX . Traducido por Ackerman, M. Brookline, Mass: Math Sci Press. ISBN 0-915692-28-7.

• Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert at Göttinger Digitalisierungszentrum: http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN375425993