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Método directo en el cálculo de variaciones

En matemáticas , el método directo en el cálculo de variaciones es un método general para construir una demostración de la existencia de un minimizador para un funcional dado , ...

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En matemáticas , el método directo en el cálculo de variaciones es un método general para construir una demostración de la existencia de un minimizador para un funcional dado , [ 1 ] introducido por Stanisław Zaremba y David Hilbert alrededor de 1900. El método se basa en métodos de análisis funcional y topología . Además de usarse para demostrar la existencia de una solución, los métodos directos pueden usarse para calcular la solución con la precisión deseada. [ 2 ]

El método

El cálculo de variaciones trata sobre funcionales.J:V→R¯{\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}}, dóndeV{\displaystyle V}es algún espacio de funciones yR¯=R∪{∞}{\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}. El principal interés del tema es encontrar minimizadores para tales funcionales, es decir, funcionesv∈V{\displaystyle v\in V}de tal manera queJ(v)≤J(tú){\displaystyle J(v)\leq J(u)}a pesar detú∈V{\displaystyle u\in V}.

La herramienta estándar para obtener las condiciones necesarias para que una función sea un minimizador es la ecuación de Euler-Lagrange . Sin embargo, buscar un minimizador entre funciones que satisfagan estas condiciones puede llevar a conclusiones erróneas si no se ha establecido previamente la existencia de dicho minimizador.

El funcionalJ{\displaystyle J}debe estar acotado inferiormente para tener un minimizador. Esto significa

inf{J(tú)|tú∈V}>−∞.{\displaystyle \inf\{J(u)|u\in V\}>-\infty .\,}

Esta condición no es suficiente para saber que existe un minimizador, pero muestra la existencia de una secuencia minimizadora , es decir, una secuencia(túnorte){\displaystyle (u_{n})}enV{\displaystyle V}de tal manera queJ(túnorte)→inf{J(tú)|tú∈V}.{\displaystyle J(u_{n})\to \inf\{J(u)|u\in V\}.}

El método directo se puede dividir en los siguientes pasos

  1. Toma una secuencia minimizadora(túnorte){\displaystyle (u_{n})}paraJ{\displaystyle J}.
  2. Demuestra que(túnorte){\displaystyle (u_{n})}admite alguna subsecuencia(túnortek){\displaystyle (u_{n_{k}})}, que converge a untú0∈V{\displaystyle u_{0}\in V}con respecto a una topología τ{\displaystyle \tau }enV{\displaystyle V}.
  3. Demuestra queJ{\displaystyle J}es secuencialmente semicontinua inferior con respecto a la topologíaτ{\displaystyle \tau }.

Para ver que esto demuestra la existencia de un minimizador, considérese la siguiente caracterización de funciones semicontinuas inferiores secuenciales.

La funciónJ{\displaystyle J}es secuencialmente semicontinuo inferior si
límite inferiornorte→∞J(túnorte)≥J(tú0){\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})}para cualquier secuencia convergentetúnorte→tú0{\displaystyle u_{n}\to u_{0}}enV{\displaystyle V}.

Las conclusiones se derivan de

inf{J(tú)|tú∈V}=límitenorte→∞J(túnorte)=límitek→∞J(túnortek)≥J(tú0)≥inf{J(tú)|tú∈V}{\displaystyle \inf\{J(u)|u\in V\}=\lim _{n\to \infty }J(u_{n})=\lim _{k\to \infty }J(u_{n_{k}})\geq J(u_{0})\geq \inf\{J(u)|u\in V\}},

en otras palabras

J(tú0)=inf{J(tú)|tú∈V}{\displaystyle J(u_{0})=\inf\{J(u)|u\in V\}}.

Detalles

Espacios Banach

El método directo a menudo puede aplicarse con éxito cuando el espacioV{\displaystyle V}es un subconjunto de un espacio de Banach reflexivo separableW{\displaystyle W}En este caso, el teorema secuencial de Banach-Alaoglu implica que cualquier secuencia acotada(túnorte){\displaystyle (u_{n})}enV{\displaystyle V}tiene una subsecuencia que converge a algunatú0{\displaystyle u_{0}}enW{\displaystyle W}con respecto a la topología débil . SiV{\displaystyle V}se cierra secuencialmente enW{\displaystyle W}, de modo quetú0{\displaystyle u_{0}}está enV{\displaystyle V}, el método directo puede aplicarse a una funciónJ:V→R¯{\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}}mostrando

  1. J{\displaystyle J}está limitado por debajo,
  2. cualquier secuencia minimizadora paraJ{\displaystyle J}está delimitado y
  3. J{\displaystyle J}es débilmente secuencialmente semicontinua inferiormente, es decir, para cualquier secuencia débilmente convergentetúnorte→tú0{\displaystyle u_{n}\to u_{0}}sostiene quelímite inferiornorte→∞J(túnorte)≥J(tú0){\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})}.

La segunda parte se suele lograr demostrando queJ{\displaystyle J}admite alguna condición de crecimiento. Un ejemplo es

J(incógnita)≥α‖incógnita‖q−β{\displaystyle J(x)\geq \alpha \lVert x\rVert ^{q}-\beta }para algunosα>0{\displaystyle \alpha >0},q≥1{\displaystyle q\geq 1}yβ≥0{\displaystyle \beta \geq 0}.

Un funcional con esta propiedad se denomina a veces coercitivo. Demostrar la semicontinuidad inferior secuencial suele ser la parte más difícil al aplicar el método directo. A continuación se presentan algunos teoremas para una clase general de funcionales.

espacios Sobolev

El funcional típico en el cálculo de variaciones es una integral de la forma

J(tú)=∫ΩF(incógnita,tú(incógnita),∇tú(incógnita))dincógnita{\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx}

dóndeΩ{\displaystyle \Omega }es un subconjunto deRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}yF{\displaystyle F}es una función de valor real enΩ×Rmetro×Rmetronorte{\displaystyle \Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}. El argumento deJ{\displaystyle J}es una función diferenciabletú:Ω→Rmetro{\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}y su jacobino∇tú(incógnita){\displaystyle \nabla u(x)}se identifica con unmetronorte{\displaystyle mn}-vector.

Al derivar la ecuación de Euler - Lagrange, el enfoque común es asumir queΩ{\displaystyle \Omega }tiene undo2{\displaystyle C^{2}}límite y sea el dominio de definición paraJ{\displaystyle J}serdo2(Ω,Rmetro){\displaystyle C^{2}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}Este espacio es un espacio de Banach cuando se le dota de la norma del supremo , pero no es reflexivo. Al aplicar el método directo, el funcional se define generalmente en un espacio de Sobolev.W1,pag(Ω,Rmetro){\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}conpag>1{\displaystyle p>1}, que es un espacio de Banach reflexivo. Las derivadas detú{\displaystyle u}en la fórmula paraJ{\displaystyle J}entonces deben tomarse como derivadas débiles .

Otro espacio de funciones común esWgramo1,pag(Ω,Rmetro){\displaystyle W_{g}^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}que es el subespacio afín deW1,pag(Ω,Rmetro){\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}de funciones cuya traza es alguna función fijagramo{\displaystyle g}en la imagen del operador traza. Esta restricción permite encontrar minimizadores de la función.J{\displaystyle J}que satisfacen algunas condiciones de contorno deseadas. Esto es similar a resolver la ecuación de Euler - Lagrange con condiciones de contorno de Dirichlet. Además, existen configuraciones en las que hay minimizadores enWgramo1,pag(Ω,Rmetro){\displaystyle W_{g}^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}pero no enW1,pag(Ω,Rmetro){\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}La idea de resolver problemas de minimización restringiendo los valores en el límite se puede generalizar aún más considerando espacios de funciones donde la traza está fija solo en una parte del límite y puede ser arbitraria en el resto.

La siguiente sección presenta teoremas sobre la semicontinuidad inferior secuencial débil de funcionales del tipo mencionado anteriormente.

Semicontinuidad inferior secuencial de integrales

Como muchos funcionales en el cálculo de variaciones son de la forma

J(tú)=∫ΩF(incógnita,tú(incógnita),∇tú(incógnita))dincógnita{\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx},

dóndeΩ⊆Rnorte{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}está abierto, teoremas que caracterizan funcionesF{\displaystyle F}para quéJ{\displaystyle J}es débilmente secuencialmente semicontinuo inferior enW1,pag(Ω,Rmetro){\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}conpag≥1{\displaystyle p\geq 1}es de gran importancia.

En general se tiene lo siguiente: [ 3 ]

Supongamos queF{\displaystyle F}es una función que tiene las siguientes propiedades:
  1. La funciónF{\displaystyle F}es una función de Carathéodory .
  2. Existena∈Lq(Ω,Rmetronorte){\displaystyle a\in L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} ^{mn})}con conjugado de Hölderq=pagpag−1{\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}yb∈L1(Ω){\displaystyle b\in L^{1}(\Omega )}de tal manera que la siguiente desigualdad se cumple para casi todosincógnita∈Ω{\displaystyle x\in \Omega }y cada(y,A)∈Rmetro×Rmetronorte{\displaystyle (y,A)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}:F(incógnita,y,A)≥⟨a(incógnita),A⟩+b(incógnita){\displaystyle F(x,y,A)\geq \langle a(x),A\rangle +b(x)}. Aquí,⟨a(incógnita),A⟩{\displaystyle \langle a(x),A\rangle }denota el producto interno de Frobenius dea(incógnita){\displaystyle a(x)}yA{\displaystyle A}enRmetronorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{mn}}).
Si la funciónA↦F(incógnita,y,A){\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}es convexo para casi todosincógnita∈Ω{\displaystyle x\in \Omega }y caday∈Rmetro{\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}},
entoncesJ{\displaystyle J}es secuencialmente débilmente semicontinuo inferior.

Cuandonorte=1{\displaystyle n=1}ometro=1{\displaystyle m=1}Se cumple el siguiente teorema de tipo recíproco [ 4 ].

Supongamos queF{\displaystyle F}es continuo y satisface
|F(incógnita,y,A)|≤a(incógnita,|y|,|A|){\displaystyle |F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)}
por cada(incógnita,y,A){\displaystyle (x,y,A)}y una función fijaa(incógnita,|y|,|A|){\displaystyle a(x,|y|,|A|)}aumentando en|y|{\displaystyle |y|}y|A|{\displaystyle |A|}y localmente integrable enincógnita{\displaystyle x}. SiJ{\displaystyle J}es secuencialmente débilmente semicontinua inferiormente, entonces para cualquier dado(incógnita,y)∈Ω×Rmetro{\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}}la funciónA↦F(incógnita,y,A){\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}es convexo.

En conclusión, cuandometro=1{\displaystyle m=1}onorte=1{\displaystyle n=1}, el funcionalJ{\displaystyle J}, suponiendo un crecimiento razonable y límites enF{\displaystyle F}, es débilmente secuencialmente semicontinua inferiormente si, y solo si la funciónA↦F(incógnita,y,A){\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}es convexo.

Sin embargo, existen muchos casos interesantes en los que no se puede asumir queF{\displaystyle F}es convexa. El siguiente teorema [ 5 ] demuestra la semicontinuidad inferior secuencial utilizando una noción más débil de convexidad:

Supongamos queF:Ω×Rmetro×Rmetronorte→[0,∞){\displaystyle F:\Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}\to [0,\infty )}es una función que tiene las siguientes propiedades:
  1. La funciónF{\displaystyle F}es una función de Carathéodory .
  2. La funciónF{\displaystyle F}tienepag{\displaystyle p}-crecimiento para algunospag>1{\displaystyle p>1}: Existe una constantedo{\displaystyle C}de tal manera que para caday∈Rmetro{\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}y para casi todosincógnita∈Ω{\displaystyle x\in \Omega }|F(incógnita,y,A)|≤do(1+|y|pag+|A|pag){\displaystyle |F(x,y,A)|\leq C(1+|y|^{p}+|A|^{p})}.
  3. Por caday∈Rmetro{\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}y para casi todosincógnita∈Ω{\displaystyle x\in \Omega }, la funciónA↦F(incógnita,y,A){\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}es cuasiconvexo : existe un cuboD⊆Rnorte{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}de tal manera que para cadaA∈Rmetronorte,φ∈W01,∞(Ω,Rmetro){\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{mn},\varphi \in W_{0}^{1,\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}Contiene:

F(incógnita,y,A)≤|D|−1∫DF(incógnita,y,A+∇φ(z))dz{\displaystyle F(x,y,A)\leq |D|^{-1}\int _{D}F(x,y,A+\nabla \varphi (z))dz}

dónde|D|{\displaystyle |D|}es el volumen deD{\displaystyle D}.
EntoncesJ{\displaystyle J}es secuencialmente débilmente inferior semicontinuo enW1,pag(Ω,Rmetro){\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}.

Un teorema recíproco en este caso es el siguiente: [ 6 ]

Supongamos queF{\displaystyle F}es continuo y satisface
|F(incógnita,y,A)|≤a(incógnita,|y|,|A|){\displaystyle |F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)}
por cada(incógnita,y,A){\displaystyle (x,y,A)}y una función fijaa(incógnita,|y|,|A|){\displaystyle a(x,|y|,|A|)}aumentando en|y|{\displaystyle |y|}y|A|{\displaystyle |A|}y localmente integrable enincógnita{\displaystyle x}. SiJ{\displaystyle J}es secuencialmente débilmente semicontinua inferiormente, entonces para cualquier dado(incógnita,y)∈Ω×Rmetro{\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}}la funciónA↦F(incógnita,y,A){\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}es cuasiconvexa . La afirmación es verdadera incluso cuando ambasmetro,norte{\displaystyle m,n}son más grandes que1{\displaystyle 1}y coincide con la afirmación anterior cuandometro=1{\displaystyle m=1}onorte=1{\displaystyle n=1}, puesto que entonces la cuasiconvexidad es equivalente a la convexidad.

Notas

  1. ↑ Dacorogna, págs. 1 – 43.
  2. ↑ IM Gelfand; SV Fomin (1991). Cálculo de variaciones . Dover Publications. ISBN 978-0-486-41448-5.
  3. ↑ Dacorogna, págs. 74 – 79.
  4. ↑ Dacorogna, págs. 66 – 74.
  5. ↑ Acerbi-Fuso
  6. ↑ Dacorogna, pág. 156.

Referencias y lecturas adicionales

  • Dacorogna, Bernard (1989). Métodos directos en el cálculo de variaciones . Springer-Verlag. ISBN 0-387-50491-5.
  • Fonseca, Irene ; Giovanni Leoni (2007). Métodos modernos en el cálculo de variaciones:Lpag{\displaystyle L^{p}}Espacios . Springer. ISBN 978-0-387-35784-3.
  • Morrey, CB, Jr.: Integrales múltiples en el cálculo de variaciones . Springer, 1966 (reimpreso en 2008), Berlín ISBN 978-3-540-69915-6.
  • Jindřich Nečas: Métodos directos en la teoría de ecuaciones elípticas . (Trad. del original francés de 1967 por A. Kufner y G. Tronel), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-10455-8.
  • T. Roubíček (2000). "Método directo para problemas parabólicos". Adv. Math. Sci. Appl . Vol.  10. pp. 57– 65. MR 1769181 .  
  • Acerbi Emilio, Fusco Nicola. "Problemas de semicontinuidad en el cálculo de variaciones." Archivo de Mecánica Racional y Análisis 86.2 (1984): 125-145