Gráfico de Laves

Como describe Coxeter (1955) , los vértices del grafo de Laves se pueden definir seleccionando uno de cada ocho puntos en la red entera tridimensional y formando su grafo de vecinos más cercanos . Específicamente, se eligen los puntos $${\displaystyle {\begin{aligned}(0,0,0),\quad (1,2,3),\quad (2,3,1),\quad (3,1,2),\\(2,2,2),\quad (3,0,1),\quad (0,1,3),\quad (1,3,0),\\\end{aligned}}}$$ y todos los demás puntos formados al sumar múltiplos de cuatro a estas coordenadas. Las aristas del grafo de Laves conectan pares de puntos cuya distancia euclidiana entre sí es la raíz cuadrada de dos .${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ya que los puntos de cada par difieren en una unidad en dos coordenadas y son iguales en la tercera coordenada. Las aristas se encuentran en ángulos de 120° en cada vértice, en un plano. Todos los pares de vértices que no son adyacentes están más separados, a una distancia de al menos${\displaystyle {\sqrt {6}}}$entre sí. Las aristas del grafo geométrico resultante son diagonales de un subconjunto de las caras del poliedro sesgado regular con seis caras cuadradas por vértice, por lo que el grafo de Laves está incrustado en este poliedro sesgado. ^{[ 1 ]}

Es posible elegir un conjunto más grande de uno de cada cuatro puntos de la red entera, de modo que el gráfico de distancia-${\displaystyle {\sqrt {2}}}$Los pares de este conjunto más grande forman dos copias simétricas del gráfico de Laves, desconectadas entre sí, con todos los demás pares de puntos más alejados que${\displaystyle {\sqrt {2}}}$aparte. ^{[ 9 ]}

Como grafo abstracto, el grafo de Laves puede construirse como el grafo de recubrimiento abeliano máximo del grafo completo.${\displaystyle K_{4}}$. Siendo un grafo de recubrimiento abeliano de${\displaystyle K_{4}}$significa que los vértices del grafo de Laves pueden ser cuatricolores de tal manera que cada vértice tenga vecinos de los otros tres colores y de tal manera que existan simetrías que preserven el color, llevando cualquier vértice a cualquier otro vértice del mismo color. Para el grafo de Laves en su forma geométrica con coordenadas enteras, estas simetrías son traslaciones que suman números pares a cada coordenada (además, los desplazamientos de las tres coordenadas deben ser congruentes módulo cuatro). Al aplicar dos de estas traslaciones sucesivamente, la traslación neta es independiente de su orden: conmutan entre sí, formando un grupo abeliano . Los vectores de traslación de este grupo forman una red tridimensional . Finalmente, ser un grafo de recubrimiento abeliano maximal significa que no existe otro grafo de recubrimiento de${\displaystyle K_{4}}$que implica una red de dimensiones superiores. Esta construcción justifica un nombre alternativo para el grafo de Laves, el${\displaystyle K_{4}}$cristal. ^{[ 10 ]}

Un grafo de recubrimiento abeliano maximal se puede construir a partir de cualquier grafo finito.${\displaystyle G}$; aplicado a${\displaystyle K_{4}}$, la construcción produce el grafo de Laves (abstracto), pero no le da la misma disposición geométrica. Elija un árbol de expansión de${\displaystyle G}$, dejar${\displaystyle d}$sea ​​el número de aristas que no están en el árbol de expansión (en este caso, tres aristas que no son del árbol), y elija un vector unitario distinto en${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$para cada una de estas aristas que no son de árbol. Luego, fije el conjunto de vértices del grafo de cobertura como los pares ordenados.${\displaystyle (v,w)}$dónde${\displaystyle v}$es un vértice de${\displaystyle G}$y${\displaystyle w}$es un vector en${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$. Para cada par de este tipo, y cada arista${\displaystyle uv}$adyacente a${\displaystyle v}$en${\displaystyle G}$, hacer un borde de${\displaystyle (v,w)}$a${\displaystyle (u,w\pm \epsilon )}$dónde${\displaystyle \epsilon }$es el vector cero si${\displaystyle uv}$pertenece al árbol de expansión y, por lo demás, es el vector base asociado con${\displaystyle uv}$y donde el signo más o menos se elige según la dirección en que se recorre la arista. El grafo resultante es independiente del árbol de expansión elegido, y la misma construcción también puede interpretarse de forma más abstracta utilizando la homología . ^{[ 11 ]}

Utilizando la misma construcción, el teselado hexagonal del plano es el grafo de recubrimiento abeliano máximo del grafo dipolar de tres aristas , y el cubo de diamante es el grafo de recubrimiento abeliano máximo del dipolar de cuatro aristas.${\displaystyle d}$La red entera de dimensión (como un grafo con aristas de longitud unitaria) es el grafo de recubrimiento abeliano máximo de un grafo con un vértice y${\displaystyle d}$bucles propios . ^{[ 10 ]}

El grafo de distancia unitaria en la red entera tridimensional tiene un vértice por cada punto de la red; cada vértice tiene exactamente seis vecinos. Es posible eliminar algunos puntos de la red, de modo que cada punto restante tenga exactamente tres vecinos, y de modo que el subgrafo inducido de estos puntos no tenga ciclos de menos de diez aristas. Hay cuatro maneras de hacer esto, una de las cuales es isomorfa como grafo abstracto al grafo de Laves. Sin embargo, sus vértices están en posiciones diferentes a las de la construcción geométrica convencional más simétrica. ^{[ 12 ]}

Otro subgrafo de la red cúbica simple isomorfa al grafo de Laves se obtiene eliminando la mitad de las aristas de cierta manera. La estructura resultante, llamada retículo cúbico semisimple, también tiene una simetría menor que el propio grafo de Laves. ^{[ 13 ]}

Una escultura titulada Bamboozle , de Jacobus Verhoeff y su hijo Tom Verhoeff, tiene la forma de un fragmento del grafo de Laves, cuyos vértices están representados por triángulos acrílicos entrelazados de varios colores. Fue instalada en 2013 en la Universidad Tecnológica de Eindhoven . ^{[ 18 ]}

Se ha sugerido que el gráfico de Laves es un alótropo del carbono , análogo a la estructura más común del grafeno y el grafito, que también tienen tres enlaces por átomo en ángulos de 120°. ^{[ 3 ] [ 5 ]} En el grafeno, los átomos adyacentes tienen los mismos planos de enlace, mientras que en la estructura del gráfico de Laves, los planos de enlace de los átomos adyacentes están girados en un ángulo de aproximadamente 70,5° alrededor de la línea del enlace. Sin embargo, este hipotético alótropo del carbono resulta ser inestable. ^{[ 19 ]}

El gráfico de Laves también puede dar una estructura cristalina para el boro , una que los cálculos predicen que debería ser estable. ^{[ 20 ]} Otros compuestos químicos que pueden formar esta estructura incluyen SrSi ₂ (del cual deriva el nombre "red srs") ^{[ 8 ]} y nitrógeno elemental , ^{[ 9 ] [ 20 ]} así como ciertos marcos metalorgánicos ^{[ 21 ]} e hidrocarburos cíclicos . ^{[ 22 ]}

Se ha estudiado la estructura de bandas electrónicas para el modelo de enlace fuerte del grafo de Laves, mostrando la existencia de puntos de Dirac y Weyl en esta estructura. ^{[ 23 ] [ 24 ]}

La estructura del grafo de Laves, y de las superficies giroidales derivadas de él, también se ha observado experimentalmente en sistemas de agua jabonosa y en las redes de quitina de las escamas de las alas de las mariposas . ^{[ 9 ]}