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polinomio de Dickson

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En matemáticas , los polinomios de Dickson , denotados D n ( x , α ) , forman una secuencia polinómica introducida por LE Dickson ( 1897 ) . Fueron redescubiertos por Brewer (1961) en su estudio de las sumas de Brewer y, en ocasiones, aunque raramente, se les ha denominado polinomios de Brewer . 

En el plano de los números complejos, los polinomios de Dickson son esencialmente equivalentes a los polinomios de Chebyshev con un cambio de variable y, de hecho, a veces se les denomina polinomios de Chebyshev.

Los polinomios de Dickson se estudian generalmente sobre cuerpos finitos , donde a veces pueden no ser equivalentes a los polinomios de Chebyshev. Una de las principales razones del interés en ellos es que, para un α fijo , proporcionan muchos ejemplos de polinomios de permutación ; polinomios que actúan como permutaciones de cuerpos finitos.

Definición

Primer tipo

Para un entero n > 0 y α en un anillo conmutativo R con identidad (a menudo elegido como el cuerpo finito F q = GF( q ) ) los polinomios de Dickson (de primera especie) sobre R están dados por [ 1 ]

Dnorte(incógnita,α)=∑i=0⌊norte2⌋nortenorte−i(norte−ii)(−α)iincógnitanorte−2i.{\displaystyle D_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n}{ni}}{\binom {ni}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.}

Los primeros polinomios de Dickson son

D1(incógnita,α)=incógnitaD2(incógnita,α)=incógnita2−2αD3(incógnita,α)=incógnita3−3incógnitaαD4(incógnita,α)=incógnita4−4incógnita2α+2α2D5(incógnita,α)=incógnita5−5incógnita3α+5incógnitaα2.{\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}(x,\alpha )&=x\\D_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-2\alpha \\D_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-3x\alpha \\D_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-4x^{2}\alpha +2\alpha ^{2}\\D_{5}(x,\alpha )&=x^{5}-5x^{3}\alpha +5x\alpha ^{2}\,.\end{aligned}}}

También pueden generarse mediante la relación de recurrencia para n ≥ 2 ,

Dnorte(incógnita,α)=incógnitaDnorte−1(incógnita,α)−αDnorte−2(incógnita,α),{\displaystyle D_{n}(x,\alpha )=xD_{n-1}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2}(x,\alpha )\,,}

con las condiciones iniciales D 0 ( x , α ) = 2 y D 1 ( x , α ) = x .

Los coeficientes se dan en varios lugares del OEIS [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] con pequeñas diferencias para los dos primeros términos.

Segundo tipo

Los polinomios de Dickson de segundo tipo, E n ( x , α ) , se definen por

minorte(incógnita,α)=∑i=0⌊norte2⌋(norte−ii)(−α)iincógnitanorte−2i.{\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {ni}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}.}

No se han estudiado mucho y tienen propiedades similares a las de los polinomios de Dickson de primera especie. Los primeros polinomios de Dickson de segunda especie son:

mi0(incógnita,α)=1mi1(incógnita,α)=incógnitami2(incógnita,α)=incógnita2−αmi3(incógnita,α)=incógnita3−2incógnitaαmi4(incógnita,α)=incógnita4−3incógnita2α+α2.{\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x,\alpha )&=1\\E_{1}(x,\alpha )&=x\\E_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-\alpha \\E_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-2x\alpha \\E_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-3x^{2}\alpha +\alpha ^{2}\,.\end{aligned}}}

También pueden generarse mediante la relación de recurrencia para n ≥ 2 ,

minorte(incógnita,α)=incógnitaminorte−1(incógnita,α)−αminorte−2(incógnita,α),{\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=xE_{n-1}(x,\alpha )-\alpha E_{n-2}(x,\alpha )\,,}

con las condiciones iniciales E 0 ( x , α ) = 1 y E 1 ( x , α ) = x .

Los coeficientes también se dan en el OEIS. [ 6 ] [ 7 ]

Propiedades

Los D n son los polinomios mónicos únicos que satisfacen la ecuación funcional.

Dnorte(tú+αtú,α)=túnorte+(αtú)norte,{\displaystyle D_{n}\left(u+{\frac {\alpha }{u}},\alpha \right)=u^{n}+\left({\frac {\alpha }{u}}\right)^{n},}

donde α ∈ F q y u ≠ 0 ∈ F q 2 . [ 8 ]

También satisfacen una regla de composición, [ 8 ]

Dmetronorte(incógnita,α)=Dmetro(Dnorte(incógnita,α),αnorte)=Dnorte(Dmetro(incógnita,α),αmetro).{\displaystyle D_{mn}(x,\alpha )=D_{m}{\bigl (}D_{n}(x,\alpha ),\alpha ^{n}{\bigr )}\,=D_{n}{\bigl (}D_{m}(x,\alpha ),\alpha ^{m}{\bigr )}\,.}

Los E n también satisfacen una ecuación funcional [ 8 ]

minorte(y+αy,α)=ynorte+1−(αy)norte+1y−αy,{\displaystyle E_{n}\left(y+{\frac {\alpha }{y}},\alpha \right)={\frac {y^{n+1}-\left({\frac {\alpha }{y}}\right)^{n+1}}{y-{\frac {\alpha }{y}}}}\,,}

para y ≠ 0 , y 2 ≠ α , con α ∈ F q y y ∈ F q 2 .

El polinomio de Dickson y = D n es una solución de la ecuación diferencial ordinaria.

(incógnita2−4α)y″+incógnitay′−norte2y=0,{\displaystyle \left(x^{2}-4\alpha \right)y''+xy'-n^{2}y=0\,,}

y el polinomio de Dickson y = E n es una solución de la ecuación diferencial

(incógnita2−4α)y″+3incógnitay′−norte(norte+2)y=0.{\displaystyle \left(x^{2}-4\alpha \right)y''+3xy'-n(n+2)y=0\,.}

Sus funciones generadoras ordinarias son

∑norteDnorte(incógnita,α)znorte=2−incógnitaz1−incógnitaz+αz2∑norteminorte(incógnita,α)znorte=11−incógnitaz+αz2.{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}D_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {2-xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\\\sum _{n}E_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {1}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.\end{aligned}}}

Según la relación de recurrencia anterior, los polinomios de Dickson son secuencias de Lucas . Específicamente, para α = −1 , los polinomios de Dickson de primera especie son polinomios de Fibonacci , y los polinomios de Dickson de segunda especie son polinomios de Lucas .

Según la regla de composición anterior, cuando α es idempotente , la composición de polinomios de Dickson de primera especie es conmutativa.

  • Los polinomios de Dickson con parámetro α = 0 dan monomios .

Dnorte(incógnita,0)=incógnitanorte.{\displaystyle D_{n}(x,0)=x^{n}\,.}

Dnorte(2incógnita,1)=2Tnorte(incógnita).{\displaystyle D_{n}(2x,1)=2T_{n}(x)\,.}

  • Dado que el polinomio de Dickson D n ( x , α ) se puede definir sobre anillos con idempotentes adicionales, D n ( x , α ) a menudo no está relacionado con un polinomio de Chebyshev.

Polinomios de permutación y polinomios de Dickson

Un polinomio de permutación (para un cuerpo finito dado) es aquel que actúa como una permutación de los elementos de dicho cuerpo finito.

El polinomio de Dickson D n ( x , α) (considerado como una función de x con α fijo) es un polinomio de permutación para el cuerpo con q elementos si y solo si n es coprimo con q 2 − 1 . [ 9 ]

Fried (1970) demostró que cualquier polinomio integral que sea un polinomio de permutación para infinitos cuerpos primos es una composición de polinomios de Dickson y polinomios lineales (con coeficientes racionales). Esta afirmación se conoce como la conjetura de Schur, aunque en realidad Schur no la formuló. Dado que el artículo de Fried contenía numerosos errores, Turnwald (1995) ofreció una corrección , y posteriormente Müller (1997) presentó una demostración más sencilla siguiendo un argumento de Schur.

Además, Müller (1997) demostró que cualquier polinomio de permutación sobre el campo finito F q cuyo grado sea simultáneamente coprimo con q y menor que q ⁠ 1 / 4 ⁠ debe ser una composición de polinomios de Dickson y polinomios lineales.

Generalización

Los polinomios de Dickson de ambos tipos sobre cuerpos finitos pueden considerarse como miembros iniciales de una secuencia de polinomios de Dickson generalizados denominados polinomios de Dickson de ( k + 1) -ésimo tipo. [ 10 ] Específicamente, para α ≠ 0 ∈ F q con q = p e para algún primo p y cualesquiera enteros n ≥ 0 y 0 ≤ k < p , el n -ésimo polinomio de Dickson de ( k + 1) -ésimo tipo sobre F q , denotado por D n , k ( x , α ) , se define por [ 11 ]

D0,k(incógnita,α)=2−k{\displaystyle D_{0,k}(x,\alpha )=2-k}

y

Dnorte,k(incógnita,α)=∑i=0⌊norte2⌋norte−kinorte−i(norte−ii)(−α)iincógnitanorte−2i.{\displaystyle D_{n,k}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n-ki}{n-i}}{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.}

D n ,0 ( x , α ) = D n ( x , α ) y D n ,1 ( x , α ) = E n ( x , α ) , lo que demuestra que esta definición unifica y generaliza los polinomios originales de Dickson.

Las propiedades significativas de los polinomios de Dickson también se generalizan: [ 12 ]

  • Relación de recurrencia : Para n ≥ 2 ,
Dnorte,k(incógnita,α)=incógnitaDnorte−1,k(incógnita,α)−αDnorte−2,k(incógnita,α),{\displaystyle D_{n,k}(x,\alpha )=xD_{n-1,k}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2,k}(x,\alpha )\,,}
con las condiciones iniciales D 0, k ( x , α ) = 2 − k y D 1, k ( x , α ) = x .
  • Ecuación funcional :
Dnorte,k(y+αy−1,α)=y2norte+kαy2norte−2+⋯+kαnorte−1y2+αnorteynorte=y2norte+αnorteynorte+(kαynorte)y2norte−αnorte−1y2y2−α,{\displaystyle D_{n,k}\left(y+\alpha y^{-1},\alpha \right)={\frac {y^{2n}+k\alpha y^{2n-2}+\cdots +k\alpha ^{n-1}y^{2}+\alpha ^{n}}{y^{n}}}={\frac {y^{2n}+{\alpha }^{n}}{y^{n}}}+\left({\frac {k\alpha }{y^{n}}}\right){\frac {y^{2n}-{\alpha }^{n-1}y^{2}}{y^{2}-\alpha }}\,,}
donde y ≠ 0 , y 2 ≠ α .
  • Función generadora :
∑norte=0∞Dnorte,k(incógnita,α)znorte=2−k+(k−1)incógnitaz1−incógnitaz+αz2.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D_{n,k}(x,\alpha )z^{n}={\frac {2-k+(k-1)xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.}

Notas

  1. ^ Lidl y Niederreiter 1983 , pág. 355
  2. ↑ ver OEIS A132460
  3. ↑ ver OEIS A213234
  4. ↑ ver OEIS A113279
  5. ↑ ver OEIS A034807, este sin signos pero con muchas referencias
  6. ↑ ver OEIS A115139
  7. ↑ ver OEIS A011973, este también sin signos pero con muchas referencias
  8. ^ Mullen y Panario 2013 , pág. 283
  9. ↑ Lidl y Niederreiter 1983 , pág. 356
  10. ↑ Wang, Q.; Yucas, JL (2012), "Polinomios de Dickson sobre cuerpos finitos", Campos finitos y sus aplicaciones , 18 (4): 814– 831, doi : 10.1016/j.ffa.2012.02.001
  11. ↑ Mullen y Panario 2013 , pág. 287
  12. ↑ Mullen y Panario 2013 , pág. 288

Referencias

  • Brewer, BW (1961), "Sobre ciertas sumas de caracteres", Transactions of the American Mathematical Society , 99 (2): 241– 245, doi : 10.2307/1993392 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993392 , MR 0120202 , Zbl 0103.03205    
  • Dickson, LE (1897). "La representación analítica de sustituciones en una potencia de un número primo de letras con una discusión del grupo lineal I,II". Ann . of Math . 11 (1/6). The Annals of Mathematics: 65–120 , 161–183 . doi : 10.2307/1967217 . hdl : 2027/uiuo.ark:/13960/t4zh9cw1v . ISSN 0003-486X . JFM 28.0135.03 . JSTOR 1967217 .   
  • Fried, Michael ( 1970). "Sobre una conjetura de Schur" . Michigan Math. J. 17 : 41–55 . doi : 10.1307 /mmj/1029000374 . ISSN 0026-2285 . MR 0257033. Zbl 0169.37702 .   
  • Lidl, R.; Mullen, GL; Turnwald, G. (1993). Polinomios de Dickson . Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. Vol.  65. Longman Scientific & Technical, Harlow; coeditado en Estados Unidos con John Wiley & Sons, Inc., Nueva York. ISBN 978-0-582-09119-1. SEÑOR 1237403 . Zbl 0823.11070 .  
  • Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1983). Campos finitos . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. Vol.  20 (1.ª  ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-13519-0. Zbl 0866.11069 . 
  • Mullen, Gary L. (2001) [1994], "Polinomios de Dickson" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
  • Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Handbook of Finite Fields , CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
  • Müller, Peter (1997). "Una prueba libre de la conjetura de Schur con límite de Weil" . Campos finitos y sus aplicaciones . 3 : 25–32 . doi : 10.1006/ffta.1996.0170 . Zbl 0904.11040 . 
  • Rassias, Thermistocles M.; Srivastava, HM; Yanushauskas, A. (1991). Temas sobre polinomios de una y varias variables y sus aplicaciones: Un legado de PLChebyshev . World Scientific. pp. 371–395 . ISBN  978-981-02-0614-7.
  • Turnwald, Gerhard (1995). "Sobre la conjetura de Schur" . J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 58 ( 3): 312–357 . doi : 10.1017/S1446788700038349 . MR 1329867. Zbl 0834.11052 .  
  • Young, Paul Thomas (2002). "Sobre los polinomios de Dickson modificados" (PDF) . Fibonacci Quarterly . 40 (1): 33– 40. doi : 10.1080/00150517.2002.12428678 .
  • Bayad, Abdelmejid; Cangul, Ismail Naci (2012). "El polinomio mínimo 2 cos(pi/q) y los polinomios de Dickson". Appl. Math. Comp . 218 (13): 7014– 7022. doi : 10.1016/j.amc.2011.12.044 .
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