Principio de Dirichlet

En matemáticas , y particularmente en la teoría del potencial , el principio de Dirichlet es la suposición de que el minimizador de un cierto funcional de energía es una solución de la ecuación de Poisson .

El principio de Dirichlet establece que, si la función${\displaystyle u(x)}$es la solución a la ecuación de Poisson

${\displaystyle \Delta u+f=0}$

en un dominio${\displaystyle \Omega }$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con condición de contorno

${\displaystyle u=g}$en el límite${\displaystyle \partial \Omega }$,

Entonces, u se puede obtener como el minimizador de la energía de Dirichlet.

${\displaystyle E[v(x)]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x}$

entre todas las funciones dos veces diferenciables${\displaystyle v}$de tal manera que${\displaystyle v=g}$en${\displaystyle \partial \Omega }$(siempre que exista al menos una función que haga finita la integral de Dirichlet). Este concepto recibe su nombre del matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

El nombre "principio de Dirichlet" se debe a Bernhard Riemann , quien lo aplicó en el estudio de funciones analíticas complejas . ^{[ 1 ]}

Riemann (y otros como Carl Friedrich Gauss y Peter Gustav Lejeune Dirichlet ) sabían que la integral de Dirichlet está acotada inferiormente, lo que establece la existencia de un ínfimo ; sin embargo, daban por sentada la existencia de una función que alcanza el mínimo. Karl Weierstrass publicó la primera crítica de esta suposición en 1870, dando un ejemplo de un funcional que tiene una cota inferior máxima que no es un valor mínimo. El ejemplo de Weierstrass fue el funcional

${\displaystyle J(\varphi )=\int _{-1}^{1}\left(x{\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}\,dx}$

dónde${\displaystyle \varphi }$es continuo en${\displaystyle [-1,1]}$, continuamente diferenciable en${\displaystyle (-1,1)}$y sujeto a condiciones de contorno${\displaystyle \varphi (-1)=a}$,${\displaystyle \varphi (1)=b}$dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son constantes y${\displaystyle a\neq b}$Weierstrass demostró que${\displaystyle \textstyle \inf _{\varphi }J(\varphi )=0}$pero ninguna función admisible${\displaystyle \varphi }$puede hacer${\displaystyle J(\varphi )}$igual a 0. Este ejemplo no refutó el principio de Dirichlet en sí , ya que la integral del ejemplo es diferente de la integral de Dirichlet. Pero sí socavó el razonamiento que Riemann había utilizado e impulsó el interés por demostrar el principio de Dirichlet, así como avances más amplios en el cálculo de variaciones y, en última instancia, en el análisis funcional . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

En 1900, Hilbert justificó posteriormente el uso que Riemann hizo del principio de Dirichlet al desarrollar el método directo en el cálculo de variaciones . ^{[ 4 ]}

• problema de Dirichlet
• El vigésimo problema de Hilbert
• El problema de Plateau
• La primera identidad de Green

• Courant, R. (1950), Principio de Dirichlet, mapeo conforme y superficies mínimas , apéndice de M. Schiffer , Interscience
• Lawrence C. Evans (1998), Ecuaciones diferenciales parciales , Sociedad Matemática Americana, ISBN 978-0-8218-0772-9
• Giaquinta, Mariano ; Hildebrandt, Stefan (1996), Cálculo de variaciones I , Springer
• AF Monna (1975), El principio de Dirichlet: Una comedia matemática de errores y su influencia en el desarrollo del análisis , Oosthoek, Scheltema y Holkema
• Weisstein, Eric W. "Principio de Dirichlet" . MathWorld .