Dispersión (óptica)

La dispersión es el fenómeno en el que la velocidad de fase de una onda depende de su frecuencia. ^{[ 1 ]} A veces, el término dispersión cromática se utiliza para referirse específicamente a la óptica , en contraposición a la propagación de ondas en general. Un medio que posee esta propiedad común puede denominarse medio dispersivo .

Si bien el término se utiliza en el campo de la óptica para describir la luz y otras ondas electromagnéticas , la dispersión, en el mismo sentido, puede aplicarse a cualquier tipo de movimiento ondulatorio, como la dispersión acústica en el caso del sonido y las ondas sísmicas, y en las ondas gravitatorias (olas oceánicas). En óptica, la dispersión es una propiedad de las señales de telecomunicaciones a lo largo de las líneas de transmisión (como las microondas en el cable coaxial ) o los pulsos de luz en la fibra óptica .

En óptica, una consecuencia importante y familiar de la dispersión es el cambio en el ángulo de refracción de diferentes colores de luz, ^{[ 2 ]} como se ve en el espectro producido por un prisma dispersivo y en la aberración cromática de las lentes. El diseño de lentes acromáticas compuestas , en las que la aberración cromática se cancela en gran medida, utiliza una cuantificación de la dispersión de un vidrio dada por su número de Abbe V , donde los números de Abbe más bajos corresponden a una mayor dispersión en el espectro visible . En algunas aplicaciones como las telecomunicaciones, la fase absoluta de una onda a menudo no es importante sino solo la propagación de paquetes de ondas o "pulsos"; en ese caso uno está interesado solo en las variaciones de la velocidad de grupo con la frecuencia, la llamada dispersión de velocidad de grupo .

Todos los medios de transmisión comunes también varían en atenuación (normalizada a la longitud de transmisión) en función de la frecuencia, lo que produce distorsión por atenuación ; esto no es dispersión, aunque a veces las reflexiones en límites de impedancia muy próximos (por ejemplo, segmentos engarzados en un cable) pueden producir distorsión de la señal que agrava aún más el tiempo de tránsito inconsistente observado en todo el ancho de banda de la señal.

La dispersión provoca la separación espacial de la luz blanca en componentes de diferentes longitudes de onda (diferentes colores ), como en el arco iris . Sin embargo, la dispersión también tiene un efecto en muchas otras circunstancias: por ejemplo, la dispersión de la velocidad de grupo provoca que los pulsos se propaguen en las fibras ópticas , degradando las señales a largas distancias; asimismo, la cancelación entre la dispersión de la velocidad de grupo y los efectos no lineales da lugar a ondas solitónicas .

Generalmente, la dispersión cromática se refiere a la dispersión del material en su conjunto, es decir, al cambio en el índice de refracción con la frecuencia óptica. Sin embargo, en una guía de ondas también existe el fenómeno de la dispersión de guía de ondas , en cuyo caso la velocidad de fase de una onda en una estructura depende de su frecuencia simplemente debido a la geometría de la estructura. De manera más general, la dispersión de "guía de ondas" puede ocurrir para ondas que se propagan a través de cualquier estructura no homogénea (por ejemplo, un cristal fotónico ), independientemente de si las ondas están confinadas a alguna región. En una guía de ondas, ambos tipos de dispersión generalmente estarán presentes, aunque no son estrictamente aditivos. Por ejemplo, en la fibra óptica, la dispersión del material y la de la guía de ondas pueden cancelarse mutuamente para producir una longitud de onda de dispersión cero , importante para la comunicación rápida por fibra óptica .

La dispersión de la luz puede ser un efecto deseable o indeseable en aplicaciones ópticas. La dispersión de la luz por prismas de vidrio se utiliza para construir espectrómetros y espectrorradiómetros . Sin embargo, en las lentes, la dispersión provoca aberración cromática , un efecto indeseado que puede degradar las imágenes en microscopios, telescopios y objetivos fotográficos.

La velocidad de fase v de una onda en un medio uniforme dado viene dada por

${\displaystyle v={\frac {c}{n}},}$

donde c es la velocidad de la luz en el vacío y n es el índice de refracción del medio.

En general, el índice de refracción es una función de la frecuencia f de la luz, por lo tanto n  = n ( f ), o bien, con respecto a la longitud de onda n = n ( λ ). La dependencia del índice de refracción de un material con la longitud de onda se cuantifica generalmente mediante su número de Abbe o sus coeficientes en una fórmula empírica como las ecuaciones de Cauchy o Sellmeier .   

Debido a las relaciones de Kramers-Kronig , la dependencia de la longitud de onda de la parte real del índice de refracción está relacionada con la absorción del material , descrita por la parte imaginaria del índice de refracción (también llamada coeficiente de extinción ). En particular, para materiales no magnéticos ( μ  = μ ₀ ), la susceptibilidad χ que aparece en las relaciones de Kramers-Kronig es la susceptibilidad eléctrica χ _e = n ² − 1.     

La consecuencia más común de la dispersión en óptica es la separación de la luz blanca en un espectro de color mediante un prisma . Según la ley de Snell , el ángulo de refracción de la luz en un prisma depende del índice de refracción del material del prisma. Dado que este índice de refracción varía con la longitud de onda, el ángulo de refracción también varía con ella, lo que provoca una separación angular de los colores conocida como dispersión angular .

Para la luz visible, el índice de refracción n de la mayoría de los materiales transparentes (por ejemplo, aire, vidrios) disminuye con el aumento de la longitud de onda λ :

${\displaystyle 1<n(\lambda _{\text{rojo}})<n(\lambda _{\text{amarillo}})<n(\lambda _{\text{azul}}),}$

o en general,

${\displaystyle {\frac {dn}{d\lambda }}<0.}$

En este caso, se dice que el medio tiene dispersión normal . Sin embargo, si el índice aumenta con el aumento de la longitud de onda (lo cual es típico en el ultravioleta ^{[ 4 ]} ), se dice que el medio tiene dispersión anómala .

En la interfaz de dicho material con el aire o el vacío (índice de refracción de aproximadamente 1), la ley de Snell predice que la luz incidente con un ángulo θ respecto a la normal se refractará con un ángulo arcsin(sin θ / n ) . Por lo tanto , en el caso de dispersión normal, la luz azul, con un índice de refracción mayor, se desviará más que la luz roja, dando lugar al conocido patrón del arco iris .

Más allá de simplemente describir un cambio en la velocidad de fase con respecto a la longitud de onda, una consecuencia más grave de la dispersión en muchas aplicaciones se denomina dispersión de velocidad de grupo (GVD). Si bien la velocidad de fase v se define como v = c / n , esto describe solo un componente de frecuencia. Cuando se combinan diferentes componentes de frecuencia, como al considerar una señal o un pulso, a menudo interesa más la velocidad de grupo , que describe la velocidad a la que se propaga un pulso o información superpuesta a una onda (modulación). En la animación adjunta, se puede observar que la onda misma (naranja-marrón) viaja a una velocidad de fase mucho mayor que la velocidad de la envolvente (negro), que corresponde a la velocidad de grupo. Este pulso podría ser una señal de comunicaciones, por ejemplo, y su información solo viaja a la velocidad de grupo, aunque consista en frentes de onda que avanzan a una velocidad mayor (la velocidad de fase).

Es posible calcular la velocidad de grupo a partir de la curva del índice de refracción n ( ω ) o más directamente a partir del número de onda k = ωn / c , donde ω es la frecuencia angular ω  =  2 πf . Mientras que una expresión para la velocidad de fase es v _p  = ω / k , la velocidad de grupo se puede expresar usando la derivada : v _g = dω / dk . O en términos de la velocidad de fase v _p ,   

${\displaystyle v_{\text{g}}={\frac {v_{\text{p}}}{1-{\dfrac {\omega }{v_{\text{p}}}}{\dfrac {dv_{\text{p}}}{d\omega }}}}.}$

Cuando hay dispersión, no solo la velocidad de grupo no es igual a la velocidad de fase, sino que generalmente varía con la longitud de onda. Esto se conoce como dispersión de velocidad de grupo y provoca que un pulso corto de luz se ensanche, ya que los componentes de diferente frecuencia dentro del pulso viajan a diferentes velocidades. La dispersión de velocidad de grupo se cuantifica como la derivada del recíproco de la velocidad de grupo con respecto a la frecuencia angular , lo que resulta en dispersión de velocidad de grupo  = d ² k / dω ² . 

Si un pulso de luz se propaga a través de un material con dispersión de velocidad de grupo positiva, los componentes de menor longitud de onda viajan más despacio que los de mayor longitud de onda. Por lo tanto, el pulso adquiere una modulación de frecuencia positiva (o " chirp ") , aumentando su frecuencia con el tiempo. Por otro lado, si un pulso viaja a través de un material con dispersión de velocidad de grupo negativa, los componentes de menor longitud de onda viajan más rápido que los de mayor longitud de onda, y el pulso adquiere una modulación de frecuencia negativa (o "chirp") , disminuyendo su frecuencia con el tiempo.

Un ejemplo cotidiano de señal con chirrido negativo en el dominio acústico es el de un tren que, al aproximarse, choca contra irregularidades en una vía soldada. El sonido que produce el tren es impulsivo y se propaga mucho más rápido en las vías metálicas que en el aire, por lo que se oye mucho antes de su llegada. Sin embargo, desde lejos no se percibe como un impulso, sino como un chirrido descendente característico, en medio de la reverberación causada por la complejidad de los modos de vibración de la vía. La dispersión de la velocidad de grupo se manifiesta en que el volumen del sonido permanece audible durante un tiempo sorprendentemente prolongado, hasta varios segundos.

El resultado de la dispersión de velocidad de grupo (GVD), ya sea negativa o positiva, es en última instancia la propagación temporal del pulso. Esto hace que la gestión de la dispersión sea extremadamente importante en los sistemas de comunicaciones ópticas basados ​​en fibra óptica, ya que si la dispersión es demasiado alta, un grupo de pulsos que representan un flujo de bits se propagará en el tiempo y se fusionará, haciendo que el flujo de bits sea ininteligible. Esto limita la longitud de fibra por la que se puede enviar una señal sin regeneración. Una posible solución a este problema es enviar señales a través de la fibra óptica a una longitud de onda donde la GVD sea cero (por ejemplo, alrededor de 1,3–1,5  μm en fibras de sílice ), de modo que los pulsos a esta longitud de onda sufran una propagación mínima por dispersión. Sin embargo, en la práctica, este enfoque causa más problemas de los que resuelve, ya que una GVD cero amplifica de forma inaceptable otros efectos no lineales (como la mezcla de cuatro ondas ). Otra opción posible es utilizar pulsos solitón en el régimen de dispersión negativa, una forma de pulso óptico que utiliza un efecto óptico no lineal para automantener su forma. Sin embargo, los solitones presentan el problema práctico de que requieren que se mantenga un cierto nivel de potencia en el pulso para que el efecto no lineal tenga la intensidad correcta. En cambio, la solución que se utiliza actualmente en la práctica consiste en realizar una compensación de dispersión, normalmente acoplando la fibra con otra fibra de dispersión de signo opuesto para que los efectos de dispersión se cancelen; dicha compensación está limitada en última instancia por efectos no lineales como la automodulación de fase , que interactúan con la dispersión y dificultan enormemente su eliminación.

El control de la dispersión también es importante en los láseres que producen pulsos cortos . La dispersión total del resonador óptico es un factor clave para determinar la duración de los pulsos emitidos por el láser. Se puede disponer un par de prismas para producir una dispersión negativa neta, que se puede utilizar para compensar la dispersión generalmente positiva del medio láser. También se pueden utilizar rejillas de difracción para producir efectos dispersivos; estas se utilizan a menudo en sistemas de amplificación láser de alta potencia. Recientemente, se ha desarrollado una alternativa a los prismas y las rejillas: los espejos chirpeados . Estos espejos dieléctricos están recubiertos de manera que las diferentes longitudes de onda tengan diferentes longitudes de penetración y, por lo tanto, diferentes retardos de grupo. Las capas de recubrimiento se pueden adaptar para lograr una dispersión negativa neta.

Las guías de onda presentan una alta dispersión debido a su geometría (y no solo a su composición material). Las fibras ópticas son un tipo de guía de onda para frecuencias ópticas (luz) ampliamente utilizadas en los sistemas de telecomunicaciones modernos. La velocidad de transmisión de datos en una sola fibra está limitada por el ensanchamiento de pulsos debido a la dispersión cromática, entre otros fenómenos.

En general, para un modo de guía de ondas con una frecuencia angular ω ( β ) a una constante de propagación β (de modo que los campos electromagnéticos en la dirección de propagación z oscilan proporcionalmente a e ^{i ( βz − ωt )} ), el parámetro de dispersión de velocidad de grupo D se define como ^{[ 5 ]}

${\displaystyle D=-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}{\frac {d^{2}\beta }{d\omega ^{2}}}={\frac {2\pi c}{v_{g}^{2}\lambda ^{2}}}{\frac {dv_{g}}{d\omega }},}$

donde λ  =  2 π c / ω es la longitud de onda en el vacío y v _g  = dω / dβ es la velocidad de grupo. Esta fórmula generaliza la de la sección anterior para medios homogéneos e incluye tanto la dispersión de la guía de ondas como la dispersión del material. La razón para definir la dispersión de esta manera es que | D | es la dispersión temporal (asintótica) del pulso Δ t por unidad de ancho de banda Δ λ por unidad de distancia recorrida, comúnmente reportada en ps /( nm ⋅ km ) para fibras ópticas. 

En el caso de las fibras ópticas multimodo , la denominada dispersión modal también provoca el ensanchamiento del pulso. Incluso en las fibras monomodo , el ensanchamiento del pulso puede producirse como resultado de la dispersión del modo de polarización (ya que existen dos modos de polarización). Estos no son ejemplos de dispersión cromática, puesto que no dependen de la longitud de onda ni del ancho de banda de los pulsos propagados.

Cuando un único paquete de ondas contiene un amplio rango de frecuencias (un ancho de banda amplio), como en un pulso ultracorto , un pulso modulado en frecuencia u otras formas de transmisión de espectro ensanchado , puede que no sea preciso aproximar la dispersión mediante una constante en todo el ancho de banda, y se requieren cálculos más complejos para computar efectos como la dispersión del pulso.

En particular, el parámetro de dispersión D definido anteriormente se obtiene a partir de una sola derivada de la velocidad de grupo. Las derivadas de orden superior se conocen como dispersión de orden superior . ^{[ 6 ] [ 7 ]} Estos términos son simplemente una expansión en serie de Taylor de la relación de dispersión β ( ω ) del medio o guía de ondas alrededor de una frecuencia particular. Sus efectos pueden calcularse mediante la evaluación numérica de las transformadas de Fourier de la forma de onda, mediante la integración de aproximaciones de envolvente de variación lenta de orden superior , mediante un método de pasos divididos (que puede usar la relación de dispersión exacta en lugar de una serie de Taylor), o mediante la simulación directa de las ecuaciones completas de Maxwell en lugar de una ecuación de envolvente aproximada.

En electromagnetismo y óptica, el término dispersión generalmente se refiere a la dispersión temporal o de frecuencia mencionada anteriormente. La dispersión espacial se refiere a la respuesta no local del medio al espacio; esto puede reformularse como la dependencia del vector de onda de la permitividad. Para un medio anisotrópico ejemplar , la relación espacial entre el campo eléctrico y el campo de desplazamiento eléctrico puede expresarse como una convolución : ^{[ 8 ]}

${\displaystyle D_{i}(t,r)=E_{i}(t,r)+\int _{0}^{\infty }\int f_{ik}(\tau ;r,r')E_{k}(t-\tau ,r')\,dV'\,d\tau ,}$

donde el núcleo${\displaystyle f_{ik}}$es la respuesta dieléctrica (susceptibilidad); sus índices la convierten en general en un tensor para tener en cuenta la anisotropía del medio. La dispersión espacial es despreciable en la mayoría de los casos macroscópicos, donde la escala de variación de${\displaystyle E_{k}(t-\tau ,r')}$es mucho mayor que las dimensiones atómicas, porque el núcleo dieléctrico se extingue a distancias macroscópicas. Sin embargo, puede dar lugar a efectos macroscópicos no despreciables, particularmente en medios conductores como metales , electrolitos y plasmas . La dispersión espacial también influye en la actividad óptica y el ensanchamiento Doppler , ^{[ 8 ]} así como en la teoría de los metamateriales . ^{[ 9 ]}

En la terminología técnica de la gemología , la dispersión es la diferencia en el índice de refracción de un material en las longitudes de onda de Fraunhofer B y G (686,7 nm y 430,8 nm) o C y F (656,3 nm y 486,1 nm) , y se utiliza para expresar el grado en que un prisma tallado de la gema muestra "fuego". Fuego es un término coloquial que usan los gemólogos para describir la naturaleza dispersiva de una gema o la falta de ella. La dispersión es una propiedad del material. La cantidad de fuego que muestra una gema determinada es función de los ángulos de las facetas de la gema, la calidad del pulido, el entorno de iluminación, el índice de refracción del material, la saturación del color y la orientación del observador con respecto a la gema. ^{[ 10 ] [ 11 ]}    

En las lentes fotográficas y microscópicas, la dispersión provoca aberración cromática , lo que impide que los diferentes colores de la imagen se superpongan correctamente. Se han desarrollado diversas técnicas para contrarrestar este efecto, como el uso de lentes acromáticas , lentes multielemento con vidrios de diferente dispersión. Estas lentes están construidas de tal manera que las aberraciones cromáticas de sus diferentes componentes se cancelan mutuamente.

Los púlsares son estrellas de neutrones que giran y emiten pulsos a intervalos muy regulares, que van desde milisegundos hasta segundos. Los astrónomos creen que estos pulsos se emiten simultáneamente en un amplio rango de frecuencias. Sin embargo, como se observa desde la Tierra, los componentes de cada pulso emitidos a frecuencias de radio más altas llegan antes que los emitidos a frecuencias más bajas.Esta dispersión se produce debido al componente ionizado del medio interestelar , principalmente los electrones libres, que hacen que la velocidad de grupo dependa de la frecuencia. El retardo adicional añadido a una frecuencia ν es

${\displaystyle t=k_{\text{DM}}\cdot \left({\frac {\text{DM}}{\nu ^{2}}}\right),}$

donde la constante de dispersión k _DM viene dada por ^{[ 12 ]}

${\displaystyle k_{\text{DM}}={\frac {e^{2}}{2\pi m_{\text{e}}c}}\approx 4.149~{\text{GHz}}^{2}\,{\text{pc}}^{-1}\,{\text{cm}}^{3}\,{\text{ms}},}$

y la medida de dispersión (DM) es la densidad de columna de electrones libres ( contenido total de electrones ) – es decir, la densidad numérica de electrones n _e integrada a lo largo del camino recorrido por el fotón desde el púlsar hasta la Tierra – y viene dada por  

${\displaystyle {\text{DM}}=\int _{0}^{d}n_{e}\,dl}$

con unidades de pársecs por centímetro cúbico (1  pc/cm³ ⁼ 30,857 × 10²¹  m ⁻² ). ^{[ 13 ]}

Normalmente, para las observaciones astronómicas, este retardo no se puede medir directamente, ya que se desconoce el tiempo de emisión. Lo que sí se puede medir es la diferencia en los tiempos de llegada a dos frecuencias diferentes. El retardo Δt entre un _componente de alta frecuencia νhi y un componente _de baja frecuencia νlo de un pulso será

${\displaystyle \Delta t=k_{\text{DM}}\cdot {\text{DM}}\cdot \left({\frac {1}{\nu _{\text{lo}}^{2}}}-{\frac {1}{\nu _{\text{hi}}^{2}}}\right).}$

Al reescribir la ecuación anterior en términos de Δt, se puede determinar la DM midiendo los tiempos de llegada de los pulsos en múltiples frecuencias. Esto, a su vez, puede utilizarse para estudiar el medio interestelar, así como para combinar observaciones de púlsares en diferentes frecuencias.

• Dispersive Wiki Archivado el 23/07/2017 en Wayback Machine : se analizan los aspectos matemáticos de la dispersión.
• Dispersión – Enciclopedia de Física y Tecnología Láser
• Animaciones que demuestran la dispersión óptica mediante QED.
• Demostración web interactiva sobre dispersión cromática. Instituto de Telecomunicaciones, Universidad de Stuttgart.