Ángulo diedro

Un ángulo diedro es el ángulo entre dos planos o semiplanos que se intersecan . Es un ángulo plano formado sobre un tercer plano, perpendicular a la línea de intersección entre los dos planos o a la arista común entre los dos semiplanos. En dimensiones superiores , un ángulo diedro representa el ángulo entre dos hiperplanos . En química , es el ángulo en sentido horario entre los semiplanos que pasan por dos conjuntos de tres átomos , con dos átomos en común.

Cuando los dos planos que se intersecan se describen en términos de coordenadas cartesianas mediante las dos ecuaciones

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$

${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}$

el ángulo diedro,${\displaystyle \varphi }$La relación entre ellos viene dada por:

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\right\vert }{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}}$

y satisface${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \pi /2.}$Se puede observar fácilmente que el ángulo es independiente de${\displaystyle d_{1}}$y${\displaystyle d_{2}}$.

Alternativamente, si n _A y n _B son vectores normales a los planos, se tiene

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{|\mathbf {n} _{\mathrm {A} }||\mathbf {n} _{\mathrm {B} }|}}}$

donde n _A  · n _B  es el producto escalar de los vectores y | n _A | | n _B | es el producto de sus longitudes. ^{[ 1 ]}

En las fórmulas anteriores se requiere el valor absoluto, ya que los planos no cambian al modificar los signos de todos los coeficientes en una ecuación, o al reemplazar un vector normal por su opuesto.

Sin embargo, los valores absolutos pueden y deben evitarse al considerar el ángulo diedro de dos semiplanos cuyos límites son la misma línea. En este caso, los semiplanos pueden describirse mediante un punto P de su intersección y tres vectores b ₀ , b ₁ y b ₂ tales que P + b ₀ , P + b ₁ y P + b ₂ pertenecen respectivamente a la línea de intersección, al primer semiplano y al segundo semiplano. El ángulo diedro de estos dos semiplanos se define por

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1})\cdot (\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2})}{|\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1}||\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2}|}}}$,

y satisface${\displaystyle 0\leq \varphi <\pi .}$En este caso, intercambiar los dos semiplanos da el mismo resultado, y también lo hace reemplazar${\displaystyle \mathbf {b} _{0}}$con${\displaystyle -\mathbf {b} _{0}.}$En química (véase más abajo), definimos un ángulo diedro tal que reemplazando${\displaystyle \mathbf {b} _{0}}$con${\displaystyle -\mathbf {b} _{0}}$cambia el signo del ángulo, que puede estar entre − π y π .

En algunas áreas científicas, como la física de polímeros , se puede considerar una cadena de puntos y enlaces entre puntos consecutivos. Si los puntos están numerados secuencialmente y ubicados en las posiciones r ₁ , r ₂ , r ₃ , etc., entonces los vectores de enlace se definen por u ₁ = r ₂ − r ₁ , u ₂ = r ₃ − r ₂ , y u _i = r _i+1 − r _i , de forma más general. ^{[ 2 ]} Este es el caso de las cadenas cinemáticas o los aminoácidos en una estructura proteica . En estos casos, a menudo interesan los semiplanos definidos por tres puntos consecutivos y el ángulo diedro entre dos de dichos semiplanos consecutivos. Si u ₁ , u ₂ y u ₃ son tres vectores de enlace consecutivos, la intersección de los semiplanos está orientada, lo que permite definir un ángulo diedro que pertenece al intervalo (− π , π ] . Este ángulo diedro se define por ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi &={\frac {(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}}\\\sin \varphi &={\frac {\mathbf {u} _{2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}))}{|\mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}},\end{aligned}}}$

o bien, utilizando la función atan2 ,

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (\mathbf {u} _{2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})),|\mathbf {u} _{2}|\,(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).}$

Este ángulo diedro no depende de la orientación de la cadena (el orden en que se consideran los puntos); invertir este orden consiste en reemplazar cada vector por su opuesto e intercambiar los índices 1 y 3. Ambas operaciones no modifican el coseno, pero sí cambian el signo del seno. Por lo tanto, en conjunto, no alteran el ángulo.

Una fórmula más sencilla para el mismo ángulo diedro es la siguiente (la demostración se presenta a continuación):

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi &={\frac {(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}}\\\sin \varphi &={\frac {|\mathbf {u} _{2}|\,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}},\end{aligned}}}$

o equivalentemente,

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (|\mathbf {u} _{2}|\,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}),(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).}$

Esto se puede deducir de fórmulas anteriores utilizando la fórmula del producto cuádruple vectorial y el hecho de que un producto triple escalar es cero si contiene dos veces el mismo vector:

${\displaystyle (\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}-[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{2}]\mathbf {u} _{1}=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}}$

Dada la definición del producto cruzado , esto significa que${\displaystyle \varphi }$es el ángulo en sentido horario del cuarto átomo comparado con el primer átomo, mientras se observa a lo largo del eje desde el segundo átomo hasta el tercero. Los casos especiales (se podría decir los casos habituales) son:${\displaystyle \varphi =\pi }$,${\displaystyle \varphi =+\pi /3}$y${\displaystyle \varphi =-\pi /3}$, que se denominan conformaciones trans , gauche ⁺ y gauche ⁻ .

Un ángulo de torsión , que se encuentra en la estereoquímica , es un ejemplo particular de un ángulo diedro que describe la relación geométrica de dos partes de una molécula unidas por un enlace químico . ^{[ 4 ] [ 5 ]} Cada conjunto de tres átomos no colineales de una molécula define un semiplano. Como se explicó anteriormente, cuando dos de estos semiplanos se intersecan (es decir, un conjunto de cuatro átomos enlazados consecutivamente), el ángulo entre ellos es un ángulo diedro. Los ángulos diedros se utilizan para especificar la conformación molecular . ^{[ 6 ]} Las disposiciones estereoquímicas correspondientes a ángulos entre 0° y ±90° se denominan syn (s), y las correspondientes a ángulos entre ±90° y 180° anti (a). De manera similar, las disposiciones correspondientes a ángulos entre 30° y 150° o entre −30° y −150° se denominan clinales (c) y aquellas entre 0° y ±30° o ±150° y 180° se denominan periplanares (p).

Los dos tipos de términos se pueden combinar para definir cuatro rangos de ángulos: de 0° a ±30° sinperiplanar (sp); de 30° a 90° y de −30° a −90° sinclinal (sc); de 90° a 150° y de −90° a −150° anticlinal (ac); de ±150° a 180° antiperiplanar (ap). La conformación sinperiplanar también se conoce como conformación syn o cis ; la antiperiplanar como anti o trans ; y la sinclinal como gauche o skew .

Por ejemplo, en el n - butano se pueden especificar dos planos en función de los dos átomos de carbono centrales y cualquiera de los átomos de carbono metílicos. La conformación syn mostrada arriba, con un ángulo diedro de 60°, es menos estable que la conformación anti , con un ángulo diedro de 180°.

Para uso macromolecular se recomiendan los símbolos T, C, G ⁺ , G ⁻ , A ⁺ y A ^{− (ap, sp, +sc, −sc, +ac y −ac respectivamente).}

Proteínas

Un diagrama de Ramachandran (también conocido como diagrama de Ramachandran o diagrama [ φ , ψ ]), desarrollado originalmente en 1963 por GN Ramachandran , C. Ramakrishnan y V. Sasisekharan, ^{[ 7 ]} es una forma de visualizar las regiones energéticamente permitidas para los ángulos diedros de la cadena principal ψ frente a φ de los residuos de aminoácidos en la estructura de las proteínas .

En una cadena proteica se definen tres ángulos diedros:

• ω (omega) es el ángulo en la cadena C ^α − C' − N − C ^α ,
• φ (phi) es el ángulo en la cadena C' − N − C ^α − C'
• ψ (psi) es el ángulo en la cadena N − C ^α − C' − N (llamado φ′ por Ramachandran)

La figura de la derecha ilustra la ubicación de cada uno de estos ángulos (pero no muestra correctamente cómo se definen). ^{[ 8 ]}

La planaridad del enlace peptídico generalmente restringe ω a 180° (el caso trans típico ) o 0° (el caso cis poco frecuente). La distancia entre los átomos Cα en los ^isómeros trans y cis es de aproximadamente 3,8 y 2,9 Å, respectivamente. La gran mayoría de los enlaces peptídicos en las proteínas son trans , aunque el enlace peptídico con el nitrógeno de la prolina presenta una mayor prevalencia de cis en comparación con otros pares de aminoácidos. ^{[ 9 ]} 

Los ángulos diedros de la cadena lateral se designan con χ _n (chi- n ). ^{[ 10 ]} Tienden a agruparse cerca de 180°, 60° y −60°, que se denominan conformaciones trans , gauche ⁻ y gauche ⁺ . La estabilidad de ciertos ángulos diedros de la cadena lateral se ve afectada por los valores φ y ψ . ^{[ 11 ]} Por ejemplo, existen interacciones estéricas directas entre el C γ de la cadena lateral en el rotámero gauche ⁺ y el nitrógeno del esqueleto del siguiente residuo cuando ψ está cerca de −60°. ^{[ 12 ]} Esto es evidente a partir de las distribuciones estadísticas en bibliotecas de rotámeros dependientes del esqueleto .

La IUPAC también ha definido ángulos diedros para otras moléculas, como los ácidos nucleicos ( ADN y ARN ) y los polisacáridos .

Cada poliedro tiene un ángulo diedro en cada arista que describe la relación entre las dos caras que comparten dicha arista. Este ángulo diedro, también llamado ángulo de la cara , se mide como el ángulo interno con respecto al poliedro. Un ángulo de 0° significa que los vectores normales de las caras son antiparalelos y que las caras se superponen, lo que implica que forma parte de un poliedro degenerado . Un ángulo de 180° significa que las caras son paralelas, como en un teselado . Un ángulo mayor de 180° existe en las partes cóncavas de un poliedro.

Cada ángulo diedro en un poliedro isotoxal y/o isoédrico tiene el mismo valor. Esto incluye los 5 sólidos platónicos , los 13 sólidos de Catalan , los 4 poliedros de Kepler-Poinsot , los 2 poliedros cuasiregulares convexos y las 2 familias infinitas de bipirámides y trapezoedros .

Dados 3 caras de un poliedro que se encuentran en un vértice común P y tienen aristas AP, BP y CP, el coseno del ángulo diedro entre las caras que contienen APC y BPC es: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\cos(\angle \mathrm {APB} )-\cos(\angle \mathrm {APC} )\cos(\angle \mathrm {BPC} )}{\sin(\angle \mathrm {APC} )\sin(\angle \mathrm {BPC} )}}}$

Esto se puede deducir de la ley esférica de los cosenos , pero también se puede encontrar por otros medios. ^{[ 14 ]}

En el espacio euclidiano m- dimensional, el ángulo diedro ⁠${\displaystyle \varphi }$entre los dos hiperplanos definidos por las ecuaciones $${\displaystyle \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {x} =c_{A}}$$$${\displaystyle \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\cdot \mathbf {x} =c_{B}}$$ para vectores n _A , n _B , x ∈ R ^m y constantes c _A y c _B , viene dado por $${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{|\mathbf {n} _{\mathrm {A} }||\mathbf {n} _{\mathrm {B} }|}}\,.}$$

• Atropisómero

• El ángulo diedro en la carpintería en Tips.FM
• El análisis de los 5 poliedros regulares proporciona una derivación paso a paso de estos valores exactos.