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Articulo de referencia

Suma de dos cubos

Demostración visual de las fórmulas para la suma y la diferencia de dos cubos. En matemáticas , la suma de dos cubos es la suma de un número al cubo y otro número al cubo. Facto...

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Demostración visual de las fórmulas para la suma y la diferencia de dos cubos.

En matemáticas , la suma de dos cubos es la suma de un número al cubo y otro número al cubo.

Factorización

Toda suma de cubos puede factorizarse según la identidada3+b3=(a+b)(a2−ab+b2){\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})} en álgebra elemental . [ 1 ]

Los números binomiales generalizan esta factorización a potencias impares más altas.

Prueba

Comenzando con la expresión,a2−ab+b2{\displaystyle a^{2}-ab+b^{2}}y multiplicando por a + b [ 1 ](a+b)(a2−ab+b2)=a(a2−ab+b2)+b(a2−ab+b2).{\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2}).} distribuyendo a y b sobrea2−ab+b2{\displaystyle a^{2}-ab+b^{2}}, [ 1 ]a3−a2b+ab2+a2b−ab2+b3{\displaystyle a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}} y cancelando los términos similares, [ 1 ]a3+b3.{\displaystyle a^{3}+b^{3}.}

De manera similar para la diferencia de cubos, (a−b)(a2+ab+b2)=a(a2+ab+b2)−b(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2−a2b−ab2−b3=a3−b3.{\displaystyle {\begin{aligned}(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})&=a(a^{2}+ab+b^{2})-b(a^{2}+ab+b^{2})\\&=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}\;-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}\\&=a^{3}-b^{3}.\end{aligned}}}

mnemotecnia "SOAP"

La mnemotecnia "SOAP", abreviatura de "Same, Opposite, Always Positive" (Igual, opuesto, siempre positivo), ayuda a recordar los signos : [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

El último teorema de Fermat

El último teorema de Fermat, en el caso del exponente 3, establece que la suma de dos cubos enteros distintos de cero no da como resultado un cubo entero distinto de cero. La primera demostración registrada del caso del exponente 3 fue dada por Euler . [ 5 ]

Números de taxis y cabtaxi

Un número de taxi es el número positivo más pequeño que se puede expresar como una suma de dos cubos enteros positivos de n maneras distintas. El número de taxi más pequeño después de Ta(1) = 2, es Ta(2) = 1729 (el número de Ramanujan ), [ 6 ] expresado como

13+123{\displaystyle 1^{3}+12^{3}}o93+103{\displaystyle 9^{3}+10^{3}}

Ta(3), el número de taxi más pequeño expresado de 3 maneras diferentes, es 87.539.319, expresado como

4363+1673{\displaystyle 436^{3}+167^{3}},4233+2283{\displaystyle 423^{3}+228^{3}}o4143+2553{\displaystyle 414^{3}+255^{3}}

Un número Cabtaxi es el número positivo más pequeño que puede expresarse como suma de dos cubos enteros de n maneras, permitiendo que los cubos sean negativos o cero, así como positivos. El número Cabtaxi más pequeño después de Cabtaxi(1) = 0 es Cabtaxi(2) = 91, [ 7 ] expresado como:

33+43{\displaystyle 3^{3}+4^{3}}o63−53{\displaystyle 6^{3}-5^{3}}

Cabtaxi(3), el número Cabtaxi más pequeño expresado de 3 maneras diferentes, es 4104, [ 8 ] expresado como

163+23{\displaystyle 16^{3}+2^{3}},153+93{\displaystyle 15^{3}+9^{3}}o−123+183{\displaystyle -12^{3}+18^{3}}

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 4 McKeague, Charles P. (1986). Álgebra elemental (3.ª  ed.). Academic Press. pág.  388. ISBN 0-12-484795-1.
  2. ↑ Kropko, Jonathan (2016). Matemáticas para científicos sociales . Los Ángeles, LA: Sage. pág. 30. ISBN  9781506304212.
  3. ↑ Matemáticas védicas: Secretos y técnicas para cálculos mentales rápidos y precisos . V&S Publishers. Junio ​​de 2015. ISBN 978-93-5057-456-0.
  4. ↑ Clemens, Meg; Clemens, Glenn (3 de septiembre de 2019). Álgebra 2: El método fácil . Simon and Schuster. ISBN 978-1-4380-1214-8.
  5. ↑ Dickson, LE (1917). "El último teorema de Fermat y el origen y la naturaleza de la teoría de los números algebraicos". Annals of Mathematics . 18 (4): 161– 187. doi : 10.2307/2007234 . ISSN 0003-486X . JSTOR 2007234 .  
  6. ↑ "A001235 - OEIS" . oeis.org . Consultado el 4 de enero de 2023 .
  7. ↑ Schumer, Peter (2008). "Suma de dos cubos de dos maneras diferentes" . Math Horizons . 16 (2): 8– 9. doi : 10.1080/10724117.2008.11974795 . JSTOR 25678781 . 
  8. ↑ Silverman, Joseph H. (1993). "Taxicabs and Sums of Two Cubes". The American Mathematical Monthly . 100 (4): 331– 340. doi : 10.2307/2324954 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2324954 .  

Lecturas adicionales