Capa límite

En física y mecánica de fluidos , una capa límite es la delgada capa de fluido que se forma en las inmediaciones de una superficie límite debido al flujo del fluido a lo largo de dicha superficie. La interacción del fluido con la pared induce una condición de contorno de no deslizamiento (velocidad cero en la pared). La velocidad del flujo aumenta monótonamente por encima de la superficie hasta alcanzar la velocidad del flujo principal. La delgada capa de fluido cuya velocidad aún no ha regresado a la velocidad del flujo principal se denomina capa límite de velocidad.

El aire que rodea a una persona se calienta, lo que genera un flujo de aire convectivo inducido por la gravedad, que a su vez crea una capa límite tanto de velocidad como térmica. Una brisa perturba esta capa límite, y el cabello y la ropa la protegen, haciendo que la persona sienta más o menos calor. En el ala de un avión , la capa límite de velocidad es la parte del flujo cercana al ala, donde las fuerzas viscosas distorsionan el flujo no viscoso circundante. En la atmósfera terrestre , la capa límite atmosférica es la capa de aire (~1 km) cercana al suelo. Se ve afectada por la superficie; los flujos de calor diurnos y nocturnos causados ​​por el calentamiento del suelo por el sol, la humedad o la transferencia de momento hacia o desde la superficie. 

Las capas límite laminares pueden clasificarse, a grandes rasgos, según su estructura y las circunstancias en las que se crean. La delgada capa de cizallamiento que se desarrolla en un cuerpo oscilante es un ejemplo de capa límite de Stokes , mientras que la capa límite de Blasius se refiere a la conocida solución de similitud cerca de una placa plana adherida a un flujo unidireccional incidente, y la capa límite de Falkner-Skan , una generalización del perfil de Blasius. Cuando un fluido rota y las fuerzas viscosas se equilibran con el efecto Coriolis (en lugar de la inercia convectiva), se forma una capa de Ekman . En la teoría de la transferencia de calor, se produce una capa límite térmica. Una superficie puede tener varios tipos de capas límite simultáneamente.

La naturaleza viscosa del flujo de aire reduce las velocidades locales en una superficie y es responsable de la fricción superficial. La capa de aire sobre la superficie del ala que se ralentiza o se detiene debido a la viscosidad es la capa límite. Existen dos tipos diferentes de flujo de capa límite: laminar y turbulento. ^{[ 1 ]}

flujo de capa límite laminar

La capa límite laminar es un flujo muy suave, mientras que la capa límite turbulenta contiene remolinos o vórtices. El flujo laminar genera menos resistencia por fricción superficial que el flujo turbulento, pero es menos estable. El flujo de la capa límite sobre la superficie de un ala comienza como un flujo laminar suave. A medida que el flujo se extiende desde el borde de ataque hacia atrás, la capa límite laminar aumenta de espesor.

Flujo de capa límite turbulenta

A cierta distancia del borde de ataque, el flujo laminar se interrumpe y se transforma en un flujo turbulento. Desde el punto de vista de la resistencia aerodinámica, es recomendable que la transición del flujo laminar al turbulento se produzca lo más atrás posible en el ala, o que una gran parte de la superficie del ala se encuentre dentro de la porción laminar de la capa límite. Sin embargo, el flujo laminar de baja energía tiende a interrumpirse de forma más abrupta que la capa turbulenta.

La capa límite aerodinámica fue propuesta por primera vez por Ludwig Prandtl en un artículo presentado el 12 de agosto de 1904 en el tercer Congreso Internacional de Matemáticos en Heidelberg, Alemania . Esta teoría simplifica las ecuaciones del flujo de fluidos al dividir el campo de flujo en dos áreas: una dentro de la capa límite, dominada por la viscosidad y que genera la mayor parte de la resistencia que experimenta el cuerpo en dicha capa; y otra fuera de la capa límite, donde la viscosidad puede despreciarse sin que ello afecte significativamente a la solución. Esto permite obtener una solución analítica para el flujo en ambas áreas mediante simplificaciones importantes de las ecuaciones completas de Navier-Stokes . La misma hipótesis es aplicable a otros fluidos (además del aire) con viscosidad moderada a baja, como el agua. En el caso de que exista una diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido, se observa que la mayor parte de la transferencia de calor hacia y desde un cuerpo tiene lugar en las proximidades de la capa límite de velocidad. Esto, a su vez, permite simplificar las ecuaciones en el campo de flujo fuera de la capa límite. La distribución de presión a lo largo de la capa límite en la dirección normal a la superficie (como en un perfil aerodinámico ) permanece relativamente constante a lo largo de la capa límite, y es la misma que en la superficie misma.

El espesor de la capa límite de velocidad se define normalmente como la distancia desde el cuerpo sólido hasta el punto en el que la velocidad del flujo viscoso es el 99 % de la velocidad de la corriente libre (la velocidad superficial de un flujo no viscoso ). ^{[ 2 ]} El espesor de desplazamiento es una definición alternativa que establece que la capa límite representa un déficit en el flujo másico en comparación con el flujo no viscoso con deslizamiento en la pared. Es la distancia por la que la pared tendría que desplazarse en el caso no viscoso para dar el mismo flujo másico total que en el caso viscoso. La condición de no deslizamiento requiere que la velocidad del flujo en la superficie de un objeto sólido sea cero y que la temperatura del fluido sea igual a la temperatura de la superficie. La velocidad del flujo aumentará entonces rápidamente dentro de la capa límite, regida por las ecuaciones de la capa límite, a continuación.

El espesor de la capa límite térmica es, de forma similar, la distancia desde el cuerpo a la cual la temperatura alcanza el 99 % de la temperatura del flujo libre. La relación entre ambos espesores viene determinada por el número de Prandtl . Si el número de Prandtl es igual a 1, ambas capas límite tienen el mismo espesor. Si el número de Prandtl es mayor que 1, la capa límite térmica es más delgada que la capa límite de velocidad. Si el número de Prandtl es menor que 1, como ocurre en el aire en condiciones estándar, la capa límite térmica es más gruesa que la capa límite de velocidad.

En diseños de alto rendimiento, como planeadores y aeronaves comerciales, se presta mucha atención al control del comportamiento de la capa límite para minimizar la resistencia. Hay que considerar dos efectos. Primero, la capa límite aumenta el espesor efectivo del cuerpo, a través del espesor de desplazamiento , lo que incrementa la resistencia de presión. Segundo, las fuerzas de corte en la superficie del ala crean resistencia por fricción superficial .

A números de Reynolds elevados , típicos de aeronaves de tamaño real, es deseable tener una capa límite laminar . Esto resulta en una menor fricción superficial debido al perfil de velocidad característico del flujo laminar. Sin embargo, la capa límite inevitablemente se engrosa y se vuelve menos estable a medida que el flujo se desarrolla a lo largo del cuerpo, y finalmente se vuelve turbulenta , proceso conocido como transición de la capa límite . Una forma de abordar este problema es succionar la capa límite a través de una superficie porosa (véase Succión de la capa límite ). Esto puede reducir la resistencia, pero suele ser poco práctico debido a su complejidad mecánica y la potencia necesaria para mover el aire y eliminarlo. Las técnicas de flujo laminar natural (NLF) desplazan la transición de la capa límite hacia atrás al remodelar el perfil aerodinámico o el fuselaje de manera que su punto más grueso se encuentre más atrás y sea menos grueso. Esto reduce las velocidades en la parte delantera y se logra el mismo número de Reynolds con una mayor longitud.

A números de Reynolds bajos , como los que se observan en los aeromodelos, es relativamente fácil mantener un flujo laminar. Esto produce una baja fricción superficial, lo cual es deseable. Sin embargo, el mismo perfil de velocidad que confiere a la capa límite laminar su baja fricción superficial también provoca que se vea gravemente afectada por gradientes de presión adversos . A medida que la presión comienza a recuperarse en la parte posterior de la cuerda del ala, una capa límite laminar tiende a separarse de la superficie. Dicha separación del flujo provoca un gran aumento de la resistencia de presión , ya que incrementa considerablemente el tamaño efectivo de la sección del ala. En estos casos, puede ser ventajoso inducir deliberadamente la turbulencia en la capa límite en un punto anterior a la ubicación de la separación laminar, utilizando un turbulador . El perfil de velocidad más completo de la capa límite turbulenta le permite soportar el gradiente de presión adverso sin separarse. Por lo tanto, aunque aumenta la fricción superficial, la resistencia total disminuye. Este es el principio que explica el efecto de hoyuelos en las pelotas de golf, así como el funcionamiento de los generadores de vórtices en las aeronaves. También se han diseñado secciones de ala especiales que optimizan la recuperación de presión, reduciendo o incluso eliminando la separación laminar. Esto representa un equilibrio óptimo entre la resistencia de presión derivada de la separación del flujo y la fricción superficial causada por la turbulencia inducida.

Cuando se utilizan modelos a escala reducida en túneles de viento, a veces se emplea una peniche para reducir o eliminar el efecto de la capa límite.

La deducción de las ecuaciones de la capa límite fue uno de los avances más importantes en la dinámica de fluidos. Mediante un análisis de orden de magnitud , las conocidas ecuaciones de Navier-Stokes que rigen el flujo de fluidos viscosos pueden simplificarse enormemente dentro de la capa límite. En particular, la característica de las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) se vuelve parabólica, en lugar de la forma elíptica de las ecuaciones completas de Navier-Stokes. Esto simplifica enormemente la solución de las ecuaciones. Al realizar la aproximación de la capa límite, el flujo se divide en una porción no viscosa (que es fácil de resolver mediante varios métodos) y la capa límite, que se rige por una EDP más fácil de resolver. Las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes para un flujo incompresible estacionario bidimensional en coordenadas cartesianas vienen dadas por

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial \upsilon \over \partial y}=0}$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)}$

${\displaystyle u{\partial \upsilon \over \partial x}+\upsilon {\partial \upsilon \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}+{\nu }\left({\partial ^{2}\upsilon \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\upsilon \over \partial y^{2}}\right)}$

dónde${\displaystyle u}$y${\displaystyle \upsilon }$son los componentes de la velocidad,${\displaystyle \rho }$es la densidad,${\displaystyle p}$es la presión, y${\displaystyle \nu }$es la viscosidad cinemática del fluido en un punto.

La aproximación establece que, para un número de Reynolds suficientemente alto , el flujo sobre una superficie se puede dividir en una región externa de flujo no viscoso no afectado por la viscosidad (la mayor parte del flujo) y una región cercana a la superficie donde la viscosidad es importante (la capa límite).${\displaystyle u}$y${\displaystyle \upsilon }$sean las velocidades longitudinal y transversal (normal a la pared) respectivamente dentro de la capa límite. Utilizando el análisis de escala , se puede demostrar que las ecuaciones de movimiento anteriores se reducen dentro de la capa límite a convertirse en

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

${\displaystyle {1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}=0}$

y si el fluido es incompresible (como lo son los líquidos en condiciones estándar):

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial \upsilon \over \partial y}=0}$

El análisis de orden de magnitud supone que la escala de longitud longitudinal es significativamente mayor que la escala de longitud transversal dentro de la capa límite. De ello se deduce que las variaciones en las propiedades en la dirección longitudinal son generalmente mucho menores que las de la dirección normal a la pared. Al aplicar esto a la ecuación de continuidad se observa que${\displaystyle \upsilon }$, la velocidad normal de la pared, es pequeña en comparación con${\displaystyle u}$la velocidad longitudinal.

Dado que la presión estática${\displaystyle p}$es independiente de${\displaystyle y}$Entonces, la presión en el borde de la capa límite es la presión en toda la capa límite en una posición longitudinal dada. La presión externa se puede obtener mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli . Sea${\displaystyle U}$sea ​​la velocidad del fluido fuera de la capa límite, donde${\displaystyle u}$y${\displaystyle U}$son ambos paralelos. Esto da como resultado al sustituir por${\displaystyle p}$el siguiente resultado

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=U{\frac {dU}{dx}}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

Para un flujo en el que la presión estática${\displaystyle p}$tampoco cambia en la dirección del flujo

${\displaystyle {\frac {dp}{dx}}=0}$

entonces${\displaystyle U}$permanece constante.

Por lo tanto, la ecuación de movimiento se simplifica a:

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}={\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

Estas aproximaciones se utilizan en diversos problemas prácticos de flujo de interés científico y de ingeniería. El análisis anterior se aplica a cualquier capa límite laminar o turbulenta instantánea, pero se utiliza principalmente en estudios de flujo laminar, ya que el flujo medio también es el flujo instantáneo debido a la ausencia de fluctuaciones de velocidad. Esta ecuación simplificada es una EDP parabólica y puede resolverse mediante una solución de similitud, a menudo denominada capa límite de Blasius .

El tratamiento de las capas límite turbulentas es mucho más difícil debido a la variación temporal de las propiedades del flujo. Una de las técnicas más utilizadas para abordar los flujos turbulentos es la descomposición de Reynolds . En este método, las propiedades instantáneas del flujo se descomponen en un componente medio y uno fluctuante, suponiendo que el valor medio del componente fluctuante es siempre cero. La aplicación de esta técnica a las ecuaciones de la capa límite proporciona las ecuaciones completas de la capa límite turbulenta, que no suelen aparecer en la literatura.

${\displaystyle {\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=0}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'^{2}}})}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {v}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial y}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {v'^{2}}})}$

Utilizando un análisis de orden de magnitud similar, las ecuaciones anteriores se pueden reducir a términos de orden principal. Al elegir escalas de longitud${\displaystyle \delta }$para cambios en la dirección transversal, y${\displaystyle L}$para cambios en la dirección del flujo, con${\displaystyle \delta <<L}$, la ecuación de momento en x se simplifica a:

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}$

Esta ecuación no satisface la condición de no deslizamiento en la pared. Al igual que Prandtl hizo con sus ecuaciones de capa límite, se debe utilizar una nueva escala de longitud más pequeña para permitir que el término viscoso se convierta en el término de orden principal en la ecuación de momento. Al elegir${\displaystyle \eta <<\delta }$En la escala y , la ecuación de momento de primer orden para esta "capa límite interna" viene dada por:

${\displaystyle 0=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}$

En el límite de número de Reynolds infinito, se puede demostrar que el término de gradiente de presión no tiene efecto en la región interna de la capa límite turbulenta. La nueva "escala de longitud interna"${\displaystyle \eta }$es una escala de longitud viscosa y es de orden${\displaystyle {\frac {\nu }{u_{*}}}}$, con${\displaystyle u_{*}}$siendo la escala de velocidad de las fluctuaciones turbulentas, en este caso una velocidad de fricción .

A diferencia de las ecuaciones de la capa límite laminar, la presencia de dos regímenes regidos por diferentes conjuntos de escalas de flujo (es decir, la escala interna y externa) ha hecho que encontrar una solución de similitud universal para la capa límite turbulenta sea difícil y controvertido. Para encontrar una solución de similitud que abarque ambas regiones del flujo, es necesario igualar asintóticamente las soluciones de ambas regiones. Dicho análisis dará como resultado la llamada ley logarítmica o ley potencial .

Enfoques similares al análisis anterior también se han aplicado a capas límite térmicas, utilizando la ecuación de energía en flujos compresibles. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

El término adicional${\displaystyle {\overline {u'v'}}}$En las ecuaciones de la capa límite turbulenta, la tensión cortante de Reynolds es desconocida a priori . Por lo tanto, la solución de dichas ecuaciones requiere el uso de un modelo de turbulencia , cuyo objetivo es expresar la tensión cortante de Reynolds en función de variables de flujo conocidas o sus derivadas. La falta de precisión y generalidad de estos modelos constituye un obstáculo importante para la predicción exitosa de las propiedades del flujo turbulento en la dinámica de fluidos moderna.

En la región cercana a la pared existe una capa de tensión constante. Debido a la amortiguación de las fluctuaciones de velocidad vertical cerca de la pared, el término de tensión de Reynolds se vuelve despreciable y se observa un perfil de velocidad lineal. Esto solo se cumple en la región muy cercana a la pared .

En 1928, el ingeniero francés André Lévêque observó que la transferencia de calor por convección en un fluido en movimiento se ve afectada únicamente por los valores de velocidad muy cercanos a la superficie. ^{[ 17 ] [ 18 ]} Para flujos con un número de Prandtl elevado, la transición de temperatura/masa desde la superficie hasta la temperatura de la corriente libre tiene lugar a través de una región muy delgada cercana a la superficie. Por lo tanto, las velocidades del fluido más importantes son aquellas dentro de esta región muy delgada en la que el cambio de velocidad puede considerarse lineal con la distancia normal desde la superficie. De esta manera, para

${\displaystyle u(y)=U\left[1-{\frac {(y-h)^{2}}{h^{2}}}\right]=U{\frac {y}{h}}\left[2-{\frac {y}{h}}\right]\;,}$

cuando${\displaystyle y\rightarrow 0}$, entonces

${\displaystyle u(y)\approx 2U{\frac {y}{h}}=\theta y,}$

donde θ es la tangente de la parábola de Poiseuille que interseca la pared. Aunque la solución de Lévêque era específica para la transferencia de calor en un flujo de Poiseuille, su intuición ayudó a otros científicos a encontrar una solución exacta del problema de la capa límite térmica. ^{[ 19 ]} Schuh observó que en una capa límite, u es nuevamente una función lineal de y , pero que en este caso, la tangente de la pared es una función de x . ^{[ 20 ]} Expresó esto con una versión modificada del perfil de Lévêque,

${\displaystyle u(y)=\theta (x)y.}$

Esto da como resultado una muy buena aproximación, incluso para valores bajos.${\displaystyle Pr}$números, de modo que solo los metales líquidos con${\displaystyle Pr}$mucho menor que 1 no puede tratarse de esta manera. ^{[ 19 ]} En 1962, Kestin y Persen publicaron un artículo que describía soluciones para la transferencia de calor cuando la capa límite térmica está contenida completamente dentro de la capa de momento y para varias distribuciones de temperatura de la pared. ^{[ 21 ]} Para el problema de una placa plana con un salto de temperatura en${\displaystyle x=x_{0}}$Proponen una sustitución que reduce la ecuación parabólica de la capa límite térmica a una ecuación diferencial ordinaria . La solución de esta ecuación, la temperatura en cualquier punto del fluido, puede expresarse como una función gamma incompleta . ^{[ 18 ]} Schlichting propuso una sustitución equivalente que reduce la ecuación de la capa límite térmica a una ecuación diferencial ordinaria cuya solución es la misma función gamma incompleta. ^{[ 22 ]} Se pueden derivar soluciones analíticas con el Ansatz autosimilar dependiente del tiempo para las ecuaciones de la capa límite incompresible que incluyen la conducción de calor. ^{[ 23 ]}

Como es bien sabido en varios libros de texto, la transferencia de calor tiende a disminuir con el aumento de la capa límite. Recientemente, se observó a gran escala que el viento que fluye a través de un generador fotovoltaico tiende a "atrapar" el calor en los paneles fotovoltaicos bajo un régimen turbulento debido a la disminución de la transferencia de calor. ^{[ 24 ]} A pesar de que frecuentemente se asume que es inherentemente turbulento, esta observación accidental demuestra que el viento natural se comporta en la práctica muy cerca de un fluido ideal, al menos en una observación que se asemeja al comportamiento esperado en una placa plana, lo que potencialmente reduce la dificultad de analizar este tipo de fenómeno a mayor escala.

Paul Richard Heinrich Blasius derivó una solución exacta a las ecuaciones de la capa límite laminar anteriores . ^{[ 25 ]} El espesor de la capa límite${\displaystyle \delta }$es una función del número de Reynolds para flujo laminar.

${\displaystyle \delta \approx 5.0{x \over {\sqrt {Re}}}}$

${\displaystyle \delta }$= el espesor de la capa límite: la región del flujo donde la velocidad es menor al 99% de la velocidad en el campo lejano.${\displaystyle v_{\infty }}$;${\displaystyle x}$es posición a lo largo de la placa semiinfinita, y${\displaystyle Re}$es el número de Reynolds dado por${\displaystyle \rho v_{\infty }x/\mu }$(${\displaystyle \rho =}$densidad y${\displaystyle \mu =}$viscosidad dinámica).

La solución de Blasius utiliza condiciones de contorno en forma adimensional:

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty }}={v_{y} \over v_{\infty }}=0}$     en     ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty }}=1}$     en     ${\displaystyle y=\infty }$y${\displaystyle x=0}$

Tenga en cuenta que en muchos casos se cumple la condición de contorno de no deslizamiento.${\displaystyle v_{S}}$La velocidad del fluido en la superficie de la placa es igual a la velocidad de la placa en todos los puntos. Si la placa no se mueve, entonces${\displaystyle v_{S}=0}$Se requiere una derivación mucho más compleja si se permite el deslizamiento del fluido. ^{[ 26 ]}

De hecho, la solución de Blasius para el perfil de velocidad laminar en la capa límite sobre una placa semiinfinita puede extenderse fácilmente para describir las capas límite térmica y de concentración para la transferencia de calor y masa, respectivamente. En lugar del balance diferencial de momento en el eje x (ecuación de movimiento), se utiliza un balance de energía y masa derivado de forma similar:

Energía:        ${\displaystyle v_{x}{\partial T \over \partial x}+v_{y}{\partial T \over \partial y}={k \over \rho C_{p}}{\partial ^{2}T \over \partial y^{2}}}$

Masa:          ${\displaystyle v_{x}{\partial c_{A} \over \partial x}+v_{y}{\partial c_{A} \over \partial y}=D_{AB}{\partial ^{2}c_{A} \over \partial y^{2}}}$

Para el balance de momento, viscosidad cinemática${\displaystyle \nu }$puede considerarse como la difusividad de momento . En el balance de energía, esto se reemplaza por la difusividad térmica.${\displaystyle \alpha ={k/\rho C_{P}}}$y por difusividad de masa${\displaystyle D_{AB}}$en el balance de masas. En la difusividad térmica de una sustancia,${\displaystyle k}$es su conductividad térmica,${\displaystyle \rho }$es su densidad y${\displaystyle C_{P}}$es su capacidad calorífica. El subíndice AB denota la difusividad de la especie A que se difunde en la especie B.

Bajo el supuesto de que${\displaystyle \alpha =D_{AB}=\nu }$, estas ecuaciones se vuelven equivalentes al balance de momento. Por lo tanto, para el número de Prandtl${\displaystyle Pr=\nu /\alpha =1}$y número de Schmidt${\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}=1}$La solución de Blasius se aplica directamente.

En consecuencia, esta derivación utiliza una forma relacionada de las condiciones de contorno, reemplazando${\displaystyle v}$con${\displaystyle T}$o${\displaystyle c_{A}}$(temperatura absoluta o concentración de la especie A). El subíndice S denota una condición de superficie.

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}=0}$     en     ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}=1}$     en     ${\displaystyle y=\infty }$y${\displaystyle x=0}$

Utilizando la función de línea de corriente, Blasius obtuvo la siguiente solución para el esfuerzo cortante en la superficie de la placa.

${\displaystyle \tau _{0}=\left({\partial v_{x} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{v_{\infty } \over x}Re^{1/2}}$

Y a través de las condiciones de contorno, se sabe que

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}}$

Se nos proporcionan las siguientes relaciones para el flujo de calor/masa que sale de la superficie de la placa.

${\displaystyle \left({\partial T \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{T_{\infty }-T_{S} \over x}Re^{1/2}}$

${\displaystyle \left({\partial c_{A} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{c_{A\infty }-c_{AS} \over x}Re^{1/2}}$

Entonces para${\displaystyle Pr=Sc=1}$

${\displaystyle \delta =\delta _{T}=\delta _{c}={5.0x \over {\sqrt {Re}}}}$

dónde${\displaystyle \delta _{T},\delta _{c}}$son las regiones de flujo donde${\displaystyle T}$y${\displaystyle c_{A}}$son menos del 99% de sus valores de campo lejano. ^{[ 27 ]}

Debido a que el número de Prandtl de un fluido en particular no suele ser igual a la unidad, el ingeniero alemán E. Polhausen, que trabajó con Ludwig Prandtl, intentó extender empíricamente estas ecuaciones para aplicarlas a${\displaystyle Pr\neq 1}$Sus resultados pueden aplicarse a${\displaystyle Sc}$Asimismo. ^{[ 28 ]} Encontró que para un número de Prandtl mayor que 0,6, el espesor de la capa límite térmica venía dado aproximadamente por:

${\displaystyle {\delta \over \delta _{T}}=Pr^{1/3}}$          y por lo tanto          ${\displaystyle {\delta \over \delta _{c}}=Sc^{1/3}}$

A partir de esta solución, es posible caracterizar las constantes de transferencia de calor/masa por convección en función de la región del flujo de la capa límite. La ley de conducción de Fourier y la ley de enfriamiento de Newton se combinan con el término de flujo derivado anteriormente y el espesor de la capa límite.

${\displaystyle {q \over A}=-k\left({\partial T \over \partial y}\right)_{y=0}=h_{x}(T_{S}-T_{\infty })}$

${\displaystyle h_{x}=0.332{k \over x}Re_{x}^{1/2}Pr^{1/3}}$

Esto proporciona la constante convectiva local.${\displaystyle h_{x}}$en un punto del plano semiinfinito. La integración a lo largo de la placa da un promedio

${\displaystyle h_{L}=0.664{k \over x}Re_{L}^{1/2}Pr^{1/3}}$

Siguiendo la derivación con términos de transferencia de masa (${\displaystyle k}$= constante de transferencia de masa convectiva,${\displaystyle D_{AB}}$= difusividad de la especie A en la especie B,${\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}}$), se obtienen las siguientes soluciones:

${\displaystyle k'_{x}=0.332{D_{AB} \over x}Re_{x}^{1/2}Sc^{1/3}}$

${\displaystyle k'_{L}=0.664{D_{AB} \over x}Re_{L}^{1/2}Sc^{1/3}}$

Estas soluciones se aplican para flujo laminar con un número de Prandtl/Schmidt mayor que 0,6. ^{[ 27 ]}

Muchos de los principios que se aplican a las aeronaves también se aplican a los barcos, submarinos y plataformas marinas, siendo el agua el fluido principal de interés en lugar del aire. Dado que el agua no es un fluido ideal, los barcos que se mueven en ella experimentan resistencia. Las partículas del fluido se adhieren al casco del barco debido a la fuerza de adhesión entre el agua y el barco, creando una capa límite donde la velocidad de flujo del fluido forma un gradiente de velocidad pequeño pero pronunciado , con el fluido en contacto con el barco idealmente con una velocidad relativa de 0, y el fluido en el borde de la capa límite con la velocidad de flujo libre , o la velocidad relativa del fluido alrededor del barco. ^{[ 29 ]}

Mientras que la parte delantera del buque se enfrenta a fuerzas de presión normales debido al fluido que la rodea, la parte trasera experimenta una componente de presión menor debido a la capa límite. Esto genera una mayor resistencia a la presión, conocida como «resistencia viscosa por presión» o « resistencia de forma ». ^{[ 29 ]}

En los buques, a diferencia de las aeronaves, se trabaja con flujos incompresibles, donde la variación de la densidad del agua es insignificante (un aumento de presión cercano a 1000 kPa produce una variación de tan solo 2-3  kg/m³ ⁾ . Este campo de la dinámica de fluidos se denomina hidrodinámica. Un ingeniero naval diseña priorizando la hidrodinámica y, posteriormente, la resistencia. El desarrollo, la ruptura y la separación de la capa límite se vuelven cruciales debido a que la alta viscosidad del agua genera elevadas tensiones de corte.

Este efecto se aprovechó en la turbina Tesla , patentada por Nikola Tesla en 1913. Se la conoce como turbina sin álabes porque utiliza el efecto de la capa límite y no un fluido que incide sobre los álabes como en una turbina convencional. Las turbinas de capa límite también se conocen como turbinas de cohesión, turbinas sin álabes y turbinas de capa de Prandtl (en honor a Ludwig Prandtl ).

Al utilizar las ecuaciones de fuerza transitoria y viscosa para un flujo cilíndrico, se puede predecir el espesor de la capa límite transitoria hallando el número de Womersley (${\displaystyle N_{w}}$).

Fuerza transitoria =${\displaystyle \rho vw}$

Fuerza viscosa =${\displaystyle {\mu v \over \delta _{1}^{2}}}$

Igualándolos entre sí se obtiene:

${\displaystyle \rho vw={\mu v \over \delta _{1}^{2}}}$

Al despejar delta se obtiene:

${\displaystyle \delta _{1}={\sqrt {\mu \over \rho w}}={\sqrt {\ v \over \ w}}}$

En forma adimensional:

${\displaystyle {L \over \delta _{1}}={L{\sqrt {w \over \ v}}}=N_{w}}$

dónde${\displaystyle N_{w}}$= Número de Womersley;${\displaystyle \rho }$= densidad;${\displaystyle v}$= velocidad;${\displaystyle w=}$frecuencia de oscilaciones;${\displaystyle \delta _{1}}$= longitud de la capa límite transitoria;${\displaystyle \mu }$= viscosidad;${\displaystyle L}$= longitud característica.

Al utilizar las ecuaciones de fuerza convectiva y viscosa en la capa límite para un flujo cilíndrico, se pueden predecir las condiciones de flujo convectivo en la capa límite hallando el número de Reynolds adimensional (${\displaystyle Re}$).

Fuerza convectiva:${\displaystyle \rho v^{2} \over \ L}$

Fuerza viscosa:${\displaystyle {\mu v \over \delta _{2}^{2}}}$

Igualándolos entre sí se obtiene:

${\displaystyle {\rho v^{2} \over \ L}={\mu v \over \delta _{2}^{2}}}$

Al despejar delta se obtiene:

${\displaystyle \delta _{2}={\sqrt {\mu L \over \rho v}}}$

En forma adimensional:

${\displaystyle {L \over \delta _{2}}={\sqrt {\rho vL \over \mu }}={\sqrt {Re}}}$

dónde${\displaystyle Re}$= Número de Reynolds;${\displaystyle \rho }$= densidad;${\displaystyle v}$= velocidad;${\displaystyle \delta _{2}}$= longitud de la capa límite convectiva;${\displaystyle \mu }$= viscosidad;${\displaystyle L}$= longitud característica.

La ingestión de la capa límite promete un aumento en la eficiencia del combustible de las aeronaves mediante un propulsor montado en la parte trasera que ingiere la capa límite lenta del fuselaje y reenergiza la estela para reducir la resistencia y mejorar la eficiencia propulsora . Para operar en un flujo de aire distorsionado, el ventilador es más pesado y su eficiencia se reduce, y su integración es compleja. Se utiliza en conceptos como el Aurora D8 o el Nova de la agencia de investigación francesa Onera , ahorrando un 5 % en crucero al ingerir el 40 % de la capa límite del fuselaje. ^{[ 30 ]}

Airbus presentó el concepto Nautilus en el congreso ICAS en septiembre de 2018: para absorber toda la capa límite del fuselaje, minimizando la distorsión del flujo azimutal , el fuselaje se divide en dos ejes con ventiladores de relación de derivación de 13-18:1. La eficiencia propulsora alcanza hasta el 90%, como la de los rotores abiertos contrarrotatorios, con motores más pequeños, ligeros, menos complejos y ruidosos. Podría reducir el consumo de combustible en más de un 10% en comparación con un motor convencional bajo el ala con una relación de derivación de 15:1. ^{[ 30 ]}

• Separación de la capa límite
• Espesor de la capa límite
• Espesor y forma de la capa límite térmica
• Succión de la capa límite
• Control de la capa límite
• Micrófono de superficie
• capa límite de Blasius
• Capa límite de Falkner-Skan
• Capa de Ekman
• Capa límite planetaria
• Teoría de perturbaciones
• Ley logarítmica de la pared
• Factor de forma (flujo de la capa límite)
• esfuerzo cortante
• capa superficial

• Chanson, H. (2009). Hidrodinámica aplicada: Introducción a los flujos de fluidos ideales y reales . CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Países Bajos, 478 páginas. ISBN 978-0-415-49271-3.
• AD Polyanin y VF Zaitsev, Manual de ecuaciones diferenciales parciales no lineales , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton – Londres, 2004. ISBN 1-58488-355-3
• AD Polyanin, AM Kutepov, AV Vyazmin y DA Kazenin, Hidrodinámica, transferencia de masa y calor en ingeniería química , Taylor & Francis, Londres, 2002. ISBN 0-415-27237-8
• Hermann Schlichting, Klaus Gersten, E. Krause, H. Jr. Oertel, C. Mayes "Teoría de la capa límite" octava edición Springer 2004 ISBN 3-540-66270-7
• John D. Anderson Jr., "La capa límite de Ludwig Prandtl" , Physics Today , diciembre de 2005
• Anderson, John (1992). Fundamentos de aerodinámica (2.ª  ed.). Toronto: SSCHAND. págs. 711–714 . ISBN  0-07-001679-8.
• H. Tennekes y JL Lumley , "Un primer curso sobre turbulencia", The MIT Press, (1972).
• Conferencias sobre turbulencia para el siglo XXI, por William K. George

• Biblioteca Digital Nacional de Ciencias – Capa límite
• Moore, Franklin K., " Efecto de desplazamiento de una capa límite tridimensional ". Informe NACA 1124, 1953.
• Benson, Tom, " Capa límite ". Tecnologías de aprendizaje Glenn de la NASA.
• Separación de la capa límite
• Ecuaciones de la capa límite: Soluciones exactas – de EqWorld
• Jones, TRANSFERENCIA DE CALOR EN LA CAPA LÍMITE DE TV
• "El revolucionario concepto de "capa límite" y su prevalencia en la aeronáutica, por Sourabh S. Diwan" . YouTube . Centro Internacional de Ciencias Teóricas. 18 de febrero de 2022.