Forma de Dirichlet

En la teoría del potencial (el estudio de la función armónica ) y el análisis funcional , las formas de Dirichlet generalizan el laplaciano (el operador matemático en campos escalares). Las formas de Dirichlet se pueden definir en cualquier espacio de medida , sin necesidad de mencionar las derivadas parciales . Esto permite a los matemáticos estudiar la ecuación de Laplace y la ecuación del calor en espacios que no son variedades , por ejemplo, fractales . La ventaja en estos espacios es que se puede hacer esto sin necesidad de un operador de gradiente y, en particular, se puede incluso definir débilmente un "laplaciano" de esta manera si se comienza con la forma de Dirichlet.

Cuando se trabaja con , la forma "clásica" de Dirichlet viene dada por: donde a menudo se discute lo que a menudo se denomina la "energía" de la función . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,v)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\;dx}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}}$${\displaystyle u(x)}$

De manera más general, una forma de Dirichlet es una forma simétrica cerrada markoviana en un espacio L ² . ^[1] En particular, una forma de Dirichlet en un espacio de medida es una función bilineal tal que ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}:D\times D\to \mathbb {R} }$$

1. ${\estilo de visualización D}$es un subconjunto denso de .${\displaystyle L^{2}(\mu )}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$es simétrico, es decir para cada .${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,v)={\mathcal {E}}(v,u)}$${\displaystyle u,v\en D}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,u)\geq 0}$para cada .${\displaystyle u\en D}$
4. El conjunto equipado con el producto interno definido por es un espacio de Hilbert real.${\estilo de visualización D}$${\displaystyle (u,v)_{\mathcal {E}}:=(u,v)_{L^{2}(\mu )}+{\mathcal {E}}(u,v)}$
5. Por cada uno tenemos eso y .${\displaystyle u\en D}$${\displaystyle u_{*}=\min(\max(u,0),1)\in D}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(u_{*},u_{*})\leq {\mathcal {E}}(u,u)}$

En otras palabras, una forma de Dirichlet no es más que una forma bilineal simétrica no negativa definida en un subconjunto denso de tal manera que 4) y 5) se cumplen. ${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$

Alternativamente, la forma cuadrática en sí se conoce como forma de Dirichlet y todavía se denota por , por lo que . ${\displaystyle u\mapsto {\mathcal {E}}(u,u)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)}$

Las funciones que minimizan la energía dadas ciertas condiciones de contorno se denominan armónicas, y el laplaciano asociado (débil o no) será cero en el interior, como se esperaba.

Por ejemplo, sea la forma estándar de Dirichlet definida como ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$$${\displaystyle {\mathcal {E}}(u)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}\;dx}$$

Entonces una función armónica en el sentido estándar, es decir tal que , tendrá como se puede ver con la integración por partes. ${\displaystyle \Delta u=0}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(u)=0}$

Como ejemplo alternativo, la forma estándar de Dirichlet para grafos se da por: donde significa que están conectados por una arista. Elijamos un subconjunto del conjunto de vértices y llamémoslo el límite del grafo. Asignemos una condición de límite de Dirichlet (elijamos números reales para cada vértice del límite). Se puede encontrar una función que minimice la energía del grafo y será armónica. En particular, satisfará la propiedad de promediado, que está incorporada por el laplaciano del grafo, es decir, si es un armónico del grafo entonces que es equivalente a la propiedad de promediado$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{G}(u,v)=\sum _{x\sim y}((u(x)-u(y))(v(x)-v(y ))}$$${\displaystyle x\sim y}$$Estilo de visualización uG(x)$$${\displaystyle \Delta _{G}u_{G}(x)=\sum _{y\sim x}(u_{G}(y)-u_{G}(x))=0}$$$${\displaystyle u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y).}$$

Técnicamente, estos objetos se estudian en la teoría abstracta del potencial, basada en el principio clásico de Dirichlet . La teoría de las formas de Dirichlet se originó en el trabajo de Beurling y Deny (1958, 1959) sobre los espacios de Dirichlet.

Otro ejemplo de una forma de Dirichlet está dado por donde es un núcleo integral simétrico no negativo . $${\displaystyle {\mathcal {E}}(u)=\iint _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}(u(y)-u(x)) ^{2}k(x,y)\,dx\,dy}$$${\displaystyle k:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Si el núcleo satisface el límite , entonces la forma cuadrática está acotada en . Si además, , entonces la forma es comparable a la norma en el cuadrado y en ese caso el conjunto definido anteriormente está dado por . Por lo tanto, las formas de Dirichlet son generalizaciones naturales de las integrales de Dirichlet donde es una matriz simétrica positiva. La ecuación de Euler-Lagrange de una forma de Dirichlet es un análogo no local de una ecuación elíptica en forma de divergencia. Las ecuaciones de este tipo se estudian utilizando métodos variacionales y se espera que satisfagan propiedades similares. ^{[2] [3] [4]}${\estilo de visualización k}$${\displaystyle k(x,y)\leq \Lambda |xy|^{-ns}}$${\displaystyle {\punto {H}}^{s/2}}$${\displaystyle \lambda |xy|^{-ns}\leq k(x,y)}$${\displaystyle {\punto {H}}^{s/2}}$${\displaystyle D\subset L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle H^{s/2}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}(u)=\int (A\nabla u,\nabla u)\;dx,}$$${\displaystyle A(x)}$

• Beurling, Arne; Deny, J. (1958), "Espaces de Dirichlet. I. Le cas élémentaire", Acta Mathematica , 99 (1): 203–224, doi : 10.1007/BF02392426 , ISSN  0001-5962, SEÑOR  0098924
• Beurling, Arne; Deny, J. (1959), "Espacios de Dirichlet", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 45 (2): 208–215, Bibcode :1959PNAS...45..208B, doi : 10.1073/pnas.45.2.208 , ISSN  0027-8424, JSTOR  90170, MR  0106365, PMC  222537 , PMID  16590372
• Fukushima, Masatoshi (1980), Formas de Dirichlet y procesos de Markov , Biblioteca Matemática de Holanda Septentrional, vol. 23, Ámsterdam: Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-85421-6, Sr.  0569058
• Jost, Jürgen; Kendall, Wilfrid; Mosco, Umberto; Röckner, Michael; Sturm, Karl-Theodor (1998), Nuevas direcciones en las formas de Dirichlet , AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, vol. 8, Providence, RI: American Mathematical Society, pág. xiv+277, ISBN 978-0-8218-1061-3, Sr.  1652277.
• "Teoría del potencial abstracto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]