densidad de Dirichlet

En matemáticas , la densidad de Dirichlet (o densidad analítica ) de un conjunto de números primos , que recibe su nombre de Peter Gustav Lejeune Dirichlet , es una medida del tamaño del conjunto que es más fácil de usar que la densidad natural .

Si A es un subconjunto de los números primos, la densidad de Dirichlet de A es el límite

${\displaystyle \lim _{s\rightarrow 1^{+}}{\frac {\sum _{p\in A}{1 \over p^{s}}}{\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}}}}}$

si existe. Tenga en cuenta que desde${\displaystyle \textstyle {\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}}\sim \log({\frac {1}{s-1}})}}$como${\displaystyle s\rightarrow 1^{+}}$(véase la función zeta prima ), esto también es igual a

${\displaystyle \lim _{s\rightarrow 1^{+}}{\sum _{p\in A}{1 \over p^{s}} \over \log({\frac {1}{s-1}})}.}$

Esta expresión suele ser el orden del " polo " de

${\displaystyle \prod _{p\in A}{1 \over 1-p^{-s}}}$

en s = 1, (aunque en general no es realmente un polo ya que tiene un orden no entero), al menos si esta función es una función holomorfa multiplicada por una potencia (real) de s − 1 cerca de s = 1. Por ejemplo, si A es el conjunto de todos los números primos, es la función zeta de Riemann que tiene un polo de orden 1 en s = 1, por lo que el conjunto de todos los números primos tiene una densidad de Dirichlet de 1.

De forma más general, se puede definir la densidad de Dirichlet de una secuencia de números primos (o potencias de números primos), posiblemente con repeticiones, del mismo modo.

Si un subconjunto de primos A tiene una densidad natural, dada por el límite de

(número de elementos de A menores que N ) / (número de primos menores que N )

Entonces también tiene una densidad de Dirichlet, y ambas densidades son iguales. Sin embargo, suele ser más fácil demostrar que un conjunto de primos tiene una densidad de Dirichlet, y esto es suficiente para muchos propósitos. Por ejemplo, al demostrar el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , es fácil demostrar que el conjunto de primos en una progresión aritmética a  + nb (para a y b coprimos ) tiene una densidad de Dirichlet de 1/φ( b ), lo cual es suficiente para demostrar que hay un número infinito de tales primos, pero es más difícil demostrar que esta es la densidad natural.  

En términos generales, demostrar que un conjunto de números primos tiene una densidad de Dirichlet distinta de cero generalmente implica demostrar que ciertas funciones L no se anulan en el punto s = 1, mientras que demostrar que tienen una densidad natural implica demostrar que las funciones L no tienen ceros en la línea Re( s ) = 1.

En la práctica, si algún conjunto de primos "de aparición natural" tiene una densidad de Dirichlet, entonces también tiene una densidad natural, pero es posible encontrar contraejemplos artificiales: por ejemplo, el conjunto de primos cuyo primer dígito decimal es 1 no tiene densidad natural, pero tiene una densidad de Dirichlet log(2)/log(10). ^{[ 1 ]}

• Densidad natural

• J.-P. Serre , Un curso de aritmética , ISBN 0-387-90040-3, capítulo VI sección 4.