Diamante cúbico

En cristalografía , la estructura cristalina cúbica del diamante es un patrón repetitivo de 8 átomos que ciertos materiales pueden adoptar al solidificarse. Si bien el primer ejemplo conocido fue el diamante , otros elementos del grupo 14 también adoptan esta estructura, incluyendo el α-estaño , los semiconductores silicio y germanio , y las aleaciones de silicio-germanio en cualquier proporción. También existen cristales, como la forma de alta temperatura de la cristobalita , que tienen una estructura similar, con un tipo de átomo (como el silicio en la cristobalita) en las posiciones de los átomos de carbono en el diamante, pero con otro tipo de átomo (como el oxígeno) a medio camino entre ellos (véase Categoría:Minerales en el grupo espacial 227 ).

Aunque a menudo se la denomina red de diamante , esta estructura no es una red en el sentido técnico de esta palabra utilizada en matemáticas.

La estructura cúbica del diamante se encuentra en el grupo espacial Fd 3 m (grupo espacial 227), que sigue la red cúbica centrada en las caras de Bravais. La red describe el patrón repetitivo; para los cristales cúbicos de diamante , esta red está "decorada" con un motivo de dos átomos unidos tetraédricamente en cada celda primitiva , separados por ⁠ 1/4 ⁠ del ancho de la celda unitaria en cada dimensión. ^{[ 1 ]} La red del diamante puede verse como un par de redes cúbicas centradas en las caras que se intersecan , con cada una separada por ⁠ 1/4 ⁠ del ancho de la celda unitaria en cada dimensión. Muchos semiconductores compuestos , como el arseniuro de galio , el carburo de silicio β y el antimoniuro de indio , adoptan la estructura análoga de blenda de zinc , donde cada átomo tiene vecinos más cercanos de un elemento diferente. El grupo espacial de la blenda de zinc es F 4 3m, pero muchas de sus propiedades estructurales son bastante similares a la estructura del diamante. ^{[ 2 ]}

El factor de empaquetamiento atómico de la estructura cúbica del diamante (la proporción de espacio que sería llenado por esferas centradas en los vértices de la estructura y lo más grandes posible sin superponerse) es${\displaystyle {\tfrac {\pi {\sqrt {3}}}{16}}\approx 0.34,}$^{[ 3 ]} significativamente más pequeños (lo que indica una estructura menos densa) que los factores de empaquetamiento para lasredes cúbicas centradas en las caras y centradas en el cuerpo. ^{[ 4 ]} Las estructuras de zincblenda tienen factores de empaquetamiento más altos que 0,34 dependiendo de los tamaños relativos de sus dos átomos componentes.

Las distancias al primer, segundo, tercer, cuarto y quinto vecino más cercano en unidades de la constante de red cúbica son${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{4}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {11}}{4}},1,{\tfrac {\sqrt {19}}{4}},}$respectivamente.

Matemáticamente, a los puntos de la estructura cúbica de diamante se les pueden dar coordenadas como un subconjunto de una red entera tridimensional usando una celda unitaria cúbica de cuatro unidades de ancho. Con estas coordenadas, los puntos de la estructura tienen coordenadas ( x , y , z ) que satisfacen las ecuaciones ^{[ 5 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}x=y&=z\ ({\text{mod }}\ 2),\\x+y+z&=0{\text{ o }}1\ ({\text{mod }}\ 4).\end{aligned}}}$$

Hay ocho puntos ( módulo 4) que satisfacen estas condiciones:

(0,0,0), (0,2,2), (2,0,2), (2,2,0),

(3,3,3), (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3)

Todos los demás puntos de la estructura se pueden obtener sumando múltiplos de cuatro a las coordenadas x, y, z de estos ocho puntos. Los puntos adyacentes en esta estructura están a distancia ⁠${\displaystyle {\sqrt {3}}}$Separados en la red entera; los bordes de la estructura de diamante se encuentran a lo largo de las diagonales del cuerpo de los cubos de la cuadrícula entera. Esta estructura se puede escalar a una celda unitaria cúbica que tiene un número a de unidades de ancho multiplicando todas las coordenadaspor a / 4 . 

Alternativamente, cada punto de la estructura cúbica de diamante puede estar dado por coordenadas enteras de cuatro dimensiones cuya suma es cero o uno. Dos puntos son adyacentes en la estructura de diamante si y solo si sus coordenadas de cuatro dimensiones difieren en uno en una sola coordenada. La diferencia total en los valores de las coordenadas entre dos puntos cualesquiera (su distancia de Manhattan de cuatro dimensiones ) da el número de aristas en el camino más corto entre ellos en la estructura de diamante. Los cuatro vecinos más cercanos de cada punto pueden obtenerse, en este sistema de coordenadas, sumando uno a cada una de las cuatro coordenadas, o restando uno a cada una de las cuatro coordenadas, según la suma de las coordenadas sea cero o uno. Estas coordenadas de cuatro dimensiones pueden transformarse en coordenadas tridimensionales mediante la fórmula ^{[ 5 ] [ 6 ].}$${\displaystyle (a,b,c,d)\to (a+bcd,\ a-b+cd,\ -a+b+cd).}$$ Debido a que la estructura de diamante forma un subconjunto que conserva la distancia de la red entera de cuatro dimensiones, es un cubo parcial . ^{[ 6 ]}

Otra coordinación del cubo de diamante implica la eliminación de algunas aristas de un grafo de cuadrícula tridimensional. En esta coordinación, que presenta una geometría distorsionada respecto a la estructura estándar del cubo de diamante, pero conserva la misma estructura topológica, los vértices del cubo de diamante se representan mediante todos los puntos posibles de la cuadrícula 3D y las aristas del cubo de diamante se representan mediante un subconjunto de las aristas de la cuadrícula 3D. ^{[ 7 ]}

El cubo de diamante a veces se denomina "red de diamante", pero matemáticamente no es una red : no existe una simetría traslacional que transforme el punto (0,0,0) en el punto (3,3,3), por ejemplo. Sin embargo, sigue siendo una estructura altamente simétrica: cualquier par incidente de un vértice y una arista puede transformarse en cualquier otro par incidente mediante una congruencia del espacio euclidiano . Además, el cristal de diamante, como red en el espacio, posee una fuerte propiedad isotrópica. ^{[ 8 ]} Es decir, para cualesquiera dos vértices x, y de la red cristalina, y para cualquier orden de las aristas adyacentes a x y cualquier orden de las aristas adyacentes a y , existe una congruencia que preserva la red, transformando x en y y cada arista de x en la arista de y ordenada de forma similar . Otro cristal (hipotético) con esta propiedad es el grafo de Laves (también llamado cristal K ₄ , (10,3)-a o gemelo de diamante). ^{[ 9 ]}

La resistencia a la compresión y la dureza del diamante y de otros materiales, como el nitruro de boro , ^{[ 10 ]} (que tiene una estructura de blenda de zinc muy similar ) se atribuyen a la estructura cúbica del diamante.

De manera similar, los sistemas de celosía que siguen la geometría cúbica de diamante tienen una alta capacidad para soportar compresión, al minimizar la longitud sin arriostramiento de los puntales individuales . ^{[ 11 ]} La geometría cúbica de diamante también se ha considerado para el propósito de proporcionar rigidez estructural ^{[ 12 ] [ 13 ]} aunque se ha encontrado que las estructuras compuestas de triángulos esqueléticos , como la celosía de octeto , son más efectivas para este propósito.

• Alótropos del carbono : materiales compuestos únicamente de carbono. 
• Cristalografía : estudio científico de las estructuras cristalinas. 
• Gráfico de Laves – Gráfico espacial periódico 
• Panal tetraédrico truncado de Triakis : teselación que rellena el espacio 

• Contenido multimedia relacionado con el diamante cúbico en Wikimedia Commons.
• Software para construir caminatas aleatorias autoevitantes en la red cúbica de diamante.