Directividad

En electromagnetismo , la directividad es un parámetro de una antena o sistema óptico que mide el grado de concentración de la radiación emitida en una sola dirección. Es la relación entre la intensidad de la radiación en una dirección dada desde la antena y la intensidad de la radiación promediada en todas las direcciones. ^{[ 1 ]} Por lo tanto, la directividad de un radiador isotrópico hipotético , una fuente de ondas electromagnéticas que irradia la misma potencia en todas las direcciones, es 1, o 0 dBi .

La directividad de una antena es mayor que su ganancia por un factor de eficiencia, la eficiencia de radiación . ^{[ 1 ]} La directividad es una medida importante porque muchas antenas y sistemas ópticos están diseñados para irradiar ondas electromagnéticas en una sola dirección o en un ángulo estrecho. Por el principio de reciprocidad , la directividad de una antena al recibir es igual a su directividad al transmitir.

La directividad de una antena real puede variar desde 1,76 dBi para un dipolo corto hasta 50 dBi para una antena parabólica grande . ^{[ 2 ]}

La directividad ,${\displaystyle D}$La directividad de una antena se define para todos los ángulos de incidencia de la misma. El término "ganancia directiva" está en desuso según el IEEE. Si no se especifica un ángulo con respecto a la antena, se presume que la directividad se refiere al eje de máxima intensidad de radiación. ^{[ 1 ]}

${\displaystyle D(\theta ,\phi )={\frac {U(\theta ,\phi )}{P_{\text{tot}}/\left(4\pi \right)}}.}$

Aquí${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \phi }$son el ángulo cenital y el ángulo azimutal respectivamente en los ángulos de coordenadas esféricas estándar ;${\displaystyle U(\theta,\phi)}$es la intensidad de radiación , que es la potencia por unidad de ángulo sólido; y${\displaystyle P_{\text{total}}}$es la potencia radiada total. Las cantidades${\displaystyle U(\theta,\phi)}$y${\displaystyle P_{\text{total}}}$satisfacer la relación

${\displaystyle P_{\text{tot}}=\int _{\phi =0}^{\phi =2\pi }\int _{\theta =0}^{\theta =\pi }U\sin \theta \,d\theta \,d\phi$ ;}

es decir, la potencia radiada total${\displaystyle P_{\text{total}}}$es la potencia por unidad de ángulo sólido${\displaystyle U(\theta,\phi)}$integrada sobre una superficie esférica. Dado que hay 4π estereorradianes en la superficie de una esfera, la cantidad${\displaystyle P_{\text{tot}}/(4\pi )}$representa la potencia media por unidad de ángulo sólido.

En otras palabras, la directividad es la intensidad de radiación de una antena en un punto determinado.${\displaystyle (\theta,\phi)}$combinación de coordenadas dividida por la intensidad de radiación que habría tenido la antena si hubiera sido una antena isotrópica que irradiara la misma cantidad de potencia total al espacio.

La directividad , si no se especifica una dirección, es el valor máximo de ganancia directiva encontrado entre todos los ángulos sólidos posibles:

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=\max \left({\frac {U}{P_{\text{tot}}/\left(4\pi \right)}}\right)\\[3pt]&={\frac {\left.U(\theta ,\phi )\right|_{\text{max}}}{{\frac {1}{4\pi }}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }U(\theta ,\phi )\sin \theta \,d\theta \,d\phi }}.\end{aligned}}}$

En un conjunto de antenas, la directividad es un cálculo complicado en el caso general. Para un conjunto lineal, la directividad siempre será menor o igual al número de elementos. Para un conjunto lineal estándar (SLA) , donde el espaciado entre elementos es${\textstyle {\frac {\lambda }{2}}}$, la directividad es igual al inverso del cuadrado de la norma 2 del vector de pesos de la matriz, bajo el supuesto de que el vector de pesos está normalizado de tal manera que su suma es la unidad. ^{[ 3 ]}

${\displaystyle D_{\text{SLA}}={1 \over {\vec {w}}^{\textsf {H}}{\vec {w}}}\leq N}$

En el caso de una SLA con ponderación uniforme (sin atenuación), esto se reduce simplemente a N, el número de elementos de la matriz.

Para una matriz plana, el cálculo de la directividad es más complicado y requiere considerar las posiciones de cada elemento de la matriz con respecto a todos los demás y con respecto a la longitud de onda. ^{[ 4 ]} Para una matriz plana rectangular o hexagonalmente espaciada con elementos no isótropos, la directividad máxima se puede estimar utilizando la relación universal de apertura efectiva a directividad,${\textstyle {\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}}$,

${\displaystyle D=A_{e}{4{\pi } \over \lambda ^{2}}=Ndx\,dy\,\eta {4\pi \over \lambda ^{2}}}$

donde dx y dy son los espaciamientos de los elementos en las dimensiones x e y y${\displaystyle \eta }$es la "eficiencia de iluminación" de la matriz que tiene en cuenta el estrechamiento y el espaciado de los elementos en la matriz. Para una matriz no estrecha con elementos a menos de${\displaystyle \lambda }$espaciado,${\displaystyle \eta =1}$. Tenga en cuenta que para una matriz rectangular estándar (SRA) sin conicidad, donde${\textstyle dx=dy={\lambda \over 2}}$, esto se reduce a${\displaystyle D\approx N\pi }$. Para una matriz rectangular estándar (SRA) sin conicidad, donde${\displaystyle dx=dy=\lambda }$, esto se reduce a un valor máximo de${\displaystyle D_{\text{max}}\approx 4N\pi }$La directividad de una matriz planar es el producto de la ganancia de la matriz y la directividad de un elemento (suponiendo que todos los elementos son idénticos) solo en el límite cuando el espaciado entre elementos se vuelve mucho mayor que lambda. En el caso de una matriz dispersa, donde el espaciado entre elementos${\displaystyle >\lambda }$,${\displaystyle \eta }$se reduce porque el conjunto no está iluminado de manera uniforme.

Existe una razón física intuitiva para esta relación: básicamente, hay un número limitado de fotones por unidad de área que pueden ser capturados por cada antena. Por ejemplo, colocar dos antenas de alta ganancia muy cerca una de la otra (a menos de una longitud de onda) no duplica la ganancia. Del mismo modo, si las antenas están separadas por más de una longitud de onda, algunos fotones caen entre los elementos y no son captados. Por eso es necesario tener en cuenta el tamaño de la apertura física.

Supongamos una matriz rectangular estándar no cónica de 16×16 (lo que significa que los elementos están espaciados a${\textstyle {\frac {\lambda }{2}}}$.) La ganancia del arreglo es${\displaystyle 10\log _{10}(N)=10\log _{10}(256)=24.1}$dB. Si la matriz fuera cónica, este valor disminuiría. La directividad, suponiendo elementos isotrópicos, es de 25,9 dBi. ^{[ 5 ]} Ahora supongamos elementos con una directividad de 9,0 dBi. La directividad no es de 33,1 dBi, sino de solo 29,2 dBi. ^{[ 6 ]} La razón de esto es que la apertura efectiva de los elementos individuales limita su directividad. Por lo tanto,${\textstyle D=A_{e}{\frac {4\pi }{\lambda ^{2}}}=Ndx\,dy\,\eta {\frac {4\pi }{\lambda ^{2}}}=N{\frac {\lambda }{2}}{\frac {\lambda }{2}}{\frac {4\pi }{\lambda ^{2}}}=N\pi }$. Nota, en este caso${\displaystyle \eta =1}$porque la matriz no es cónica. ¿Por qué la ligera diferencia de${\displaystyle 10\log _{10}(N\pi )={}}$¿29,05 dBi? Los elementos que rodean el borde del conjunto no tienen una apertura efectiva tan limitada como la mayoría de los elementos.

Ahora vamos a mover los elementos del array a${\displaystyle \lambda }$espaciado. Según la fórmula anterior, esperamos que la directividad alcance su máximo en${\textstyle D=A_{e}{\frac {4\pi }{\lambda ^{2}}}=Ndx\,dy\,\eta {\frac {4\pi }{\lambda ^{2}}}=N\lambda \,\lambda \,{\frac {4\pi }{\lambda ^{2}}}=4N\pi }$. El resultado real es 34,6380 dBi, ligeramente inferior al ideal de 35,0745 dBi que esperábamos. ^{[ 7 ]} ¿Por qué la diferencia con respecto al ideal? Si el espaciado en las dimensiones x e y es${\displaystyle \lambda }$, entonces el espaciado a lo largo de las diagonales es${\displaystyle \lambda {\sqrt {2}}}$, creando así pequeñas regiones en la matriz general donde se pierden fotones, lo que lleva a${\displaystyle \eta <1}$.

Ahora ve a${\displaystyle 10\lambda }$espaciado. El resultado ahora debería converger a N veces la ganancia del elemento, o${\displaystyle 10\log _{10}(N)}$+ 9 dBi = 33,1 dBi. El resultado real es, de hecho, 33,1 dBi. ^{[ 8 ]}

Para conjuntos de antenas, la expresión en forma cerrada para la directividad para un conjunto de fuentes isotrópicas con fase progresiva ^{[ 9 ]} estará dada por, ^{[ 10 ]}

${\displaystyle D={\frac {\left(\sum \limits _{n=1}^{N}I_{n}\right)^{2}}{\sum \limits _{m=1}^{N}\sum \limits _{n=1}^{N}I_{m}I_{n}e^{j(\beta _{m}-\beta _{n})}\operatorname {sinc} {\big (}2r_{mn}{\big )}}}}$

dónde,

${\displaystyle N}$es el número total de elementos en la apertura;

${\displaystyle \{x_ {n},y_ {n},z_ {n}\}}$representa la ubicación de los elementos en el sistema de coordenadas cartesianas;

${\displaystyle I_{n}e^{j\beta _ {n}}}$es el coeficiente de excitación complejo del${\displaystyle n^{\textrm {th}}}$-elemento;

${\displaystyle \beta _{n}=-k(x_{n}\sin \theta _{\tau }\cos \phi _{\tau }+y_{n}\sin \theta _{\tau }\sin \phi _{\tau }+z_{n}\cos \theta _{\tau })}$es el componente de fase (fase progresiva);

${\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$es el número de onda;

${\displaystyle \{\theta _{\tau },\phi _{\tau }\}}$es la ubicación angular del objetivo en el campo lejano;

${\displaystyle r_{mn}={\sqrt {(x_{m}-x_{n})^{2}+(y_{m}-y_{n})^{2}+(z_{m}-z_{n})^{2}}}}$es la distancia euclidiana entre la${\displaystyle m^{\textrm {th}}}$y${\displaystyle n^{\textrm {th}}}$elemento en la apertura, y

${\textstyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {1}{\pi x}}\sin(\pi x)}$

Estudios adicionales sobre expresiones de directividad para varios casos, como si las fuentes son omnidireccionales (incluso en el entorno de la matriz) como si el patrón de elemento prototipo toma la forma${\textstyle \sin ^{\mu }\theta \cos ^{\nu }\theta ,\;\left(\mu >-1,\nu >-{\frac {1}{2}}\right)}$y no restringirse a fases progresivas se puede hacer desde. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 10 ] [ 13 ]}

El ángulo sólido del haz , representado como${\displaystyle \Omega _{A}}$, se define como el ángulo sólido a través del cual fluiría toda la potencia si la intensidad de radiación de la antena fuera constante en su valor máximo. Si se conoce el ángulo sólido del haz, entonces la directividad máxima se puede calcular como

${\displaystyle D={\frac {4\pi }{\Omega _ {A}}},}$

que simplemente calcula la relación entre el ángulo sólido del haz y el ángulo sólido de una esfera.

El ángulo sólido del haz se puede aproximar para antenas con un lóbulo principal estrecho y lóbulos secundarios muy pequeños simplemente multiplicando los anchos de haz a media potencia (en radianes) en dos planos perpendiculares. El ancho de haz a media potencia es simplemente el ángulo en el que la intensidad de radiación es al menos la mitad de la intensidad de radiación máxima.

Los mismos cálculos pueden realizarse en grados en lugar de en radianes:

${\displaystyle D\approx 4\pi {\frac {\left({\frac {180}{\pi }}\right)^{2}}{\Theta _{1d}\Theta _{2d}}}\approx {\frac {41253}{\Theta _{1d}\Theta _{2d}}},}$

dónde${\displaystyle \Theta _{1d}}$es el ancho del haz a media potencia en un plano (en grados) y${\displaystyle \Theta _{2d}}$es el ancho del haz a media potencia en un plano perpendicular al otro (en grados).

En arreglos planares, una mejor aproximación es

${\displaystyle D\approx {\frac {32400}{\Theta _{1d}\Theta _{2d}}}.}$

Para una antena con un haz cónico (o aproximadamente cónico) con un ancho de haz de media potencia de${\displaystyle \theta }$grados, entonces el cálculo integral elemental produce una expresión para la directividad como

${\displaystyle D={\frac {2}{1-\cos {\frac {\theta }{2}}}}}$.

La directividad rara vez se expresa como un número adimensional.${\displaystyle D}$sino más bien como una comparación en decibelios con una antena de referencia:

${\displaystyle D_{\text{dB}}=10\log _{10}\left[{\frac {D}{D_{\text{reference}}}}\right].}$

La antena de referencia suele ser el radiador isotrópico perfecto teórico , que irradia uniformemente en todas las direcciones y, por lo tanto, tiene una directividad de 1. El cálculo se simplifica, por consiguiente, a

${\displaystyle D_{\text{dBi}}=10\log _{10}D.}$

Otra antena de referencia común es el dipolo de media onda perfecto teórico , que irradia perpendicularmente a sí mismo con una directividad de 1,64:

${\displaystyle D_{\text{dBd}}\approx 10\log _{10}\left[{\frac {D}{1.64}}\right].}$

Cuando se tiene en cuenta la polarización , se pueden calcular tres medidas adicionales:

El término directividad también se utiliza con otros sistemas.

Con los acopladores direccionales , la directividad es una medida de la diferencia en dB entre la potencia de salida en un puerto acoplado, cuando la potencia se transmite en la dirección deseada, y la potencia de salida en el mismo puerto acoplado cuando se transmite la misma cantidad de potencia en la dirección opuesta. ^{[ 15 ]}

En acústica , se utiliza como medida del patrón de radiación de una fuente, indicando cuánta de la energía total de la fuente se irradia en una dirección particular. En electroacústica, estos patrones suelen incluir patrones polares de micrófono omnidireccionales, cardioides e hipercardioides. Se puede decir que un altavoz con un alto grado de directividad (patrón de dispersión estrecho) tiene un factor Q alto . ^{[ 16 ]}

• Antena direccional

• Coleman, Christopher (2004). «Conceptos básicos». Introducción a la ingeniería de radiofrecuencia . Cambridge University Press. ISBN 0-521-83481-3.