Distancia de aproximación más cercana

En geometría , la distancia de aproximación mínima entre dos objetos es la distancia entre sus centros cuando son tangentes externamente (se tocan sin superponerse). Los objetos pueden ser figuras geométricas abstractas u objetos físicos con límites bien definidos. La distancia de aproximación mínima también se conoce como distancia de contacto .

Para las esferas , la distancia de aproximación mínima es simplemente la suma de sus radios. Para los objetos no esféricos, la distancia de aproximación mínima depende de la orientación de los objetos, y su cálculo puede resultar difícil.

La densidad de empaquetamiento máxima de partículas duras ^{[ 1 ]} depende de su distancia de aproximación más cercana. Las interacciones de las partículas suelen depender de su separación, y la distancia de aproximación más cercana desempeña un papel importante en la determinación del comportamiento de los sistemas de materia condensada .

El volumen excluido de partículas (el volumen excluido a los centros de otras partículas debido a la presencia de una) es un parámetro clave en tales descripciones; ^{[ 2 ] [ 3 ]} se requiere la distancia de aproximación más cercana para calcular el volumen excluido. El volumen excluido para esferas idénticas es solo cuatro veces el volumen de una esfera . Para otros objetos anisotrópicos , el volumen excluido depende de la orientación, y su cálculo puede ser sorprendentemente difícil. ^{[ 4 ]} Las formas más simples después de las esferas son las elipses y los elipsoides; estos han recibido considerable atención , ^{[ 5 ]} sin embargo, su volumen excluido no se conoce. Vieillard Baron pudo proporcionar un criterio de superposición para dos elipses. Sus resultados fueron útiles para simulaciones computacionales de sistemas de partículas duras y para problemas de empaquetamiento utilizando simulaciones de Monte Carlo .

La única forma anisotrópica cuyo volumen excluido puede expresarse analíticamente es el esferocilindro ; la solución de este problema es un trabajo clásico de Onsager. ^{[ 6 ]} El problema se abordó considerando la distancia entre dos segmentos de línea, que son las líneas centrales de los cilindros tapados. Los resultados para otras formas no están fácilmente disponibles. La dependencia de la orientación de la distancia de aproximación más cercana tiene consecuencias sorprendentes. Los sistemas de partículas duras, cuyas interacciones son solo entrópicas, pueden llegar a ordenarse. Los esferocilindros duros forman no solo fases nemáticas ordenadas orientacionalmente, sino también fases esmécticas ordenadas posicionalmente. ^{[ 7 ]} Aquí, el sistema renuncia a cierto desorden (orientacional e incluso posicional) para ganar desorden y entropía en otro lugar.

Vieillard Baron fue el primero en investigar este problema y, aunque no obtuvo un resultado para la distancia de aproximación más cercana, derivó el criterio de solapamiento para dos elipses. Sus resultados finales fueron útiles para el estudio del comportamiento de fase de partículas duras y para el problema de empaquetamiento mediante simulaciones de Monte Carlo . Si bien se han desarrollado criterios de solapamiento, ^{[ 8 ] [ 9 ]} las soluciones analíticas para la distancia de aproximación más cercana y la ubicación del punto de contacto solo han estado disponibles recientemente. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Los detalles de los cálculos se proporcionan en la Ref. ^{[ 12 ]} La subrutina Fortran 90 se proporciona en la Ref. ^{[ 13 ]}

El procedimiento consta de tres pasos:

1. Transformación de las dos elipses tangentes${\displaystyle E_{1}}$y${\displaystyle E_{2}}$, cuyos centros están unidos por el vector${\displaystyle d}$, en un círculo${\displaystyle C_{1}'}$y una elipse${\displaystyle E_{2}'}$, cuyos centros están unidos por el vector${\displaystyle d'}$El círculo${\displaystyle C_{1}'}$ y la elipse${\displaystyle E_{2}'}$ permanecen tangentes después de la transformación.
2. Determinación de la distancia${\displaystyle d'}$de aproximación más cercana de${\displaystyle C_{1}'}$y${\displaystyle E_{2}'}$analíticamente. Requiere la solución apropiada de una ecuación cuártica . La normal${\displaystyle n'}$se calcula.
3. Determinación de la distancia${\displaystyle d}$de aproximación más cercana y la ubicación del punto de contacto de${\displaystyle E_{1}}$ y${\displaystyle E_{2}}$mediante las transformaciones inversas de los vectores${\displaystyle d'}$y${\displaystyle n'}$.

Aporte:

• longitudes de los semiejes${\displaystyle a_{1},b_{1},a_{2},b_{2}}$,
• vectores unitarios${\displaystyle k_{1}}$,${\displaystyle k_{2}}$a lo largo de los ejes principales de ambas elipses, y
• vector unitario${\displaystyle d}$uniendo los centros de las dos elipses.

Producción:

• distancia${\displaystyle d}$entre los centros cuando las elipses${\displaystyle E_{1}}$y${\displaystyle E_{2}}$son tangentes externamente y
• ubicación del punto de contacto en términos de${\displaystyle k_{1}}$,${\displaystyle k_{2}}$.

Consideremos dos elipsoides , cada uno con una forma y orientación dadas , cuyos centros se encuentran en una línea con una dirección dada . Deseamos determinar la distancia entre sus centros cuando los elipsoides están en contacto puntual externo. Esta distancia de aproximación mínima es función de las formas de los elipsoides y su orientación. No existe una solución analítica para este problema, ya que calcular la distancia requiere la resolución de una ecuación polinómica de sexto grado . Aquí se desarrolla un algoritmo para determinar esta distancia, basado en los resultados analíticos para la distancia de aproximación mínima de elipses en 2D, que puede implementarse numéricamente. ^{[ 14 ]} Se proporcionan subrutinas en dos formatos: Fortran90 ^{[ 15 ]} y C. ^{[ 16 ]}

El algoritmo consta de tres pasos.

1. Construir un plano que contenga la línea que une los centros de los dos elipsoides y hallar las ecuaciones de las elipses formadas por la intersección de este plano y los elipsoides .
2. Determinar la distancia de aproximación más cercana de las elipses; es decir, la distancia entre los centros de las elipses cuando están en contacto puntual externamente.
3. Se gira el plano hasta que la distancia de aproximación más cercana de las elipses sea máxima . Esta distancia máxima corresponde a la distancia de aproximación más cercana de los elipsoides.

• Ápside
• Parámetro de impacto