Grupo discreto

En matemáticas , un grupo topológico G se denomina grupo discreto si no contiene ningún punto límite (es decir, para cada elemento de G , existe un entorno que solo contiene ese elemento). De forma equivalente, el grupo G es discreto si y solo si su elemento identidad está aislado . ^{[ 1 ]}

Un subgrupo H de un grupo topológico G es un subgrupo discreto si H es discreto cuando se le dota de la topología de subespacio de G. En otras palabras , existe un entorno de la identidad en G que no contiene ningún otro elemento de H. Por ejemplo , los enteros Z forman un subgrupo discreto de los reales R ( con la topología métrica estándar ), pero los números racionales Q no.

Cualquier grupo puede dotarse de la topología discreta , convirtiéndose así en un grupo topológico discreto. Dado que toda aplicación desde un espacio discreto es continua , los homomorfismos topológicos entre grupos discretos coinciden exactamente con los homomorfismos de grupo entre los grupos subyacentes. Por lo tanto, existe un isomorfismo entre la categoría de grupos y la categoría de grupos discretos. En consecuencia, los grupos discretos pueden identificarse con sus grupos subyacentes (no topológicos).

En ocasiones, resulta útil dotar a un grupo topológico o grupo de Lie de la topología discreta, de forma "contraria a la naturaleza". Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría de la compactificación de Bohr y en la teoría de la cohomología de grupos de Lie.

Un grupo de isometrías discreto es un grupo de isometrías tal que, para cada punto del espacio métrico, el conjunto de imágenes de dicho punto bajo las isometrías es un conjunto discreto . Un grupo de simetrías discreto es un grupo de simetrías que también es un grupo de isometrías discreto.

Dado que los grupos topológicos son homogéneos , basta con observar un único punto para determinar si un grupo topológico es discreto. En particular, un grupo topológico es discreto solo si el conjunto unitario que contiene la identidad es un conjunto abierto .

Un grupo discreto es lo mismo que un grupo de Lie de dimensión cero ( los grupos discretos no numerables no son segundo numerables , por lo que los autores que exigen que los grupos de Lie tengan esta propiedad no los consideran como tales). El componente identidad de un grupo discreto es simplemente el subgrupo trivial, mientras que el grupo de componentes es isomorfo al grupo mismo.

Dado que la única topología de Hausdorff sobre un conjunto finito es la discreta, un grupo topológico de Hausdorff finito debe ser necesariamente discreto. Por consiguiente, todo subgrupo finito de un grupo de Hausdorff es discreto.

Un subgrupo discreto H de G es cocompacto si existe un subconjunto compacto K de G tal que HK = G.

Los subgrupos normales discretos desempeñan un papel importante en la teoría de los grupos de recubrimiento y los grupos localmente isomorfos . Un subgrupo normal discreto de un grupo conexo G necesariamente se encuentra en el centro de G y, por lo tanto, es abeliano .

Otras propiedades :

• Cada grupo discreto está totalmente desconectado.
• Cada subgrupo de un grupo discreto es discreto.
• Cada cociente de un grupo discreto es discreto.
• El producto de un número finito de grupos discretos es discreto.
• Un grupo discreto es compacto si y solo si es finito.
• cada grupo discreto es localmente compacto .
• Cada subgrupo discreto de un grupo de Hausdorff es cerrado.
• Todo subgrupo discreto de un grupo compacto de Hausdorff es finito.

• Los grupos de frisos y los grupos de papel tapiz son subgrupos discretos del grupo de isometría del plano euclidiano. Los grupos de papel tapiz son cocompacto, pero los grupos de frisos no lo son.
• Un grupo cristalográfico suele referirse a un subgrupo discreto y cocompacto de las isometrías de algún espacio euclidiano. Sin embargo, en ocasiones, un grupo cristalográfico puede ser un subgrupo discreto y cocompacto de un grupo de Lie nilpotente o resoluble .
• Todo grupo triangular T es un subgrupo discreto del grupo de isometría de la esfera (cuando T es finito), del plano euclidiano (cuando T tiene un subgrupo Z  + Z de índice finito ) o del plano hiperbólico . 
• Los grupos fuchsianos son, por definición, subgrupos discretos del grupo de isometría del plano hiperbólico.
  • Un grupo fuchsiano que preserva la orientación y actúa sobre el modelo del semiplano superior del plano hiperbólico es un subgrupo discreto del grupo de Lie PSL(2, R ), el grupo de isometrías que preservan la orientación del modelo del semiplano superior del plano hiperbólico.
  • Un grupo fuchsiano se considera a veces un caso especial de un grupo kleiniano , al incrustar el plano hiperbólico isométricamente en un espacio hiperbólico tridimensional y extender la acción del grupo sobre el plano a todo el espacio.
  • El grupo modular PSL(2, Z ) se considera un subgrupo discreto de PSL(2, R ). El grupo modular es un retículo en PSL(2, R ), pero no es cocompacto.
• Los grupos kleinianos son, por definición, subgrupos discretos del grupo de isometría del espacio hiperbólico tridimensional . Estos incluyen los grupos cuasi-fuchsianos .
  • Un grupo kleiniano que preserva la orientación y actúa sobre el modelo de semiespacio superior del espacio hiperbólico tridimensional es un subgrupo discreto del grupo de Lie PSL(2, C ), el grupo de isometrías que preservan la orientación del modelo de semiespacio superior del espacio hiperbólico tridimensional.
• Un retículo en un grupo de Lie es un subgrupo discreto tal que la medida de Haar del espacio cociente es finita.

• grupo puntual cristalográfico
• subgrupo de congruencia
• grupo aritmético
• teoría geométrica de grupos
• teoría de grupos computacional
• discontinuo libremente
• conjunto regular gratuito

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