Topología del divisor

En matemáticas, más específicamente en topología general , la topología divisoria es una topología específica en el conjunto${\displaystyle X=\{2,3,4,...\}}$de enteros positivos mayores o iguales a dos. La topología divisoria es la topología de poset para la relación de orden parcial de divisibilidad de enteros en${\displaystyle X}$.

Los conjuntos${\displaystyle S_{n}=\{x\in X:x\mathop {|} n\}}$para${\displaystyle n=2,3,...}$forman una base para la topología divisor ^{[ 1 ]} en${\displaystyle X}$donde la notación${\displaystyle x\mathop {|} n}$medio${\displaystyle x}$es un divisor de${\displaystyle n}$.

Los conjuntos abiertos en esta topología son los conjuntos inferiores para el orden parcial definido por${\displaystyle x\leq y}$si${\displaystyle x\mathop {|} y}$Los conjuntos cerrados son los conjuntos superiores para este orden parcial.

Todas las propiedades que se indican a continuación se demuestran en ^{[ 1 ]} o se derivan directamente de las definiciones.

• El cierre de un punto${\displaystyle x\in X}$es el conjunto de todos los múltiplos de${\displaystyle x}$.
• Dado un punto${\displaystyle x\in X}$, hay un vecindario más pequeño de${\displaystyle x}$, es decir, el conjunto abierto básico${\displaystyle S_{x}}$de divisores de${\displaystyle x}$. Por lo tanto, la topología del divisor es una topología de Alexandrov .
• ${\displaystyle X}$es un espacio T ₀ . De hecho, dados dos puntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$con${\displaystyle x<y}$, el barrio abierto${\displaystyle S_{x}}$de${\displaystyle x}$no contiene${\displaystyle y}$.
• ${\displaystyle X}$no es un espacio T ₁ , ya que ningún punto está cerrado . En consecuencia,${\displaystyle X}$no es Hausdorff .
• Los puntos aislados de${\displaystyle X}$son los números primos .
• El conjunto de números primos es denso en${\displaystyle X}$. De hecho, todo conjunto abierto denso debe incluir a todos los números primos y, por lo tanto,${\displaystyle X}$es un espacio Baire .
• ${\displaystyle X}$es de segundo orden contable .
• ${\displaystyle X}$es ultraconectado , ya que los cierres de los singletons${\displaystyle \{x\}}$y${\displaystyle \{y\}}$contienen el producto${\displaystyle xy}$como elemento común.
• Por eso${\displaystyle X}$es un espacio normal . Pero${\displaystyle X}$no es completamente normal . Por ejemplo, los singletons${\displaystyle \{6\}}$y${\displaystyle \{4\}}$son conjuntos separados (6 no es múltiplo de 4 y 4 no es múltiplo de 6), pero no tienen vecindarios abiertos disjuntos, ya que sus vecindarios abiertos respectivos más pequeños se encuentran de manera no trivial en${\displaystyle S_{6}\cap S_{4}=S_{2}}$.
• ${\displaystyle X}$no es un espacio regular , como un barrio básico${\displaystyle S_{x}}$es finito, pero el cierre de un punto es infinito.
• ${\displaystyle X}$está conectado , conectado localmente , conectado por ruta y conectado localmente por ruta .
• ${\displaystyle X}$es un espacio disperso , ya que cada subconjunto no vacío tiene un primer elemento, que es un elemento aislado del conjunto.
• Los subconjuntos compactos de${\displaystyle X}$son los subconjuntos finitos, ya que cualquier conjunto${\displaystyle A\subsetequ X}$está cubierto por la colección de todos los conjuntos abiertos básicos${\displaystyle S_{n}}$, que son cada uno finito, y si${\displaystyle A}$está cubierto por solo un número finito de ellos, debe ser finito en sí mismo. En particular,${\displaystyle X}$no es compacto .
• ${\displaystyle X}$es localmente compacto en el sentido de que cada punto tiene un vecindario compacto (${\displaystyle S_{x}}$es finito). Pero los puntos no tienen vecindarios compactos cerrados (${\displaystyle X}$no es localmente relativamente compacto .

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (reimpresión de Dover Publications de la  edición de 1978), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446