Espesor de la capa límite

El espesor de la capa límite,${\displaystyle \delta }$, es la distancia normal a la pared hasta un punto donde la velocidad del flujo ha alcanzado esencialmente la velocidad 'asintótica',${\displaystyle u_{e}}$Antes del desarrollo del Método de Momentos, la falta de un método obvio para definir el espesor de la capa límite llevó a gran parte de la comunidad de flujo en la segunda mitad del siglo XX a adoptar la ubicación${\displaystyle y_{99}}$, denotado como${\displaystyle \delta _{99}}$y dado por

${\displaystyle u(x,y_{99})=0.99u_{e}(x)\quad ,}$

como el espesor de la capa límite.

Para flujos de capa límite laminar a lo largo de un canal de placa plana que se comportan de acuerdo con las condiciones de la solución de Blasius ,${\displaystyle \delta _{99}}$El valor se aproxima estrechamente mediante ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \delta _{99}(x)\approx 5.0{\sqrt {{\nu x} \over u_{0}}}=5.0{x \over {\sqrt {\mathrm {Re} _{x}}}}\quad ,}$

dónde${\displaystyle u_{e}\approx u_{0}}$es constante, y donde

${\displaystyle \mathrm {Re} _ {x}}$es el número de Reynolds ,

${\displaystyle u_{0}}$es la velocidad de la corriente libre,

${\displaystyle u_{e}}$es la velocidad asintótica,

${\displaystyle x}$es la distancia aguas abajo desde el inicio de la capa límite, y

${\displaystyle \nu }$es la viscosidad cinemática .

Para capas límite turbulentas a lo largo de un canal de placa plana, el espesor de la capa límite,${\displaystyle \delta }$, viene dado por ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \delta (x)\approx 0.37{x \over {\mathrm {Re} _{x}}^{1/5}}\quad .}$

Esta fórmula de espesor de la capa límite turbulenta supone que 1) el flujo es turbulento desde el inicio de la capa límite y 2) la capa límite turbulenta se comporta de manera geométricamente similar ^{[ 5 ]} (es decir, los perfiles de velocidad son geométricamente similares a lo largo del flujo en la dirección x, diferenciándose solo por los parámetros de escala en${\displaystyle y}$y${\displaystyle u(x,y)}$Ninguna de estas suposiciones es cierta para el caso general de la capa límite turbulenta, por lo que se debe tener cuidado al aplicar esta fórmula.

El espesor de desplazamiento,${\displaystyle \delta _{1}}$o${\displaystyle \delta ^{*}}$es la distancia normal a un plano de referencia que representa el borde inferior de un fluido hipotético no viscoso de velocidad uniforme${\displaystyle u_{e}}$que tiene el mismo caudal que se produce en el fluido real con la capa límite. ^{[ 6 ]}

El espesor de desplazamiento modifica esencialmente la forma de un cuerpo sumergido en un fluido para permitir, en principio, una solución no viscosa si los espesores de desplazamiento se conocieran a priori .

La definición del espesor de desplazamiento para flujo compresible , basada en el caudal másico , es

${\displaystyle {\delta _{1}(x)}=\int _{0}^{H/2}{\left(1-{\rho (x,y)u(x,y) \over \rho _{e}u_{e}(x)}\right)\,\mathrm {d} y}\quad ,}$

dónde${\displaystyle \rho (x,y)}$es la densidad. Para un flujo incompresible , la densidad es constante, por lo que la definición basada en el caudal volumétrico se convierte en

${\displaystyle {\delta _{1}(x)}=\int _{0}^{H/2}{\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)\,\mathrm {d} y}\quad .}$

Para los cálculos de la capa límite turbulenta, se utilizan la densidad y la velocidad promediadas en el tiempo.

Para flujos de capa límite laminar a lo largo de una placa plana que se comportan de acuerdo con las condiciones de la solución de Blasius , el espesor de desplazamiento es ^{[ 7 ].}

${\displaystyle \delta _{1}(x)\approx 1.72{\sqrt {{\nu x} \over u_{0}}}\quad ,}$

dónde${\displaystyle u_{e}\approx u_{0}}$es constante.

El espesor de desplazamiento no está directamente relacionado con el espesor de la capa límite, sino que se da aproximadamente como${\displaystyle \delta _{1}\approx \delta /3}$. ^{[ 8 ]} Tiene un papel destacado en el cálculo del factor de forma. También aparece en varias fórmulas del método de los momentos.

El espesor del momento,${\displaystyle \theta }$o${\displaystyle \delta _{2}}$es la distancia normal a un plano de referencia que representa el borde inferior de un fluido hipotético no viscoso de velocidad uniforme${\displaystyle u_{e}}$que tiene el mismo caudal de momento que ocurre en el fluido real con la capa límite. ^{[ 9 ]}

La definición de espesor de momento para flujo compresible basada en el caudal másico es ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle \delta _{2}(x)=\int _{0}^{H/2}{{\rho (x,y)u(x,y) \over \rho _{e}u_{e}(x)}{\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)}}\,\mathrm {d} y\quad .}$

Para flujo incompresible , la densidad es constante, por lo que la definición basada en el caudal volumétrico se convierte en:

${\displaystyle \delta _{2}(x)=\int _{0}^{H/2}{{u(x,y) \over u_{e}(x)}{\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)}}\,\mathrm {d} y\quad ,}$

dónde${\displaystyle \rho }$son la densidad y${\displaystyle u_{e}}$es la velocidad 'asintótica'.

Para los cálculos de la capa límite turbulenta, se utilizan la densidad y la velocidad promediadas en el tiempo.

Para flujos de capa límite laminar a lo largo de una placa plana que se comportan de acuerdo con las condiciones de la solución de Blasius , el espesor de momento es ^{[ 13 ].}

${\displaystyle \delta _{2}(x)\approx 0.664{\sqrt {{\nu x} \over u_{0}}}\quad ,}$

dónde${\displaystyle u_{e}\approx u_{0}}$es constante.

El espesor de momento no está directamente relacionado con el espesor de la capa límite, sino que se da aproximadamente como${\displaystyle \delta _{2}\approx \delta /6}$. ^{[ 14 ]} Tiene un papel destacado en el cálculo del factor de forma.

Un parámetro relacionado llamado Espesor de Energía ^{[ 15 ]} se menciona a veces en referencia a la distribución de energía turbulenta, pero rara vez se utiliza.

Un factor de forma se utiliza en el flujo de capa límite para ayudar a diferenciar el flujo laminar del turbulento. También aparece en varios tratamientos aproximados de la capa límite, incluido el método de Thwaites para flujos laminares. La definición formal viene dada por

${\displaystyle H_{12}(x)={\frac {\delta _{1}(x)}{\delta _{2}(x)}}\quad ,}$

dónde${\displaystyle H_{12}}$es el factor de forma,${\displaystyle \delta _{1}}$es el espesor de desplazamiento y${\displaystyle \delta _{2}}$es el espesor del momento.

Convencionalmente,${\displaystyle H_{12}}$= 2,59 (capa límite de Blasius) es típico de flujos laminares, mientras que${\displaystyle H_{12}}$= 1,3 - 1,4 es típico de flujos turbulentos cerca de la transición laminar-turbulenta. ^{[ 16 ]} Para flujos turbulentos cerca de la separación,${\displaystyle H_{12}\approx }$2.7. ^{[ 17 ]} La línea divisoria que define laminar-transicional y transicional-turbulenta${\displaystyle H_{12}}$Los valores dependen de varios factores, por lo que no siempre son un parámetro definitivo para diferenciar las capas límite laminares, de transición o turbulentas.

Un método relativamente nuevo ^{[ 18 ] [ 19 ]} para describir el espesor y la forma de la capa límite utiliza la metodología de momentos matemáticos , comúnmente empleada para caracterizar funciones de probabilidad estadística . El método de momentos de la capa límite se desarrolló a partir de la observación de que la gráfica de la segunda derivada de la capa límite de Blasius para flujo laminar sobre una placa se asemeja mucho a una curva de distribución gaussiana. La implicación de la forma gaussiana de la segunda derivada es que el perfil de velocidad para flujo laminar se aproxima estrechamente a una función gaussiana integrada dos veces. ^{[ 20 ]}

El método del momento se basa en integrales simples del perfil de velocidad que utilizan todo el perfil, no solo unos pocos puntos de datos de la región de la cola como lo hace${\displaystyle \delta _{99}}$El método de los momentos introduce cuatro nuevos parámetros que ayudan a describir el espesor y la forma de la capa límite. Estos cuatro parámetros son la posición media, el ancho de la capa límite , la asimetría del perfil de velocidad y el exceso del perfil de velocidad . La asimetría y el exceso son parámetros de forma reales, a diferencia de los parámetros de relación simples como H _12. La aplicación del método de los momentos a las primeras y segundas derivadas del perfil de velocidad genera parámetros adicionales que, por ejemplo, determinan la posición, la forma y el espesor de las fuerzas viscosas en una capa límite turbulenta. Una propiedad única de los parámetros del método de los momentos es que es posible demostrar que muchos de estos parámetros de espesor de velocidad también son parámetros de escala de similitud. Es decir, si existe similitud en un conjunto de perfiles de velocidad, entonces estos parámetros de espesor también deben ser parámetros de escala de longitud de similitud. ^{[ 21 ]}

Es sencillo convertir el perfil de velocidad debidamente escalado y sus dos primeras derivadas en núcleos integrales adecuados.

Los momentos centrales basados ​​en los perfiles de velocidad escalados se definen como

${\displaystyle {\zeta _{n}(x)}=\int _{0}^{H/2}{(ym(x))^{n}{1 \over \delta _{1}(x)}\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)\mathrm {d} y}\quad ,}$

dónde${\displaystyle \delta _{1}(x)}$es el espesor de desplazamiento y la ubicación media,${\displaystyle m(x)}$es dado por

${\displaystyle m(x)=\int _{0}^{H/2}{y{1 \over \delta _{1}(x)}\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)\mathrm {d} y}\quad .}$

También existen algunas ventajas al incluir descripciones de los momentos de las derivadas del perfil de la capa límite con respecto a la altura sobre la pared. Consideremos los momentos centrales del perfil de velocidad de la primera derivada dados por

${\displaystyle {\kappa _ {n}(x)}=\int _ {0}^{H/2}{(y-{\delta _ {1}(x)})^{n}{d\{u(x,y)/u_ {e}(x)\} \over dy}\mathrm {d} y}\quad,}$

donde la ubicación media de la primera derivada es el espesor de desplazamiento${\displaystyle \delta _{1}(x)}$.

Finalmente, los momentos centrales del perfil de velocidad de la segunda derivada vienen dados por

${\displaystyle {\lambda _{n}(x)}=\int _{0}^{H/2}{(y-{\mu _{1}(x)})^{n}{d^{2}\{-\mu _{1}(x)u(x,y)/u_{e}(x)\} \over dy^{2}}\mathrm {d} y}\quad ,}$

donde la segunda derivada media ubicación,${\displaystyle \mu _{1}(x)}$, se da por

${\displaystyle {\mu _{1}(x)}={u_{e}(x) \over \left.{\frac {du(x,y)}{dy}}\right|_{y=0}}={\upsilon u_{e}(x) \over \tau _{w}(x)}\quad ,}$

dónde${\displaystyle \upsilon }$es la viscosidad y dónde${\displaystyle \tau _{w}(x)}$es la tensión cortante de la pared . La ubicación media,${\displaystyle \mu _{1}}$, para este caso se define formalmente como u _e ( x ) dividido por el área bajo la curva de la segunda derivada.

Las ecuaciones anteriores funcionan tanto para capas límite laminares como turbulentas, siempre que se utilice la velocidad promedio en el tiempo para el caso turbulento.

Con los momentos y las ubicaciones medias definidas, el espesor y la forma de la capa límite se pueden describir en términos de los anchos de la capa límite ( varianza ), asimetrías y excesos ( curtosis de exceso ). Experimentalmente, se encuentra que el espesor definido como${\displaystyle \delta _{m}=m+3\sigma _{m}}$dónde${\displaystyle \sigma _ {m}=\zeta _ {2}^{1/2}}$, rastrea el${\displaystyle \delta _{99}}$muy bien para flujos de capa límite turbulenta. ^{[ 22 ]}

Tomando como referencia las ecuaciones de balance de momento de la capa límite , los momentos de la capa límite de segunda derivada,${\displaystyle {\lambda _ {n}}}$rastrear el espesor y la forma de esa porción de la capa límite donde las fuerzas viscosas son significativas. Por lo tanto, el método de momentos permite rastrear y cuantificar la capa límite laminar y la región viscosa interna de las capas límite turbulentas utilizando${\displaystyle {\lambda _ {n}}}$momentos mientras que el espesor de la capa límite y la forma de la capa límite turbulenta total se rastrean usando${\displaystyle {\zeta _{n}}}$y${\displaystyle {\kappa _{n}}}$momentos.

El cálculo de los momentos de la segunda derivada puede ser problemático ya que bajo ciertas condiciones las segundas derivadas pueden volverse positivas en la región muy cercana a la pared (en general, son negativas). Este parece ser el caso para el flujo interior con un gradiente de presión adverso (GPA). Los valores del integrando no cambian de signo en el marco de probabilidad estándar, por lo que la aplicación de la metodología de momentos al caso de la segunda derivada dará como resultado medidas de momentos sesgadas. Una solución simple ^{[ 23 ]} es excluir los valores problemáticos y definir un nuevo conjunto de momentos para un perfil de segunda derivada truncado que comience en el mínimo de la segunda derivada. Si el ancho,${\displaystyle {\sigma _{v}}}$, se calcula utilizando el mínimo como ubicación media, entonces el espesor de la capa límite viscosa, definido como el punto donde el perfil de la segunda derivada se vuelve despreciable por encima de la pared, se puede identificar correctamente con este enfoque modificado.

Para momentos derivados cuyos integrandos no cambian de signo, los momentos se pueden calcular sin necesidad de tomar derivadas utilizando la integración por partes para reducir los momentos a simples integrales basadas en el núcleo de espesor de desplazamiento dado por

${\displaystyle {\alpha _{n}}(x)=\int _{0}^{H/2}{y^{n}\left(1-{u(x,y) \over u_{e}(x)}\right)\mathrm {d} y}\quad .}$

Por ejemplo, la segunda derivada${\displaystyle \sigma _{v}}$el valor es${\displaystyle \sigma _{v}={\sqrt {{-\mu _{1}}^{2}+2\mu _{1}\alpha _{0}}}}$y la asimetría de la primera derivada,${\displaystyle \gamma _{1}}$, se puede calcular como

${\displaystyle \gamma _{1}(x)=\kappa _{3}/\kappa _{2}^{3/2}=(2\delta _{1}^{3}-6\delta _{1}\alpha _{1}+3\alpha _{2})/(2\alpha _{1}-\delta _{1}^{2})^{3/2}\quad .}$

Se demostró que este parámetro permite rastrear los cambios en la forma de la capa límite que acompañan la transición de la capa límite laminar a turbulenta. ^{[ 24 ]}

Los errores numéricos que se producen al calcular los momentos, especialmente los de orden superior, son motivo de gran preocupación. Pequeños errores experimentales o numéricos pueden provocar que la parte nominalmente libre de las integrales se dispare. Existen ciertas recomendaciones de cálculo numérico ^{[ 25 ]} que pueden seguirse para mitigar estos errores.

Para flujos de capa límite externos no limitados, es necesario modificar las ecuaciones de momento para lograr el objetivo deseado de estimar las distintas ubicaciones del espesor de la capa límite. El comportamiento de pico del perfil de velocidad significa la normalización del área de la${\displaystyle \zeta _{n}(x)}$Los momentos se vuelven problemáticos. Para evitar este problema, se ha sugerido ^{[ 30 ]} que la capa límite no delimitada se divida en regiones viscosas e inerciales y que el espesor de la capa límite se pueda calcular utilizando integrales de momento separadas específicas para esa región. Es decir, la región viscosa interna de las regiones de capa límite no delimitada laminar y turbulenta se puede rastrear utilizando modificados${\displaystyle {\lambda _{n}}}$momentos mientras que el espesor de la capa límite inercial se puede rastrear utilizando modificado${\displaystyle {\zeta _{n}}}$y${\displaystyle {\kappa _{n}}}$momentos. La lenta velocidad a la que el pico se aproxima asintóticamente a la velocidad de la corriente libre significa que los valores calculados del espesor de la capa límite suelen ser mucho mayores que en el caso de una capa límite confinada.

El modificado${\displaystyle {\zeta _{n}}}$y${\displaystyle {\kappa _{n}}}$Los momentos para la región de la capa límite inercial se crean mediante: 1) reemplazar el límite integral inferior por la ubicación del pico de velocidad designado por${\displaystyle {\delta _{max}}}$, 2) cambiar el límite superior de la integral a h donde h se encuentra profundamente en la corriente libre, y 3) cambiar la escala de velocidad desde${\displaystyle u_{e}}$a${\displaystyle u_{0}}$. El espesor de desplazamiento en los momentos modificados debe calcularse utilizando los mismos límites integrales que las integrales de los momentos modificados. Tomando${\displaystyle \delta _{max}}$como ubicación media, el espesor de la capa límite de 3 sigma modificado se convierte en${\displaystyle \delta _{m}=\delta _{max}+3\sigma _{i}}$dónde${\displaystyle \sigma _{i}}$es el modificado${\displaystyle {\zeta _{2}^{1/2}}}$ancho.

El modificado${\displaystyle {\lambda _{n}}}$Los momentos de la segunda derivada se pueden calcular utilizando las mismas integrales definidas anteriormente, pero con${\displaystyle \delta _{max}}$Sustituyendo H /2 por el límite superior de la integral. Para evitar errores numéricos, deben seguirse ciertas recomendaciones de cálculo ^{[ 31 ]} . Las mismas consideraciones para los momentos de la segunda derivada con respecto a las capas límite acotadas APG para el caso acotado anterior también se aplican a los momentos modificados para el caso no acotado.

En la Figura 3 se muestra un ejemplo de los momentos modificados para el flujo de capa límite no confinada a lo largo de una sección de ala. ^{[ 32 ]} Esta figura se generó a partir de una simulación 2D ^{[ 33 ]} para el flujo de aire laminar sobre una sección de ala NACA_0012. En esta figura se incluyen los 3-sigma modificados.${\displaystyle \delta _{m}}$, la 3-sigma modificada${\displaystyle \delta _{v}}$y el${\displaystyle \delta _{99}}$ubicaciones. El modificado${\displaystyle \delta _{m}/\delta _{99}}$El valor de la relación es 311, el modificado${\displaystyle \delta _{v}/\delta _{99}}$El valor de la relación es ~2, y el${\displaystyle u_{max}}$el valor es un 9% más alto que el${\displaystyle u_{0}}$valor. La gran diferencia entre el${\displaystyle \delta _{m}}$y${\displaystyle \delta _{v}}$comparado con el${\displaystyle \delta _{99}}$El valor demuestra la insuficiencia de la${\displaystyle \delta _{99}}$espesor de la capa límite. Además, el gran pico de velocidad demuestra el problema de tratar las capas límite interiores confinadas como equivalentes a las capas límite exteriores sin confinamiento.

La ubicación del pico de velocidad, denotada como${\displaystyle \delta _{max}}$es una ubicación de demarcación obvia para la capa límite no delimitada. El principal atractivo de esta elección es que esta ubicación es aproximadamente la ubicación divisoria entre las regiones viscosa e inercial. Para la simulación de flujo laminar a lo largo de un ala, ^{[ 35 ]} se encuentra que u _max ubicado en δ _max se aproxima al espesor de la capa límite viscosa dado como ${\displaystyle \delta _{max}\approx \delta _{v}^{4.3}=\mu _{1}}$+${\displaystyle 4.3\sigma _{v}}$indicando los picos de velocidad justo por encima del espesor de la capa límite viscosa δ _v . Para las regiones inerciales de los flujos laminares y turbulentos,${\displaystyle \delta _{max}}$es un límite inferior conveniente para las integrales de momento. Si el ancho,${\displaystyle {\sigma _{i}}}$, se calcula utilizando${\displaystyle \delta _{max}}$como ubicación media entonces el espesor de la capa límite, definido como el punto donde la velocidad esencialmente se vuelve u ₀ por encima de la pared, puede entonces ser identificado correctamente.

Una implicación significativa del comportamiento de pico es que el espesor del 99%,${\displaystyle \delta _{99}}$NO se recomienda ^{[ 36 ]} como parámetro de espesor para el flujo exterior, capa límite no delimitada, ya que ya no corresponde a una ubicación de capa límite de importancia. Solo es útil para flujo laminar no delimitado a lo largo de una placa plana muy delgada con un ángulo de incidencia cero a la dirección del flujo, ya que el pico para este caso será muy pequeño y el perfil de velocidad se aproximará mucho al caso de capa límite delimitada. Para placas-paredes gruesas, ángulos de incidencia distintos de cero o flujo alrededor de la mayoría de las superficies sólidas, el exceso de flujo debido al arrastre de forma da como resultado un pico cerca de la pared en el perfil de velocidad, lo que hace${\displaystyle \delta _{99}}$no es útil.

En principio, el espesor de desplazamiento, el espesor de momento y el factor de forma pueden calcularse utilizando el mismo método descrito anteriormente para el caso de capa límite limitada. Sin embargo, la naturaleza puntiaguda de la capa límite ilimitada implica que la sección inercial del espesor de desplazamiento y del espesor de momento tenderá a cancelarse en la porción cercana a la pared. Por lo tanto, el espesor de desplazamiento y el espesor de momento se comportarán de manera diferente para los casos limitados e ilimitados. Una opción para que el espesor de desplazamiento y el espesor de momento ilimitados se comporten aproximadamente como en el caso limitado es utilizar u _max como parámetro de escala y δ _max como límite superior de la integral.