Teorema de diferenciación de Lebesgue

En matemáticas , el teorema de diferenciación de Lebesgue es un teorema de análisis real que establece que, para casi todos los puntos, el valor de una función integrable es el promedio límite tomado alrededor del punto. El teorema recibe su nombre de Henri Lebesgue .

Para una función real o compleja integrable de Lebesgue f en R ⁿ , la integral indefinida es una función de conjunto que asigna un conjunto medible A a la integral de Lebesgue de , donde denota la función característica del conjunto A . Generalmente se escribe con λ la medida de Lebesgue n -dimensional . ${\displaystyle f\cdot \mathbf {1} _{A}}$${\displaystyle \mathbf {1}_{A}}$$${\displaystyle A\mapsto \int _{A}f\ \mathrm {d} \lambda ,}$$

La derivada de esta integral en x se define como donde | B | denota el volumen (es decir, la medida de Lebesgue) de una bola B   centrada en x , y B  → x significa que el diámetro de B   tiende a 0. El teorema de diferenciación de Lebesgue (Lebesgue 1910) establece que esta derivada existe y es igual a f ( x ) en casi todos los puntos x  ∈ R ⁿ . ^[1] De hecho, una afirmación ligeramente más fuerte es verdadera. Nótese que: $${\displaystyle \lim _{B\to x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f\,\mathrm {d} \lambda ,}$$
$${\displaystyle \left|{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} \lambda (y)-f(x)\right|=\left|{\frac {1}{|B|}}\int _{B}(f(y)-f(x))\,\mathrm {d} \lambda (y)\right|\leq {\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-f(x)|\,\mathrm {d} \lambda (y).}$$

La afirmación más fuerte es que el lado derecho tiende a cero para casi todos los puntos x . Los puntos x para los cuales esto es cierto se denominan puntos de Lebesgue de f .

También se cumple una versión más general. Se pueden reemplazar las bolas B   por una familia de conjuntos U   de excentricidad acotada . Esto significa que existe algún c  > 0 fijo tal que cada conjunto U   de la familia está contenido en una bola B   con . También se supone que cada punto x ∈ R ⁿ está contenido en conjuntos arbitrariamente pequeños de . Cuando estos conjuntos se reducen a x , se cumple el mismo resultado: para casi cada punto x , ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle |U|\geq c\,|B|}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$$${\displaystyle f(x)=\lim _{U\to x,\,U\in {\mathcal {V}}}{\frac {1}{|U|}}\int _{U}f\,\mathrm {d} \lambda .}$$

La familia de cubos es un ejemplo de dicha familia , como lo es la familia ( m ) de rectángulos en R ² tales que la relación de los lados se mantiene entre m ⁻¹ y m , para algún m ≥ 1 fijo  . Si se da una norma arbitraria en R ⁿ , la familia de bolas para la métrica asociada a la norma es otro ejemplo. ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

El caso unidimensional fue demostrado anteriormente por Lebesgue (1904). Si f es integrable en la línea real, la función es casi en todas partes diferenciable, con Were definido por una integral de Riemann este sería esencialmente el teorema fundamental del cálculo , pero Lebesgue demostró que sigue siendo cierto cuando se utiliza la integral de Lebesgue. ^[2]$${\displaystyle F(x)=\int _{(-\infty ,x]}f(t)\,\mathrm {d} t}$$${\displaystyle F'(x)=f(x).}$${\estilo de visualización F}$

El teorema en su forma más fuerte (que establece que casi todos los puntos son puntos de Lebesgue de una función localmente integrable f) se puede demostrar como consecuencia de las estimaciones débiles de L ¹ para la función máxima de Hardy-Littlewood . La demostración a continuación sigue el tratamiento estándar que se puede encontrar en Benedetto y Czaja (2009), Stein y Shakarchi (2005), Wheeden y Zygmund (1977) y Rudin (1987).

Como el enunciado es de carácter local, se puede suponer que f es cero fuera de alguna esfera de radio finito y, por lo tanto, integrable. Entonces, es suficiente demostrar que el conjunto

${\displaystyle E_{\alpha}={\Bigl \{}x\in \mathbf {R} ^{n}:\limsup _{|B|\rightarrow 0,\,x\in B}{\frac {1}{|B|}}{\bigg |}\int _{B}f(y)-f(x)\,\mathrm {d} y{\bigg |}>2\alpha {\Bigr \}}}$

tiene medida 0 para todo α  > 0.

Sea ε  > 0. Utilizando la densidad de funciones continuas de soporte compacto en L ¹ ( R ⁿ ) , se puede encontrar una función g que satisfaga

${\displaystyle \|fg\|_{L^{1}}=\int _{\mathbf {R} ^{n}}|f(x)-g(x)|\,\mathrm {d} x<\varepsilon .}$

Entonces resulta útil reescribir la diferencia principal como

${\displaystyle {\frac {1}{|B|}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} yf(x)={\Bigl (}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}{\bigl (}f(y)-g(y){\bigr )}\,\mathrm {d} y{\Bigr )}+{\Bigl (}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}g(y)\,\mathrm {d} yg(x){\Bigr )}+{\bigl (}g(x)-f(x){\bigr )}.}$

El primer término puede estar acotado por el valor en x de la función máxima para f  −  g , denotada aquí por : ${\displaystyle (fg)^{*}(x)}$

${\displaystyle {\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-g(y)|\,\mathrm {d} y\leq \sup _{r>0}{\frac {1}{|B_{r}(x)|}}\int _{B_{r}(x)}|f(y)-g(y)|\,\mathrm {d} y=(fg)^{*}(x).}$

El segundo término desaparece en el límite ya que g es una función continua, y el tercer término está acotado por | f ( x ) − g ( x )|. Para que el valor absoluto de la diferencia original sea mayor que 2 α en el límite, al menos uno de los términos primero o tercero debe ser mayor que α en valor absoluto. Sin embargo, la estimación de la función Hardy-Littlewood dice que

${\displaystyle {\Bigl |}\left\{x:(fg)^{*}(x)>\alpha \right\}{\Bigr |}\leq {\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\|fg\|_{L^{1}}<{\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\varepsilon ,}$

para alguna constante A _n que depende únicamente de la dimensión n . La desigualdad de Markov (también llamada desigualdad de Chebyshev) dice que

${\displaystyle {\Bigl |}\left\{x:|f(x)-g(x)|>\alpha \right\}{\Bigr |}\leq {\frac {1}{\alpha }}\,\|fg\|_{L^{1}}<{\frac {1}{\alpha }}\,\varepsilon }$

de este modo

${\displaystyle |E_{\alpha}|\leq {\frac {A_{n}+1}{\alpha}}\,\varepsilon .}$

Como ε es arbitrario, puede tomarse como arbitrariamente pequeño y se cumple el teorema.

El lema de cobertura de Vitali es vital para la prueba de este teorema; su papel consiste en demostrar la estimación de la función máxima de Hardy-Littlewood .

El teorema se cumple también si se sustituyen las bolas, en la definición de la derivada, por familias de conjuntos con diámetro tendente a cero que satisfacen la condición de regularidad de Lebesgue , definida anteriormente como familia de conjuntos con excentricidad acotada . Esto se deduce porque la misma sustitución puede hacerse en el enunciado del lema de recubrimiento de Vitali.

Se trata de un análogo y una generalización del teorema fundamental del cálculo , que iguala una función integrable de Riemann y la derivada de su integral (indefinida). También es posible demostrar una inversa: que toda función diferenciable es igual a la integral de su derivada, pero para ello se requiere una integral de Henstock-Kurzweil para poder integrar una derivada arbitraria.

Un caso especial del teorema de diferenciación de Lebesgue es el teorema de densidad de Lebesgue , que es equivalente al teorema de diferenciación para funciones características de conjuntos mensurables. El teorema de densidad suele demostrarse utilizando un método más simple (p. ej., véase Medida y categoría).

Este teorema también es válido para cualquier medida de Borel finita en R ⁿ en lugar de la medida de Lebesgue (se puede encontrar una prueba en, por ejemplo, (Ledrappier & Young 1985)). De manera más general, es válido para cualquier medida de Borel finita en un espacio métrico separable tal que se cumpla al menos una de las siguientes condiciones:

• El espacio métrico es una variedad riemanniana ,
• El espacio métrico es un espacio ultramétrico localmente compacto ,
• La medida se está duplicando .

Una prueba de estos resultados se puede encontrar en las secciones 2.8-2.9 de (Federer 1969).

• Teorema de densidad de Lebesgue

• Lebesgue, Henri (1904). Leçons sur l'Intégration et la recherche des fonctions primitives. París: Gauthier-Villars.
• Lebesgue, Henri (1910). "Sur l'intégration des fonctions discontinua". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 27 : 361–450. doi : 10.24033/asens.624 .
• Wheeden, Richard L.; Zygmund, Antoni (1977). Medida e integral: una introducción al análisis real . Marcel Dekker.
• Oxtoby, John C. (1980). Medida y categoría . Springer Verlag.
• Stein, Elias M. ; Shakarchi, Rami (2005). Análisis real . Princeton Lectures in Analysis, III. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. xx+402. ISBN 0-691-11386-6. Señor 2129625
• Benedetto, Juan J.; Czaja, Wojciech (2009). Integración y análisis moderno . Textos avanzados de Birkhäuser. Saltador. págs. 361–364. ISBN 978-0817643065.
• Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas (3.ª ed.). McGraw–Hill. ISBN 0070542341.
• Ledrappier, F.; Young, LS (1985). "La entropía métrica de los difeomorfismos: Parte I: Caracterización de medidas que satisfacen la fórmula de entropía de Pesin". Anales de Matemáticas . 122 (3): 509–539. doi :10.2307/1971328. JSTOR  1971328.
• Federer, Herbert (1969). Teoría de la medida geométrica . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Banda. vol. 153. Nueva York: Springer-Verlag New York Inc.