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Johnson sólido

En geometría , un sólido de Johnson , a veces también conocido como sólido de Johnson - Zalgaller , [ 1 ] es un poliedro convexo cuyas caras [ 2 ] son ​​polígonos regulares y qu...

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En geometría , un sólido de Johnson , a veces también conocido como sólido de Johnson - Zalgaller , [ 1 ] es un poliedro convexo cuyas caras [ 2 ] son ​​polígonos regulares y que no es un poliedro uniforme . [ 3 ] [ 4 ] Hay 92 de estos sólidos :

Definición y antecedentes

El poliedro de la izquierda, la girobicúpula cuadrada alargada , es un sólido de Johnson. El poliedro de la derecha, la stella octangula , no es un sólido de Johnson: tiene caras regulares, pero no es convexo , ya que algunas de sus diagonales quedan fuera del poliedro.

Un poliedro convexo es la envoltura convexa de un conjunto finito de puntos en el espacio tridimensional, no todos en un plano. [ 5 ] Su frontera es una unión finita de polígonos, ninguno en el mismo plano; esos polígonos se llaman caras . Un sólido de Johnson es un poliedro convexo [ 2 ] cuyas caras son todas polígonos regulares, [ 6 ] pero no un poliedro uniforme ; [ 3 ] [ 4 ] la última condición excluye los sólidos platónicos , los sólidos arquimedianos , los prismas y los antiprismas .

Los sólidos reciben su nombre de Norman Johnson y Victor Zalgaller . [ 7 ] Johnson (1966) publicó una lista de 92 de estos sólidos y les asignó sus nombres y números. Zalgaller (1969) [ 8 ] demostró la conjetura de Johnson [ 9 ] de que no existían más allá de estos 92.

Un poliedro convexo en el que todas las caras son casi regulares, pero algunas no son precisamente regulares, se conoce como sólido de Johnson casi regular . [ 10 ]

Nomenclatura y construcción de sólidos

Los 92 sólidos de Johnson y algunas formas relacionadas. (Ver una versión animada aquí ).

 - inválido, - platónico , - arquimediano , - secciones giradas.   

La nomenclatura de los sólidos de Johnson sigue una fórmula descriptiva flexible y precisa que permite nombrarlos de diversas maneras sin que ello comprometa la exactitud de cada nombre como descripción. Los nombres de los sólidos de Johnson se describen en las siguientes secciones.

Pirámides, cúpulas, rotondas

Los primeros 48 sólidos de Johnson se construyen a partir de pirámides , cúpulas o rotondas , combinadas con prismas o antiprismas . Los siguientes prefijos se adjuntan a la palabra para indicar combinaciones específicas de formas: [ 11 ]

  • Bi- indica que dos copias del sólido están unidas base con base.
    • En el caso de cúpulas y rotondas, el prefijo orto- indica que se encuentran caras iguales.
    • En el caso de cúpulas y rotondas, el prefijo giro- indica que se encuentran caras diferentes.
  • Alargado indica que un prisma está unido a la base del sólido, o entre las bases.
  • El término "giroalargado" indica que un antiprisma está unido a la base del sólido, o entre las bases.

Según esta nomenclatura, una bipirámide pentagonal es un sólido construido mediante la unión de dos bases de pirámides pentagonales. Una ortobicúpula triangular se construye mediante dos cúpulas triangulares unidas por sus bases.

 - inválido, - platónico , - arquimediano .  

Poliedros uniformes modificados

Un prisma triangular se ve aumentado por tres pirámides cuadradas, convirtiéndose en un prisma triangular triaumentado .
Un hedrón rombocosidodeca disminuido .
Un hedrón rombo cosidodeca girando

Los siguientes 35 sólidos de Johnson se construyen modificando poliedros uniformes como prismas , sólidos platónicos o arquimedianos mediante la adición, sustracción o rotación de pirámides o cúpulas . Los siguientes prefijos se adjuntan a la palabra para indicar adiciones, sustracciones o rotaciones: [ 11 ]

  • El término "aumentado" indica que se ha añadido una pirámide o cúpula a una o más caras del sólido en cuestión.
  • Disminuido indica que se ha eliminado una pirámide o cúpula de una o más caras del sólido en cuestión.
  • El término "giratorio" indica que una cúpula montada sobre el sólido en cuestión, o que forma parte de él, está rotada de tal manera que los diferentes bordes coinciden.

Las tres operaciones —aumento , disminución y giro— pueden realizarse varias veces en ciertos sólidos grandes. Bi- y Tri- indican una operación doble y triple, respectivamente. Por ejemplo, un sólido bigirato tiene dos cúpulas rotadas, y un sólido tridimensionado tiene tres pirámides o cúpulas eliminadas. En ciertos sólidos grandes, se distingue entre sólidos con caras alteradas paralelas y sólidos con caras alteradas oblicuas. Para- indica el primer caso, es decir, que el sólido en cuestión tiene caras paralelas alteradas, y meta- el segundo, caras oblicuas alteradas. Por ejemplo, un sólido parabiaumentado tiene dos caras paralelas aumentadas, y un sólido metabigirato tiene dos cúpulas oblicuas giroadas. [ 11 ]

No copiar y pegar

Redes de una luna (izquierda) y una rotonda parcial (derecha).

Los últimos 9 sólidos de Johnson tienen nombres basados ​​en ciertos complejos poligonales a partir de los cuales se ensamblan. Estos nombres son definidos por Johnson con la siguiente nomenclatura: [ 11 ]

  • Una lúnula es una figura formada por dos triángulos unidos a lados opuestos de un cuadrado. Los prefijos que indican un complejo de lúnulas son:
    • Esfeno- es un complejo en forma de cuña formado por dos lúnulas adyacentes. Disfeno- indica dos complejos de este tipo.
    • Hebesfeno : es un complejo romo de tres lunas adyacentes.
  • Los sufijos que indican un complejo de triángulos son:
    • - Corona es un complejo con forma de corona formado por ocho triángulos.
    • - La megacorona es un complejo más grande con forma de corona formado por doce triángulos.
    • - El cíngulo es un cinturón formado por doce triángulos.
  • El sufijo - rotunda indica un complejo de dos o tres pentágonos con triángulos entre ellos, que guarda un parecido estructural con la rotonda pentagonal .

Subconjuntos notables

Deltaedros

5 Los sólidos de Johnson son deltaedros, con solo caras triangulares.

Sólidos quirales

Las 5 bicúpulas giroelongadas o birotundas son quirales y presentan formas distintas para zurdos y diestros.

sólidos circunscribibles

Veinticinco de los sólidos de Johnson tienen vértices que existen en la superficie de una esfera . Se puede observar que todos ellos están relacionados con un sólido platónico o arquimediano mediante giros, disminuciones o disecciones. [ 12 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Araki, Yoshiaki; Horiyama, Takashi; Uehara, Ryuhei (2015). "Desplegamiento común del tetraedro regular y el sólido de Johnson-Zalgaller" . En Rahman, M. Sohel; Tomita, Etsuji (eds.). WALCOM: Algoritmos y computación . Lecture Notes in Computer Science. Vol.  8973. Cham: Springer International Publishing. pp. 294–305 . doi : 10.1007/978-3-319-15612-5_26 . ISBN  978-3-319-15612-5.
  2. 1 2 Por definición, cada cara es la intersección del poliedro convexo con un plano límite diferente, por lo que no hay dos caras coplanares: cualesquiera dos caras adyacentes forman un ángulo menor de 180 grados. Si en cambio se presenta un poliedro convexo dando una colección de polígonos que a priori pueden ser coplanares (por ejemplo, subdividiendo una cara), se podría escribir aquí " poliedro estrictamente convexo" para indicar la condición de que no haya dos de los polígonos coplanares, que no haya dos que se encuentren en un ángulo de 180 grados. Esta noción de "estrictamente convexo" para poliedros no es la misma que la noción estándar utilizada para conjuntos convexos generales : ningún poliedro convexo es estrictamente convexo en este último sentido; véase pág. 263 de AG Khovanskii , Geometry of generalized virtual polyhedra, J. Math. Sciences 269 (2023), 256–269.
  3. 1 2 Todesco, Gian Marco (2020). «Panal hiperbólico». En Emmer, Michele; Abate, Marco (eds.). Imagine Math 7: Between Culture and Mathematics . Springer. p. 282. doi : 10.1007/978-3-030-42653-8 . ISBN  978-3-030-42653-8.
  4. ^ Williams , Kim; Monteleone, Cosino (2021). La perspectiva de Daniele Barbaro de 1568 . Saltador. pag. 23.doi : 10.1007 /978-3-030-76687-0 . ISBN  978-3-030-76687-0.
  5. ↑ Buldygin, VV; Kharazishvili, AB (2000). Aspectos geométricos de la teoría de la probabilidad y la estadística matemática . Springer. p. 2. doi : 10.1007/978-94-017-1687-1 . ISBN  978-94-017-1687-1.
  6. ↑ Diudea, MV (2018). Multi-shell Polyhedral Clusters . Carbon Materials: Chemistry and Physics. Vol. 10. Springer. p. 39. doi : 10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN   978-3-319-64123-2.
  7. ↑ Uehara, Ryuhei (2020). Introducción al origami computacional: El mundo de la nueva geometría computacional . Springer. pág. 62. doi : 10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN  978-981-15-4470-5.
  8. ↑ Zalgaller, Victor A. (1969). Poliedros convexos con caras regulares . Consultants Bureau.
  9. ↑ Johnson, Norman (1966). "Sólidos convexos con caras regulares". Revista canadiense de matemáticas . 18 : 169–200 . doi : 10.4153/CJM-1966-021-8 .
  10. ↑ Kaplan, Craig S.; Hart, George W. (2001). "Simetroedros: Poliedros a partir de la disposición simétrica de polígonos regulares" (PDF) . Bridges: Conexiones matemáticas en el arte, la música y la ciencia : 21–28 .
  11. 1 2 3 4 Berman, Martin (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Journal of the Franklin Institute . 291 (5): 329– 352. doi : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . MR 0290245 . 
  12. ↑ Klitzing, Dr. Richard. "Johnson solids et al" . bendwavy.org . Consultado el 17 de abril de 2018 .
  • Gagnon, Sylvain (1982). "Les polyèdres convexes aux faces régulières" [ Poliedros convexos de caras regulares ] (PDF) . Topología estructural (6): 83–95 .
  • Modelos de papel de poliedros Archivados el 26/02/2013 en Wayback Machine Muchos enlaces
  • Sólidos Johnson por George W. Hart.
  • Poliedros visuales , con modelos 3D y datos para los 92 sólidos, por David I. McCooey.
  • Imágenes de los 92 sólidos, categorizados, en una sola página.
  • Weisstein, Eric W. "Johnson Solid" . MathWorld .
  • Modelos VRML de sólidos de Johnson por Jim McNeill
  • Modelos VRML de sólidos de Johnson por Vladimir Bulatov
  • El proyecto de descubrimiento de policoros CRF intenta descubrir policoros CRF Archivado el 31/10/2020 en la Wayback Machine ( politopos convexos de 4 dimensiones con polígonos regulares como caras de 2 dimensiones ), una generalización de los sólidos de Johnson al espacio de 4 dimensiones
  • https://levskaya.github.io/polyhedronisme/ un generador de poliedros y operaciones de Conway aplicadas a ellos, incluidos los sólidos de Johnson.