Distancia establecida

En geometría , el conjunto de distancias de una colección de puntos es el conjunto de distancias entre pares de puntos distintos. Por lo tanto, puede considerarse como la generalización de un conjunto de diferencias , que es el conjunto de distancias (y sus negaciones) en colecciones de números.

Varios problemas y resultados en geometría se refieren a conjuntos de distancias, generalmente basados ​​en el principio de que una gran colección de puntos debe tener un conjunto de distancias grande (para diferentes definiciones de "grande"):

• La conjetura de Falconer es la afirmación de que, para una colección de puntos en${\displaystyle d}$-espacio dimensional que tiene una dimensión de Hausdorff mayor que${\displaystyle d/2}$, el conjunto de distancias correspondiente tiene una medida de Lebesgue distinta de cero . Aunque se conocen resultados parciales, la conjetura sigue sin probarse. ^{[ 1 ]}
• El problema de Erdős-Ulam plantea si es posible tener un conjunto denso en el plano euclidiano cuyo conjunto de distancias esté formado únicamente por números racionales . Una vez más, permanece sin resolver. ^{[ 2 ]}
• El teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados caracteriza los números en el conjunto de distancias de la red entera bidimensional : son las raíces cuadradas de enteros cuya factorización prima no contiene un número impar de copias de ningún primo congruente con 3 mod 4. De forma análoga, el teorema de los tres cuadrados de Legendre caracteriza el conjunto de distancias de la red entera tridimensional, y el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange caracteriza el conjunto de distancias de las redes enteras en cuatro o más dimensiones como las raíces cuadradas de enteros sin restricciones adicionales. En redes de cinco o más dimensiones, todo subconjunto de la red con densidad superior no nula tiene un conjunto de distancias que contiene los cuadrados de una progresión aritmética infinita . ^{[ 3 ]}
• Según el teorema de Erdős-Anning , todo conjunto infinito de puntos en el plano euclidiano que no se encuentra sobre una sola línea tiene un conjunto de distancias no entero. ^{[ 4 ]}
• Las cuadrículas cuadradas de puntos tienen conjuntos de distancias de tamaño sublineal, a diferencia de los puntos en posición general, cuyo conjunto de distancias es de tamaño cuadrático. Sin embargo, según la solución de 2015 del problema de distancias distintas de Erdős por Larry Guth y Nets Katz , el conjunto de distancias de cualquier colección finita de puntos en el plano euclidiano es solo ligeramente sublineal, casi tan grande como la colección dada. ^{[ 5 ]} En particular, solo una colección finita de puntos puede tener un conjunto de distancias finito.
• Una regla de Golomb es un conjunto finito de puntos en una línea tal que no hay dos pares de puntos con la misma distancia. Sophie Piccard afirmó que no hay dos reglas de Golomb con el mismo conjunto de distancias. Esta afirmación es incorrecta, pero existe un único contraejemplo: un par de reglas de Golomb de seis puntos con un conjunto de distancias compartido. ^{[ 6 ]}
• La dimensión equilátera de un espacio métrico es el tamaño más grande de una colección de puntos cuyo conjunto de distancias tiene un solo elemento. La conjetura de Kusner afirma que la dimensión equilátera de un${\displaystyle d}$El espacio -dimensional con la distancia de Manhattan es exactamente${\displaystyle 2d}$, pero esto sigue sin estar probado. ^{[ 7 ]}
• Un conjunto de 2-distancias es un conjunto de puntos para el cual el conjunto de distancias mutuas distintas tiene cardinalidad exactamente 2. Un ejemplo de un conjunto de 2-distancias es el conjunto de vértices del octaedro regular . Existen varios resultados sobre conjuntos de 2-distancias, incluyendo una clasificación de todos los conjuntos de 2-distancias en dimensión 4. ^{[ 8 ]} Todo conjunto de 2-distancias es un conjunto isósceles , un conjunto en el cual todos los triángulos son isósceles. Como recíproco parcial, todo conjunto isósceles que no puede descomponerse en dos subespacios perpendiculares es un conjunto de 2-distancias. ^{[ 9 ]}
• El teorema de la cuerda universal establece que para cualquier función real , el conjunto de distancias de los conjuntos de nivel de la función es cerrado bajo la división por enteros.

Los conjuntos de distancias también se han utilizado como descriptor de forma en visión por computadora . ^{[ 10 ]}

• Matriz de distancias