membrana de Dirac

En mecánica cuántica , una membrana de Dirac es un modelo de membrana cargada introducido por Paul Dirac en 1962. La motivación original de Dirac fue explicar la masa del muón como una excitación del estado fundamental correspondiente a un electrón . ^{[ 1 ]} Anticipándose al nacimiento de la teoría de cuerdas por casi una década, fue el primero en introducir lo que ahora se denomina un tipo de acción de Nambu-Goto para membranas. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

En el modelo de membrana de Dirac, las fuerzas electromagnéticas repulsivas sobre la membrana se equilibran con las fuerzas contractivas provenientes de la tensión positiva. En el caso de la membrana esférica, las ecuaciones clásicas del movimiento implican que el equilibrio se cumple para el radio${\displaystyle 0.75r_{e}}$, dónde${\displaystyle r_{e}}$es el radio clásico del electrón . Utilizando la condición de cuantización de Bohr-Sommerfeld para el hamiltoniano de la membrana con simetría esférica, Dirac encuentra la aproximación de la masa correspondiente a la primera excitación como${\displaystyle 53m_{e}}$, dónde${\displaystyle m_{e}}$es la masa del electrón, que es aproximadamente una cuarta parte de la masa del muón observada.

Dirac eligió una forma no estándar de formular el principio de acción para la membrana. Debido a que las membranas cerradas en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$para proporcionar una división natural del espacio en interior y exterior existe un sistema especial de coordenadas curvilíneas ${\displaystyle x^{\mu }}$en el espacio-tiempo y una función ${\displaystyle f(x)}$de tal manera que

• ${\displaystyle f(x)=0}$define una membrana
• ${\displaystyle f(x)>0}$, ${\displaystyle f(x)<0}$describir una región fuera o dentro de la membrana

Elegir ${\displaystyle x^{1}=f(x)}$y el siguiente indicador${\displaystyle \sigma ^{0}=x^{0}=:\tau }$, ${\displaystyle \sigma ^{1}=x^{2}}$, ${\displaystyle \sigma ^{2}=x^{3}}$ dónde ${\displaystyle \sigma ^{\alpha }}$(${\displaystyle \alpha =0,1,2}$) es la parametrización interna del volumen del mundo de la membrana, la acción de membrana propuesta por Dirac es

${\displaystyle S=S_{EM}+S_{\text{membrana}}}$

${\displaystyle S_{EM}=-{\frac {1}{16\pi }}\int _{x^{1}>0}Jg^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }d^{4}x,\ \ \ \ S_{\text{membrana}}=-{\frac {\omega }{4\pi }}\int _{x^{1}=0}Mdx^{0}dx^{2}dx^{3}}$

donde la métrica inducida y los factores J y M vienen dados por

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\partial _{\mu }y^{\Lambda }\partial _{\nu }y_{\Lambda },\ \ \ \Lambda =0,1,2,3}$

${\displaystyle J={\sqrt {-\det g_{\mu \nu }}}.\ \ \ M=J{\sqrt {-g^{11}}}}$

En lo anterior${\displaystyle y^{\Lambda }}$son rectilíneas y ortogonales. La signatura espaciotemporal utilizada es (+,-,-,-). Tenga en cuenta que${\displaystyle S_{EM}}$es simplemente una acción habitual para el campo electromagnético en un sistema curvilíneo, mientras que${\displaystyle S_{\text{membrana}}}$es la integral sobre el volumen del mundo de la membrana, es decir, precisamente el tipo de acción utilizada posteriormente en la teoría de cuerdas.

Hay 3 ecuaciones de movimiento que se derivan de la variación con respecto a${\displaystyle A_{\mu }}$y${\displaystyle y^{\Lambda }}$. Ellos son:

• variación con respecto a${\displaystyle A_{\mu }}$para${\displaystyle x_{1}>0}$- Esto da como resultado ecuaciones de Maxwell sin fuente.
• variación con respecto a${\displaystyle y^{\Lambda }}$para${\displaystyle x_{1}>0}$- Esto da como resultado las ecuaciones de Maxwell.
• variación con respecto a${\displaystyle y^{\Lambda }}$para${\displaystyle x_{1}=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}F_{\alpha 1}F^{\alpha 1}=\omega J^{-1}(Mg^{1\mu }/g^{11})_{,\mu }}$

La última ecuación tiene una interpretación geométrica: el lado derecho es proporcional a la curvatura de la membrana. Para el caso de simetría esférica obtenemos

${\displaystyle {\frac {e^{2}}{2\rho ^{4}}}=\omega {\frac {d}{dt}}{\frac {\dot {\rho }}{\sqrt {1-{\dot {\rho }}^{2}}}}+{\frac {2\omega }{\rho {\sqrt {1-{\dot {\rho }}^{2}}}}}}$

Por lo tanto, la condición de equilibrio${\displaystyle {\dot {\rho }}=0}$implica ${\displaystyle a^{3}=e^{2}/4\omega}$dónde${\displaystyle a}$es el radio de la membrana equilibrada. La energía total para la membrana esférica con radio${\displaystyle \rho }$es

${\displaystyle E(\rho )=e^{2}/2\rho +\beta \rho ^{2}}$

y es mínimo en el equilibrio para${\displaystyle \beta =\omega }$, por eso${\displaystyle E(a)=3e^{2}/4a}$Por otro lado, la energía total en el equilibrio debería ser${\displaystyle m_{e}}$(en${\displaystyle c=1}$unidades) y así obtenemos${\displaystyle a=0.75r_{e}}$.

Las pequeñas oscilaciones alrededor del equilibrio en el caso de simetría esférica implican frecuencias -${\displaystyle {\sqrt {6}}/a}$Por lo tanto, pasando a la teoría cuántica, la energía de un cuanto sería${\displaystyle h\nu ={\sqrt {6}}\hbar /a=448m_{e}}$Esto es mucho mayor que la masa del muón, pero las frecuencias no son en absoluto pequeñas, por lo que esta aproximación podría no ser del todo precisa. Para obtener una teoría cuántica más precisa, es necesario calcular el hamiltoniano del sistema y resolver la ecuación de Schrödinger correspondiente.

Para la formulación hamiltoniana, Dirac introduce momentos generalizados.

• para${\displaystyle x^{1}>0}$:${\displaystyle B^{\mu }}$y ${\displaystyle w_{R}}$- momentos conjugados a${\displaystyle A_{\mu }}$y${\displaystyle y^{R}}$respectivamente (${\displaystyle R=1,2,3}$elección de coordenadas${\displaystyle x^{0}=y^{0}}$)
• para${\displaystyle x^{1}=0}$:${\displaystyle W_{R}}$- momentos conjugados a${\displaystyle y^{R}}$

Entonces se observan las siguientes restricciones

• para el campo Maxwell

  ${\displaystyle B^{0}=0,\ \ \ {B^{r}}_{,r}=0,\ \ \ w_{R}{y^{R}}_{,s}-B^{r}F_{rs}=0}$

• para momentos de membrana

  ${\displaystyle W_{R}{y^{R}}_{,2}=W_{R}{y^{R}}_{,3}=0,\ \ \ 16\pi ^{2}W_{R}W_{R}=\omega ^{2}M^{2}c^{00}(c^{00}-1)}$

dónde${\displaystyle c^{ab}}$- recíproco de${\displaystyle g_{ab}}$,${\displaystyle a,b=0,2,3}$.

Estas restricciones deben incluirse al calcular el hamiltoniano, utilizando el método del corchete de Dirac . El resultado de este cálculo es el hamiltoniano de la forma

${\displaystyle H=H_{EM}+H_{s}}$

${\displaystyle H_{s}={\frac {1}{4\pi }}\int {\sqrt {16\pi ^{2}W_{R}W_{R}+\omega ^{2}(g_{22}g_{33}-g_{23}^{2})}}dx^{2}dx^{3}}$

dónde${\displaystyle H_{EM}}$es el hamiltoniano para el campo electromagnético escrito en el sistema curvilíneo.

Para el movimiento con simetría esférica, el hamiltoniano es

${\displaystyle H={\sqrt {\eta ^{2}+\omega ^{2}\rho ^{4}}}+e^{2}/2\rho ,\ \ \ \{\rho ,\eta \}=1}$

Sin embargo, la cuantización directa no es clara debido a la raíz cuadrada del operador diferencial . Para obtener más información, Dirac considera el método de Bohr-Sommerfeld:

${\displaystyle 2\pi \hbar n=2\int _{\rho _{min}}^{\rho _{max}}\eta d\rho }$

y encuentra${\displaystyle E_{1}\approx 53m_{e}}$para${\displaystyle n=1}$.

• Brana

• PAM Dirac, Un modelo extensible del electrón, Proc. Roy. Soc. A268, (1962) 57–67.