Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Campo de desplazamiento (mecánica)

En mecánica , un campo de desplazamiento es la asignación de vectores de desplazamiento a todos los puntos de una región o cuerpo que se desplazan de un estado a otro. [ 1 ] [ 2...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En mecánica , un campo de desplazamiento es la asignación de vectores de desplazamiento a todos los puntos de una región o cuerpo que se desplazan de un estado a otro. [ 1 ] [ 2 ] Un vector de desplazamiento especifica la posición de un punto o partícula con respecto a un origen o a una posición anterior. Por ejemplo, un campo de desplazamiento puede utilizarse para describir los efectos de la deformación en un cuerpo sólido.

Formulación

Antes de considerar el desplazamiento, debe definirse el estado previo a la deformación. Es un estado en el que se conocen las coordenadas de todos los puntos y se describe mediante la función: R→0:Ω→PAG{\displaystyle {\vec {R}}_{0}:\Omega \to P} dónde

  • R→0{\displaystyle {\vec {R}}_{0}}es un vector de ubicación
  • Ω{\displaystyle \Omega }son todos los puntos del cuerpo
  • PAG{\displaystyle P}son todos los puntos en el espacio en el que el cuerpo está presente

En la mayoría de los casos, se trata de un estado del cuerpo en el que no se aplican fuerzas.

Entonces, dado cualquier otro estado de este cuerpo en el que se describen las coordenadas de todos sus puntos comoR→1{\displaystyle {\vec {R}}_{1}}El campo de desplazamiento es la diferencia entre dos estados del cuerpo: tú→=R→1−R→0{\displaystyle {\vec {u}}={\vec {R}}_{1}-{\vec {R}}_{0}} dóndetú→{\displaystyle {\vec {u}}}es un campo de desplazamiento que, para cada punto del cuerpo, especifica un vector de desplazamiento .

Descomposición

Figura 1. Movimiento de un cuerpo continuo.

El desplazamiento de un cuerpo tiene dos componentes: un desplazamiento de cuerpo rígido y una deformación.

  • El desplazamiento de un cuerpo rígido consiste en una traslación y rotación del cuerpo sin que cambie su forma ni su tamaño.
  • La deformación implica el cambio de forma y/o tamaño del cuerpo a partir de una configuración inicial o no deformada.κ0(B){\displaystyle \kappa _ {0}({\mathcal {B}})}a una configuración actual o deformadaκt(B){\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}(Figura 1).

Un cambio en la configuración de un cuerpo continuo se puede describir mediante un campo de desplazamiento . Un campo de desplazamiento es un campo vectorial que representa los vectores de desplazamiento de todas las partículas del cuerpo y relaciona la configuración deformada con la configuración original. La distancia entre dos partículas cualesquiera cambia si y solo si se ha producido una deformación. Si el desplazamiento ocurre sin deformación, se trata de un desplazamiento de cuerpo rígido.

Tensor gradiente de desplazamiento

Se pueden definir dos tipos de tensor gradiente de desplazamiento , siguiendo las especificaciones lagrangiana y euleriana. El desplazamiento de las partículas indexadas por la variable i se puede expresar de la siguiente manera. El vector que une las posiciones de una partícula en la configuración no deformada.PAGi{\displaystyle P_{i}}y configuración deformadapagi{\displaystyle p_{i}}se denomina vector de desplazamiento ,pagi−PAGi{\displaystyle p_{i}-P_{i}}, denotadotúi{\displaystyle u_{i}}oUi{\displaystyle U_{i}}abajo.

Coordenadas materiales (descripción lagrangiana)

Usandoincógnita{\displaystyle \mathbf {X} }en lugar dePAGi{\displaystyle P_{i}}yincógnita{\displaystyle \mathbf {x} }en lugar depagi{\displaystyle p_{i}\,\!}, siendo ambos vectores desde el origen del sistema de coordenadas hasta cada punto respectivo, tenemos la descripción lagrangiana del vector de desplazamiento: tú(incógnita,t)=túimii{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}} dóndemii{\displaystyle \mathbf {e} _ {i}}son los vectores unitarios que definen la base del sistema de coordenadas del material (marco del cuerpo).

Expresado en términos de las coordenadas materiales, es decirtú{\displaystyle \mathbf {u} }como función deincógnita{\displaystyle \mathbf {X} }, el campo de desplazamiento es: tú(incógnita,t)=b(t)+incógnita(incógnita,t)−incógnitaotúi=αiJbJ+incógnitai−αiJincógnitaJ{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{o}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha {iJ}X_{J}} dóndeb(t){\displaystyle \mathbf {b} (t)}es el vector de desplazamiento que representa la traslación del cuerpo rígido.

La derivada parcial del vector de desplazamiento con respecto a las coordenadas del material produce el tensor gradiente de desplazamiento del material.∇incógnitatú{\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!}. Por lo tanto, tenemos, ∇incógnitatú=∇incógnitaincógnita−R=F−Ro∂túi∂incógnitaK=∂incógnitai∂incógnitaK−αiK=FiK−αiK{\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {R} =\mathbf {F} -\mathbf {R} \qquad {\text{o}}\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\alpha _{iK}=F_{iK}-\alpha _{iK}} dóndeF{\displaystyle \mathbf {F} }es el tensor gradiente de deformación del material yR{\displaystyle \mathbf {R} }es una rotación.

Coordenadas espaciales (descripción euleriana)

En la descripción euleriana , el vector que se extiende desde una partículaPAG{\displaystyle P}La posición en la configuración no deformada con respecto a su ubicación en la configuración deformada se denomina vector de desplazamiento : U(incógnita,t)=UJmiJ{\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}} dóndemii{\displaystyle \mathbf {E} _ {i}}son los vectores unitarios ortonormales que definen la base del sistema de coordenadas espaciales ( marco de laboratorio ).

Expresado en términos de coordenadas espaciales, es decirU{\displaystyle \mathbf {U} }como función deincógnita{\displaystyle \mathbf {x} }, el campo de desplazamiento es: U(incógnita,t)=b(t)+incógnita−incógnita(incógnita,t)oUJ=bJ+αJiincógnitai−incógnitaJ{\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{o}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}}

La derivada espacial , es decir, la derivada parcial del vector de desplazamiento con respecto a las coordenadas espaciales, produce el tensor gradiente de desplazamiento espacial.∇incógnitaU{\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!}. Por lo tanto, tenemos, ∇incógnitaU=RT−∇incógnitaincógnita=RT−F−1o∂UJ∂incógnitak=αJk−∂incógnitaJ∂incógnitak=αJk−FJk−1,{\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} =\mathbf {R} ^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {R} ^{T}-\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,,} dóndeF−1=H{\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {H} }es el tensor gradiente de deformación espacial .

Relación entre los sistemas de coordenadas materiales y espaciales

αJi{\displaystyle \alpha _{Ji}}son los cosenos directores entre los sistemas de coordenadas materiales y espaciales con vectores unitariosmiJ{\displaystyle \mathbf {E} _{J}}ymii{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}, respectivamente. Por lo tanto miJ⋅mii=αJi=αiJ{\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}

La relación entretúi{\displaystyle u_{i}}yUJ{\displaystyle U_{J}}entonces se da por túi=αiJUJoUJ=αJitúi{\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}

Sabiendo que mii=αiJmiJ{\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}} entonces tú(incógnita,t)=túimii=túi(αiJmiJ)=UJmiJ=U(incógnita,t){\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}

Combinando los sistemas de coordenadas de las configuraciones deformadas y no deformadas.

Es común superponer los sistemas de coordenadas para las configuraciones deformadas y no deformadas, lo que resulta enb=0{\displaystyle \mathbf {b} =0\,\!}y los cosenos directores se convierten en deltas de Kronecker , es decir, miJ⋅mii=δJi=δiJ{\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}

Así, en coordenadas materiales (no deformadas), el desplazamiento puede expresarse como: tú(incógnita,t)=incógnita(incógnita,t)−incógnitaotúi=incógnitai−δiJincógnitaJ{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}

Y en coordenadas espaciales (deformadas), el desplazamiento puede expresarse como: U(incógnita,t)=incógnita−incógnita(incógnita,t)oUJ=δJiincógnitai−incógnitaJ{\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}

Véase también

Referencias

  1. ↑ "Mecánica del continuo - Cinemática" . Escuela de Ingeniería . Universidad de Brown . Consultado el 25 de julio de 2018 .
  2. ↑ "2.080 Lección 3: El concepto de tensión, tensiones generalizadas y equilibrio" (PDF) . MIT OpenCourseWare . Consultado el 25 de julio de 2018 .