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Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet En teoría de números , el teorema de Dirichlet , también llamado teorema de los números primos de Dirichlet , establece que para cualesquie...

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Una fotografía en blanco y negro de un hombre con gafas.
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

En teoría de números , el teorema de Dirichlet , también llamado teorema de los números primos de Dirichlet , establece que para cualesquiera dos enteros positivos coprimos a y d , existen infinitos primos de la forma a + nd , donde n también es un entero positivo . En otras palabras, existen infinitos primos que son congruentes con a módulo d . Los números de la forma a + nd forman una progresión aritmética.     

a, a+d, a+2d, a+3d, …, {\displaystyle a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ \dots ,\ }

El teorema de Dirichlet establece que esta sucesión contiene infinitos números primos. El teorema extiende el teorema de Euclides que afirma que existen infinitos números primos (de la forma 1 + 2 n ). Formas más fuertes del teorema de Dirichlet establecen que, para cualquier progresión aritmética de este tipo, la suma de los recíprocos de los números primos en la progresión diverge y que diferentes progresiones aritméticas de este tipo con el mismo módulo tienen aproximadamente las mismas proporciones de primos. De forma equivalente, los primos se distribuyen uniformemente (asintóticamente) entre las clases de congruencia módulo d que contienen un coprimo a d .

El teorema recibe su nombre del matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet , quien lo demostró en 1837.

Ejemplos

Los números primos de la forma 4 n + 3 son (secuencia A002145 en la OEIS )

3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, ...

Corresponden a los siguientes valores de n : (secuencia A095278 en el OEIS )

0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95, ...

La forma fuerte del teorema de Dirichlet implica que

13+17+111+119+123+131+143+147+159+167+⋯{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{47}}+{\frac {1}{59}}+{\frac {1}{67}}+\cdots }

es una serie divergente .

Las secuencias dn  + a con d impar suelen ignorarse porque la mitad de los números son pares y la otra mitad son los mismos que los de una secuencia con 2 d , si comenzamos con n = 0. Por ejemplo, 6 n + 1 produce los mismos primos que 3 n + 1, mientras que 6 n + 5 produce los mismos que 3 n + 2, excepto por el único primo par, el 2. La siguiente tabla enumera varias progresiones aritméticas con infinitos primos y los primeros de cada una de ellas.           

Podemos generar algunas formas de números primos utilizando un método iterativo . Por ejemplo, podemos generar primos de la forma 4n + 3 utilizando el siguiente método:

Sea a 0 = 4(1) + 3 = 7. Luego sea a 1 = 4 a 0 + 3 = 4(7) + 3 = 31 , que es primo. Continuamos calculando 4(7)(31) + 3 = 871 = 13(67) . Como 4(7)(31) + 3 es de la forma 4 n + 3 , o 13 o 67 es de la forma 4 n + 3. Tenemos que 67 = 4(16) + 3 y es primo, por lo que a 3 = 67. Luego continuamos este proceso para encontrar primos sucesivos de la forma 4 n + 3 (Silverman 2013).

Distribución

Dado que los números primos se reducen, en promedio, de acuerdo con el teorema de los números primos , lo mismo debe ser cierto para los primos en las progresiones aritméticas. Es natural preguntarse cómo se comparten los primos entre las distintas progresiones aritméticas para un valor dado de d (hay d de ellas, esencialmente, si no distinguimos dos progresiones que comparten casi todos sus términos). La respuesta se da de esta forma: el número de progresiones factibles módulo d —aquellas en las que a y d no tienen un factor común distinto de 1— viene dado por la función totiente de Euler. 

φ(d).{\displaystyle \varphi (d).}

Además, la proporción de números primos en cada uno de ellos es

1φ(d).{\displaystyle {\frac {1}{\varphi (d)}}.}

Por ejemplo, si d es un número primo q , cada una de las q  −  1 progresiones

q+1,2q+1,3q+1,…{\displaystyle q+1,2q+1,3q+1,\dots }
q+2,2q+2,3q+2,…{\displaystyle q+2,2q+2,3q+2,\dots }
… {\displaystyle \dots \ }
q+q−1,2q+q−1,3q+q−1,…{\displaystyle q+q-1,2q+q-1,3q+q-1,\dots }
(todos exceptoq,2q,3q,…{\displaystyle q,2q,3q,\dots })

contiene una proporción 1/( q  −  1) de los números primos.

En comparación entre sí, las progresiones con un resto no residual cuadrático suelen tener ligeramente más elementos que aquellas con un resto residual cuadrático ( sesgo de Chebyshev ).

Historia

En 1737, Euler relacionó el estudio de los números primos con lo que ahora se conoce como la función zeta de Riemann: demostró que el valor ζ (1) se reduce a una razón de dos productos infinitos, Π p / Π ( p − 1) , para todos los primos p , y que la razón es infinita. [ 1 ] [ 2 ] En 1775, Euler enunció el teorema para los casos de a + nd , donde a = 1 . [ 3 ] Este caso especial del teorema de Dirichlet se puede demostrar utilizando polinomios ciclotómicos . [ 4 ] La forma general del teorema fue conjeturada por primera vez por Legendre en sus intentos fallidos de demostrar la reciprocidad cuadrática [ 5 ] —como señaló Gauss en sus Disquisitiones Arithmeticae [ 6 ] — pero fue demostrado por Dirichlet ( 1837 ) con la serie L de Dirichlet . La demostración se basa en el trabajo anterior de Euler que relaciona la función zeta de Riemann con la distribución de los números primos. El teorema representa el comienzo de la teoría analítica rigurosa de números . Atle Selberg dio una demostración elemental de este teorema en 1949 [ 7 ] . 

Prueba

El teorema de Dirichlet se demuestra mostrando que el valor de la función L de Dirichlet (de carácter no trivial ) en 1 es distinto de cero. La demostración de esta afirmación requiere algunos conocimientos de cálculo y teoría analítica de números ( Serre 1973 ) . El caso particular a = 1 (es decir, el relativo a los primos congruentes con 1 módulo algún n ) puede demostrarse analizando el comportamiento de descomposición de los primos en extensiones ciclotómicas, sin utilizar cálculo ( Neukirch 1999 , §VII.6) .

Aunque la demostración del teorema de Dirichlet utiliza cálculo y teoría analítica de números, algunas demostraciones de ejemplos son mucho más directas. En particular, la demostración del ejemplo de infinitos números primos de la forma 4n + 3 emplea un argumento similar al de la demostración del teorema de Euclides (Silverman 2013). La demostración se presenta a continuación:

Queremos demostrar que hay infinitos primos de la forma 4 n + 3 . Supongamos, por contradicción, que solo hay un número finito de primos de la forma 4 n + 3 . Entonces compilamos una lista de todos esos primos 3, p 1 , p 2 , ..., p m , donde p 1 < p 2 < ... < p m . Sea N = 4 p 1 p 2 ... p m + 3 . Es claro que ninguno de los primos en la lista 3, p 1 , p 2 , ..., p m divide a N . Por casos, N es compuesto o primo. Si N es compuesto, entonces N tiene una única factorización prima N = a 1 a 2 ... a r , donde cada a i es primo. Como N ≡ 3 (mod 4) , N es impar y debe ser el producto solo de primos impares. Cualquier primo impar p debe ser tal que p ≡ 1 (mod 4) o p ≡ 3 (mod 4) . No puede ser que a i ≡ 1 (mod 4) ∀ a i porque si así fuera, entonces N ≡ 1 (mod 4) . Por lo tanto, existe un primo a ′ ≡ 3 (mod 4) tal que a ′ | N y a ′ < N. De lo contrario, si N es primo, entonces por definición N ≡ 3 (mod 4) . Así que en ambos casos respectivamente, a ′ y N satisfacen la forma 4 n + 3 , pero no están en la lista 3, p 1 , p 2 , ..., p m ya que ambos dividen a N , lo cual es una contradicción. Por lo tanto, esta lista no contiene todos esos primos y debe haber infinitos primos de la forma 4 n + 3 (Silverman 2013).

Generalizaciones

La conjetura de Bunyakovsky generaliza el teorema de Dirichlet a polinomios de grado superior. Si incluso los polinomios cuadráticos simples como x² + 1 (conocidos del cuarto problema de Landau ) alcanzan infinitos valores primos es un importante problema abierto .

La conjetura de Dickson generaliza el teorema de Dirichlet a más de un polinomio.

La hipótesis H de Schinzel generaliza estas dos conjeturas, es decir, se generaliza a más de un polinomio con grado mayor que uno.

En la teoría algebraica de números , el teorema de Dirichlet se generaliza al teorema de densidad de Chebotarev .

El teorema de Linnik (1944) trata sobre el tamaño del primo más pequeño en una progresión aritmética dada. Linnik demostró que la progresión a  + nd (cuando n recorre los enteros positivos) contiene un primo de magnitud como máximo cd L para constantes absolutas c y L. Investigadores posteriores redujeron L a 5. 

Un análogo del teorema de Dirichlet se cumple en el marco de los sistemas dinámicos ( T. Sunada y A. Katsuda, 1990).

Shiu demostró que cualquier progresión aritmética que satisfaga la hipótesis del teorema de Dirichlet contendrá, de hecho, secuencias arbitrariamente largas de números primos consecutivos . [ 8 ]

Véase también

Notas

  1. ^ Euler, Leonhard (1737). «Variae observees circa series infinitas» [ Observaciones varias sobre series infinitas ] . Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 9 : 160-188 .; específicamente, el Teorema 7 en las páginas 172–174.
  2. ↑ Sandifer, C. Edward, Las primeras matemáticas de Leonhard Euler (Washington, DC: The Mathematical Association of America, 2007), pág.  253.
  3. ^ Leonhard Euler, "De summa seriei ex numeris primis formatae 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1/31 etc. ubi numeri primi formae 4 n - 1 habent signum positivum, formae autem 4 n + 1 signum negativum" (Sobre la suma de series [compuestas] de números primos ordenados 1/3 − 1/5 + 1/7 + 1/11 − 1/13 − 1/17 + 1/19 + 1/23 − 1/29 + 1/31 etc., donde los números primos de la forma 4 n − 1 tienen un signo positivo, mientras que [aquellas] de la forma 4 n + 1 [tienen] un signo negativo.) en: Leonhard Euler, Opuscula analytica (San Petersburgo, Rusia: Academia Imperial de Ciencias, 1785), vol. 2, pp. 240–256; véase p.  241. Desde p. 241: " Quoniam porro numeri primi praeter binarium quasi a natura in duas classs distinguuntur, prouti fuerint vel formae 4n + 1 , vel formae 4n − 1 , dum priores omnes sunt summae duorum quadratorum, posteriores vero ab hac proprietate penitus excluduntur: series reciprocae ex utraque classs formatae, scillicet: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + etc. et 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + etc. forma 100n + 1, cuiusmodi sunt 101, 401, 601, 701, etc., non solum multitudo eorum est infinita, sed etiam summa huius seriei ex illis formatae, scillicet: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + etc. etiam est infinita. " (Ya que, además, los números primos mayores que dos se dividen como por naturaleza en dos clases, según sean de la forma 4 n + 1 , o de la forma 4 n − 1 , ya que todos los primeros son sumas de dos cuadrados, pero los últimos están completamente excluidos de esta propiedad: series recíprocas formadas a partir de ambas clases, a saber: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + etc. y 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + etc. serán ambos igualmente infinitos, propiedad que también se encuentra en todos los tipos de números primos. Así, si se eligen de entre los números primos solo aquellos de la forma 100 n + 1 , de los cuales 101, 401, 601, 701, etc., no solo el conjunto de estos es infinito, sino que también la suma de la serie formada a partir de ese conjunto, a saber: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + etc., es igualmente infinita.
  4. ↑ Neukirch (1999) , §I.10, Ejercicio 1.
  5. ↑ Ver:
    • Le Gendre (1785) "Recherches d'analyse indéterminée" (Investigaciones de análisis interdeterminado), Histoire de l'Académie royale des sciences, avec les mémoires de mathématique et de physique , págs.  465–559; ver especialmente p.  552. De la pág.  552: " 34. Remarque . Il seroit peut-être nécessaire de démontrer rigoureusement une chose que nous avons supposée dans plusieurs endroits de este artículo, savoir, qu'il ya une infinité de nombres premiers compris dans tous junction arithmétique, dont le premier terme & la raison sont premiers entr'eux, ou, ce qui revient au même, dans la formule 2mx + μ , lorsque 2m & μ n'ont point de commun diviseur Esta proposición es difícil de demostrar, cependant on peut s'assurer qu'elle est vraie, en comparación con la progresión aritmética no es agitada, à la progresión. ordinario 1, 3, 5, 7, etc. Si on prend un gran nombre de términos de estas progresiones, le même dans les deux, & qu'on les dispose, par exemple, de manière que le plus grand terme soit égal & à la même place de part & d'autre; on verra qu'en omettant de chaque côté les multiples de 3, 5, 7, &c. Sólo con un cierto nombre primero p , debe descansar de dos dedos el mismo nombre de términos, o incluso descansar menos en la progresión 1, 3, 5, 7, etc. Mais comme dans celle-ci, il reste nécessairement des nombres premiers, il en doit rester aussi dans l'otre. " (34. Nota : Quizás sea necesario demostrar rigurosamente algo que hemos asumido en varias partes de este artículo, a saber, que existe una infinidad de números primos incluidos en cada progresión aritmética, cuyo primer término y diferencia común son coprimos, o, lo que viene a ser lo mismo, en la fórmula 2mx + μ , cuando 2m y μ no tienen divisores comunes. Esta proposición es bastante difícil de demostrar, sin embargo , se puede asegurar su veracidad comparando la progresión aritmética en cuestión con la progresión ordinaria 1, 3, 5, 7, etc. Si se toma un gran número de términos de estas progresiones, el mismo número de términos en ambas, y si se ordenan, por ejemplo, de manera que el término mayor sea igual y esté en la misma posición en ambas, se verá que al omitir de cada una los múltiplos de 3, 5, 7, etc., hasta un cierto número primo p , debería quedar en ambas el mismo número de términos, o incluso menos. de ellos en la progresión 1, 3, 5, 7, etc. Pero como en este [conjunto] necesariamente quedan números primos, también quedarán algunos en el otro [conjunto].)
    • AM Legendre, Essai sur la Théorie des Nombres (París, Francia: Duprat, 1798), Introducción, págs.  9-16. De la pág.  12: " XIX. ... En general, a étant un nombre donné quelconque, tout nombres impair peut être représenté par la formule 4ax ± b , dans laquelle b est impair et moindre que 2a. Si parmi tous les valeursposibles de b en retranche celles qui ont un commun diviseur avec a, les formes restantes 4ax ± b comprendront tous les nombres premiers partagé, ... " (XIX. ... En general, siendo a cualquier número dado, todos los números impares se pueden representar mediante la fórmula 4 ax ± b , en la que b es impar y menor que 2a . Si entre todos los valores posibles de b se eliminan los que tienen divisor común con a , las fórmulas restantes 4 ax ± b incluyen entre ellos todos los números primos ... )
    • AM Legendre, Essai sur la Théorie des Nombres , 2ª ed. (París, Francia: Courcier, 1808), pág.  404. De la pág.  404: " Soit donnée una progresión aritmética quelconque A − C, 2A − C, 3A − C, etc., dans laquelle A et C sont premiers entre eux; soit donnée aussi une suite θ, λ, μ ... ψ, ω, composée de k nombres premiers impairs, pris à volonté et disposés dans un order quelconque; si on appelle en général π (z) le z ième terme de la suite natural des nombres premiers 3, 5, 7, 11, etc., je dis que sur π (k − 1) termes consécutifs de la progresión propuesta, il y en aura au moins un qui ne sera divisible par aucun des nombres premiers θ, λ, μ ... ψ, ω. " (Dada cualquier progresión aritmética A − C , 2 A − C , 3 A − C , etc., en la que A y C son primos entre sí [es decir, coprimos]; dada también una serie θ , λ , μ ... ψ , ω compuesta por k números primos impares, elegidos a voluntad y dispuestos en cualquier orden; si se llama en general π ( z ) al z º término de la serie natural de números primos 3, 5, 7, 11, etc., afirmo que entre los π ( k −1) términos consecutivos de la progresión propuesta, habrá al menos uno de ellos que no será divisible por ninguno de los números primos θ , λ , μ ... ψ , ω .) Esta afirmación fue demostrada falsa en 1858 por Anthanase Louis Dupré (1808–1869). Véase:
    • Dupré, A. (1859) Examen d'une proposition de Legendre related à la théorie des nombres [Examen de una proposición de Legendre sobre la teoría de números] (París, Francia: Mallet-Bachelier, 1859).
    • Narkiewicz, Władysław, El desarrollo de la teoría de los números primos: de Euclides a Hardy y Littlewood (Berlín, Alemania: Springer, 2000); véase especialmente la pág.  50.
  6. ^ Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticae (Leipzig, (Alemania): Gerhard Fleischer, Jr., 1801), sección 297, págs. 507–508. De las págs. 507 a 508: " Ill. Le Gendre ipse fattur, demostraem theorematis, sub tali forma kt + l , designantibus k, l numeros inter se primos datos, t indefinitum, certo contineri numeros primos, satis difficilem videri, metodumque obiter addigitat, quae forsan illuc conducere possit; multae vero disquisitiones praeliminares necessariae nobis videntur, antequam hacce quidem via ad demostram rigorosam pervenire liceat " (El ilustre Le Gendre mismo admite [que] la prueba del teorema – [es decir, que] entre [enteros de] la forma kt + l , [donde] k y l denotan números enteros dados [que son] primos entre sí [es decir, coprimos] [y] t denota una variable, seguramente prima. cifras están contenidas – parece bastante difícil y, dicho sea de paso, señala se ha planteado un método que podría conducir a ello; sin embargo, prevemos muchas investigaciones preliminares y necesarias antes de que esta conjetura pueda llegar a una prueba rigurosa.
  7. ↑ Selberg, Atle (1949). "Una demostración elemental del teorema de Dirichlet sobre los números primos en una progresión aritmética" . Annals of Mathematics . 50 (2): 297– 304. doi : 10.2307/1969454 – vía JSTOR.
  8. ↑ Shiu, DKL (2000). "Cadenas de primos congruentes". J. London Math. Soc . 61 (2): 359– 373. doi : 10.1112/s0024610799007863 .

Referencias

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  • Weisstein, Eric W. "Teorema de Dirichlet" . MathWorld .
  • Chris Caldwell, "El teorema de Dirichlet sobre los números primos en progresiones aritméticas" en Prime Pages .
  • Dirichlet, PGL (1837), "Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält" [ Prueba del teorema de que toda progresión aritmética ilimitada, cuyo primer término y diferencia común son números enteros sin factores comunes, contiene infinitos números primos ] , Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , 48 : 45– 71
  • Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números. Traducido del original alemán de 1992 y con una nota de Norbert Schappacher , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol.  322, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, MR 1697859 , Zbl 0956.11021  .
  • Selberg, Atle (1949), "Una demostración elemental del teorema de Dirichlet sobre los números primos en una progresión aritmética", Annals of Mathematics , 50 (2): 297–304 , doi : 10.2307/1969454 , JSTOR 1969454 , Zbl 0036.30603  .
  • Serre, Jean-Pierre (1973), Curso de aritmética , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  7, Nueva York; Heidelberg; Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90040-3, Zbl 0256.12001 .
  • Sunada, Toshikazu ; Katsuda, Atsushi (1990), "Órbitas cerradas en clases de homología" , Publ. Math. IHÉS , 71 : 5–32 , doi : 10.1007/BF02699875 , S2CID 26251216 .
  • Silverman JH (2013) Una introducción amigable a la teoría de números: Nueva edición internacional de Pearson, Pearson Education.
  • Escaneos del documento original en alemán.
  • Dirichlet: Hay infinitos números primos en todas las progresiones aritméticas con primer término y diferencia coprimos. Traducción al inglés del artículo original en arXiv.
  • Teorema de Dirichlet por Jay Warendorff, Proyecto de demostraciones de Wolfram .