Teorema de preparación de Weierstrass

En matemáticas , el teorema de preparación de Weierstrass es una herramienta para tratar con funciones analíticas de varias variables complejas en un punto P dado . Establece que dicha función es, salvo multiplicación por una función distinta de cero en P , un polinomio en una variable fija z , que es mónico , y cuyos coeficientes de términos de menor grado son funciones analíticas en las variables restantes y cero en P.

También existen varias variantes del teorema, que extienden la idea de factorización en un anillo R como u · w , donde u es una unidad y w es algún tipo de polinomio de Weierstrass distinguido . Carl Siegel ha cuestionado la atribución del teorema a Weierstrass , afirmando que apareció con el nombre actual en algunos Traités d'analyse de finales del siglo XIX sin justificación.

Para una variable, la forma local de una función analítica f ( z ) cerca de 0 es z ^k h ( z ) donde h (0) no es 0, y k es el orden del cero de f en 0. Este es el resultado que generaliza el teorema de preparación. Elegimos una variable z , que podemos suponer que es la primera, y escribimos nuestras variables complejas como ( z , z ₂ , ..., z _n ). Un polinomio de Weierstrass W ( z ) es

z ^k + g _{k − 1} z ^{k − 1} + ... + g ₀

donde g _i ( z ₂ , ..., z _n ) es analítica y g _i (0, ..., 0) = 0.

Entonces el teorema establece que para funciones analíticas f , si

f (0, ...,0) = 0,

y

f ( z , z ₂ , ..., z _n )

como una serie de potencias tiene algún término que solo involucra a z , podemos escribir (localmente cerca de (0, ..., 0))

f ( z , z ₂ , ..., z _n ) = W ( z ) h ( z , z ₂ , ..., z _n )

con h analítica y h (0, ..., 0) distinto de 0, y W un polinomio de Weierstrass.

Esto tiene como consecuencia inmediata que el conjunto de ceros de f , cerca _de (0, ..., 0), se puede encontrar fijando cualquier valor pequeño de z₂ , ..., zₙ _y luego resolviendo la ecuación W(z)=0 . Los valores correspondientes de z forman una serie de ramas que varían continuamente , cuyo número es igual al grado de W en z . En particular, f no puede tener un cero aislado.

Existe un teorema de preparación más profundo para funciones suaves , debido a Bernard Malgrange , llamado teorema de preparación de Malgrange . También tiene un teorema de división asociado, que lleva el nombre de John Mather .

Existe un resultado análogo, también conocido como el teorema de preparación de Weierstrass, para el anillo de series de potencias formales sobre anillos locales completos A : ^{[ 3 ]} para cualquier serie de potencias${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\in A[[t]]}$de tal manera que no todos${\displaystyle a_{n}}$están en el ideal máximo${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$de A , hay una unidad única u en${\displaystyle A[[t]]}$y un polinomio F de la forma${\displaystyle F=t^{s}+b_{s-1}t^{s-1}+\dots +b_{0}}$con${\displaystyle b_{i}\in {\mathfrak {m}}}$(un polinomio denominado distinguido) tal que

${\displaystyle f=uF.}$

Desde${\displaystyle A[[t]]}$es nuevamente un anillo local completo, el resultado se puede iterar y por lo tanto da resultados de factorización similares para series de potencias formales en varias variables.

Por ejemplo, esto se aplica al anillo de enteros en un cuerpo p-ádico . En este caso, el teorema dice que una serie de potencias f ( z ) siempre puede factorizarse de forma única como π ⁿ · u ( z )· p ( z ), donde u ( z ) es una unidad en el anillo de series de potencias, p ( z ) es un polinomio distinguido (mónico, con los coeficientes de los términos no principales cada uno en el ideal maximal) y π es un uniformizador fijo .

Una aplicación del teorema de preparación y división de Weierstrass para el anillo${\displaystyle \mathbf {Z} _ {p}[[t]]}$(también llamada álgebra de Iwasawa ) aparece en la teoría de Iwasawa en la descripción de módulos finitamente generados sobre este anillo. ^{[ 4 ]}

Existe una versión no conmutativa de la división y preparación de Weierstrass, donde A es un anillo no necesariamente conmutativo y se utilizan series de potencias sesgadas formales en lugar de series de potencias formales. ^{[ 5 ]}

También existe un teorema de preparación de Weierstrass para las álgebras de Tate.

${\displaystyle T_{n}(k)=\left\{\sum _{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}\geq 0}a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},|a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}|\to 0{\text{ para }}\nu _{1}+\dots +\nu _{n}\to \infty \right\}}$

sobre un cuerpo completo no arquimediano k . ^{[ 6 ]} Estas álgebras son los bloques de construcción básicos de la geometría rígida . Una aplicación de esta forma del teorema de preparación de Weierstrass es el hecho de que los anillos${\displaystyle T_{n}(k)}$son noetherianos .

• Teorema de coherencia de Oka

• Lewis, Andrew, Notas sobre análisis global
• Siegel, CL (1969), "Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstrass", Teoría y análisis de números (artículos en honor a Edmund Landau) , Nueva York: Plenum, págs. 297–306 , MR 0268402  , reimpreso en Siegel, Carl Ludwig (1979), Chandrasekharan, K.; Maass., H. (eds.), Gesammelte Abhandlungen. Banda IV , Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, págs. 1 a 8, ISBN  0-387-09374-5, MR 0543842 
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Teorema de Weierstrass" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Stickelberger, L. (1887), "Ueber einen Satz des Herrn Noether" , Mathematische Annalen , 30 (3): 401– 409, doi : 10.1007/BF01443952 , S2CID 121360367 
• Weierstrass, K. (1895), Mathematische Werke. II. Abhandlungen 2 , Berlín: Mayer & Müller, págs . 135-142 Reimpreso por Johnson, Nueva York, 1967.

• Lebl, Jiří (6 de julio de 2021). "Teoremas de preparación y división de Weierstrass. (5 de septiembre de 2021)" . LibreTexts .