Polinomios discretos de Chebyshev

En matemáticas, los polinomios discretos de Chebyshev , o polinomios de Gram , son un tipo de polinomios ortogonales discretos utilizados en la teoría de la aproximación , introducidos por Pafnuty Chebyshev ^{[ 1 ]} y redescubiertos por Gram ^{[ 2 ]} . Posteriormente se descubrió que eran aplicables a diversas propiedades algebraicas del momento angular de espín . Esta conexión demuestra que pueden expresarse como coeficientes de Clebsch-Gordan.

El polinomio discreto de Chebyshev${\displaystyle t_{n}^{N}(x)}$es un polinomio de grado n en x , para${\displaystyle n=0,1,2,\ldots ,N-1}$, construido de tal manera que dos polinomios de grado desigual sean ortogonales con respecto a la función de peso. $${\displaystyle w(x)=\sum _{r=0}^{N-1}\delta (xr),}$$ con${\displaystyle \delta (\cdot )}$siendo la función delta de Dirac . Es decir, $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t_{n}^{N}(x)t_{m}^{N}(x)w(x)\,dx=0\quad {\text{ si }}\quad n\neq m.}$$

La integral de la izquierda es en realidad una suma debido a la función delta, y tenemos: $${\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{m}^{N}(r)=0\quad {\text{ si }}\quad n\neq m.}$$

Por lo tanto, aunque${\displaystyle t_{n}^{N}(x)}$es un polinomio en${\displaystyle x}$, solo sus valores en un conjunto discreto de puntos, ${\displaystyle x=0,1,2,\ldots ,N-1}$son de alguna importancia. Sin embargo, debido a que estos polinomios pueden definirse en términos de ortogonalidad con respecto a una función de peso no negativa , toda la teoría de polinomios ortogonales es aplicable. En particular, los polinomios son completos en el sentido de que $${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{n}^{N}(s)=0\quad {\text{ si }}\quad r\neq s.}$$

Chebyshev eligió la normalización de modo que $${\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{n}^{N}(r)={\frac {N}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}(N^{2}-k^{2}).}$$

Esto corrige completamente los polinomios junto con la convención de signos ,${\displaystyle t_{n}^{N}(N-1)>0}$.

Si la variable independiente se escala linealmente y se desplaza de manera que los puntos finales asuman los valores${\displaystyle -1}$y${\displaystyle 1}$, entonces como${\displaystyle N\to \infty }$,${\displaystyle t_{n}^{N}(\cdot )\to P_{n}(\cdot )}$veces una constante, donde${\displaystyle P_{n}}$es el polinomio de Legendre.

Sea f una función suave definida en el intervalo cerrado [ − 1,  1], cuyos valores se conocen explícitamente solo en los puntos x _k  := −1 + (2 k − 1)/ m , donde k y m son enteros y 1 ≤ k ≤ m . La tarea consiste en aproximar f como un polinomio de grado n < m . Consideremos una forma bilineal semidefinida positiva.$${\displaystyle \left(g,h\right)_{d}:={\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}{g(x_{k})h(x_{k})},}$$ donde g y h son continuas en [ − 1,  1] y sea $${\displaystyle \left\|g\right\|_{d}:=(g,g)_{d}^{1/2}}$$ Sea una seminorma discreta .${\displaystyle \varphi _{k}}$ser una familia de polinomios ortogonales entre sí $${\displaystyle \left(\varphi _{k},\varphi _{i}\right)_{d}=0}$$ siempre que i no sea igual a k . Supongamos que todos los polinomios${\displaystyle \varphi _{k}}$tienen un coeficiente principal positivo y están normalizados de tal manera que $${\displaystyle \left\|\varphi _{k}\right\|_{d}=1.}$$

El${\displaystyle \varphi _{k}}$se denominan polinomios discretos de Chebyshev (o Gram). ^{[ 3 ]}

Los polinomios discretos de Chebyshev tienen conexiones sorprendentes con varias propiedades algebraicas del espín: probabilidades de transición de espín, ^{[ 4 ]} las probabilidades de observaciones del espín en la versión spin-s de Bohm del experimento de Einstein-Podolsky-Rosen , ^{[ 5 ]} y funciones de Wigner para varios estados de espín. ^{[ 6 ]}

Específicamente, los polinomios resultan ser los autovectores del cuadrado absoluto de la matriz de rotación (la matriz D de Wigner ). El autovalor asociado es el polinomio de Legendre.${\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )}$, dónde${\displaystyle \theta }$es el ángulo de rotación. En otras palabras, si $${\displaystyle d_{mm'}=\langle j,m|e^{-i\theta J_{y}}|j,m'\rangle ,}$$ dónde${\displaystyle |j,m\rangle }$son los estados propios habituales de momento angular o espín, y $${\displaystyle F_{mm'}(\theta )=|d_{mm'}(\theta )|^{2},}$$ entonces $${\displaystyle \sum _{m'=-j}^{j}F_{mm'}(\theta )\,f_{\ell }^{j}(m')=P_{\ell }(\cos \theta )f_{\ell }^{j}(m).}$$

Los vectores propios${\displaystyle f_{\ell }^{j}(m)}$son versiones escaladas y desplazadas de los polinomios de Chebyshev. Se desplazan de manera que tengan soporte en los puntos${\displaystyle m=-j,-j+1,\ldots ,j}$en lugar de${\displaystyle r=0,1,\ldots ,N}$para${\displaystyle t_{n}^{N}(r)}$con${\displaystyle N}$correspondiente a${\displaystyle 2j+1}$, y${\displaystyle n}$correspondiente a${\displaystyle \ell }$. Además, el${\displaystyle f_{\ell }^{j}(m)}$pueden escalarse de manera que cumplan otras condiciones de normalización. Por ejemplo, se podría exigir que satisfagan $${\displaystyle {\frac {1}{2j+1}}\sum _{m=-j}^{j}f_{\ell }^{j}(m)f_{\ell '}^{j}(m)=\delta _{\ell \ell '},}$$ junto con${\displaystyle f_{\ell }^{j}(j)>0}$.

En el formulario,${\displaystyle f_{\ell }^{j}(m)}$La conexión con el álgebra de espín muestra que estos polinomios son coeficientes de Clebsch-Gordan. Para ser consistente con la normalización dada anteriormente, la relación es

$${\displaystyle f_{\ell }^{j}(m)=(-1)^{j-m}{\sqrt {2j+1}}\langle {j\,j\,\ell \,0|j,m;j,-m}\rangle .}$$