Disfenoides corto

En geometría , el disfenoides truncado es un poliedro convexo con 12 triángulos equiláteros como caras . Es un ejemplo de deltaedro y sólido de Johnson . Se puede construir mediante diferentes métodos. Esta figura también se conoce como dodecaedro siamés , dodecaedro triangular , dodecaedro trigonal o dodecadeltahedro .

El disfenoides truncado puede visualizarse como un cúmulo de átomos que rodea un átomo central, es decir, la geometría molecular dodecaédrica . Sus vértices pueden ubicarse sobre una esfera y también pueden utilizarse como el potencial mínimo posible de Lennard-Jones entre todos los cúmulos de ocho esferas.

El disfenoides truncado se puede construir de diferentes maneras. Como su nombre indica, se construye a partir de un disfenoides tetragonal cortando todas las aristas de sus caras y añadiendo triángulos equiláteros (los de color azul claro en la siguiente imagen) que se retuercen en un cierto ángulo entre sí. Este proceso de construcción se conoce como truncamiento . ^{[ 1 ]}

Proceso de construcción de un disfenoides truncado mediante truncamiento.

El disfenoides truncado también puede construirse a partir de una bipirámide triangular, cortando sus dos aristas a lo largo de los vértices. Estos vértices pueden empujarse uno hacia el otro, lo que resulta en que los nuevos dos vértices se alejen. ^{[ 2 ]} Alternativamente, el disfenoides truncado puede construirse a partir de una bipirámide pentagonal cortando las dos aristas a lo largo de la que conecta la base de la bipirámide y luego insertando dos triángulos equiláteros entre ellas. ^{[ 3 ]} Otra forma de construir el disfenoides truncado comienza a partir del antiprisma cuadrado , reemplazando las dos caras cuadradas con pares de triángulos equiláteros. Otra construcción del disfenoides truncado es como una girobianticúpula digonal . Tiene la misma topología y simetría, pero sin triángulos equiláteros. Tiene 4 vértices en un cuadrado sobre un plano central como dos anticúpulas unidas con simetría rotacional.

Un modelo físico del disfenoides truncado se puede formar doblando una red formada por 12 triángulos equiláteros (un diamante de 12 ), como se muestra. Una red alternativa sugerida por John Montroll tiene menos vértices cóncavos en su borde, lo que la hace más conveniente para la construcción de origami . ^{[ 4 ]} También se puede construir como el antiprisma cuadrado truncado , pero con un digon en su lugar,

A los ocho vértices del disfenoides truncado se les pueden asignar entonces coordenadas cartesianas : $${\displaystyle {\begin{aligned}(\pm t,r,0),&\qquad (0,-r,\pm t),\\(\pm 1,-s,0),&\qquad (0,s,\pm 1).\end{aligned}}}$$ Aquí,${\displaystyle q\approx 0.16902}$es la solución real positiva del polinomio cúbico${\textstyle 2x^{3}+11x^{2}+4x-1}$Las tres variables${\displaystyle r}$,${\displaystyle s}$, y${\displaystyle t}$es la expresión de: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle r={\sqrt {q}}\approx 0.41112,\qquad s={\sqrt {\frac {1-q}{2q}}}\approx 1.56786,\qquad t=2rs={\sqrt {2-2q}}\approx 1.28917.}$$ Debido a que esta construcción implica la solución de una ecuación cúbica, el disfenoides truncado no se puede construir con un compás y una regla , a diferencia de los otros siete deltaedros. ^{[ 2 ]}

Como consecuencia de tales construcciones, el disfenoides truncado tiene 12 triángulos equiláteros. Un deltaedro es un poliedro cuyas caras son todos triángulos equiláteros. Existen ocho deltaedros convexos, uno de los cuales es el disfenoides truncado. ^{[ 6 ]} De forma más general, los poliedros convexos cuyas caras son todos polígonos regulares son los sólidos de Johnson , y todo deltaedro convexo es un sólido de Johnson. El disfenoides truncado se encuentra entre ellos, catalogado como el sólido de Johnson número 84.${\displaystyle J_{84}}$. ^{[ 7 ]} Es un poliedro elemental , lo que significa que no puede producir poliedros convexos de caras regulares nuevamente al cortar sus aristas con un plano. ^{[ 8 ]} Su poliedro dual es el girobifastigio alargado .

Simetría y geodésica

El disfenoides truncado tiene las mismas simetrías que un disfenoides tetragonal , la simetría antiprismática.${\displaystyle D_{2\mathrm {d} }}$de orden 8: tiene un eje de simetría rotacional de 180° que pasa por los puntos medios de sus dos bordes opuestos, dos planos perpendiculares de simetría de reflexión que pasan por este eje y cuatro operaciones de simetría adicionales dadas por una reflexión perpendicular al eje seguida de un cuarto de vuelta y posiblemente otra reflexión paralela al eje. ^{[ 6 ]} .

Salvo simetrías y traslación paralela, el disfenoides truncado tiene cinco tipos de geodésicas cerradas simples (que no se autocruzan) . Estas son trayectorias en la superficie del poliedro que evitan los vértices y localmente parecen la trayectoria más corta: siguen segmentos de línea recta a través de cada cara del poliedro que intersecan, y cuando cruzan una arista del poliedro, forman ángulos complementarios en las dos caras incidentes a la arista. Intuitivamente, se podría estirar una banda elástica alrededor del poliedro a lo largo de esta trayectoria, y se mantendría en su lugar: no hay forma de cambiar localmente la trayectoria y hacerla más corta. Por ejemplo, un tipo de geodésica cruza las dos aristas opuestas del disfenoides truncado en sus puntos medios (donde el eje de simetría sale del politopo) en un ángulo de${\displaystyle \pi /3}$Un segundo tipo de geodésica pasa cerca de la intersección del disfenoides truncado con el plano que biseca perpendicularmente el eje de simetría (el ecuador del poliedro), cruzando los bordes de ocho triángulos en ángulos que se alternan entre${\displaystyle \pi /2}$y${\displaystyle \pi /6}$Al desplazar una geodésica en la superficie del poliedro una pequeña cantidad (lo suficientemente pequeña como para que el desplazamiento no provoque que cruce ningún vértice), se conserva la propiedad de ser una geodésica y se conserva su longitud, por lo que ambos ejemplos tienen versiones desplazadas del mismo tipo que están colocadas de forma menos simétrica. Las longitudes de las cinco geodésicas cerradas simples en un disfenoides truncado con aristas de longitud unitaria son:

${\displaystyle 2{\sqrt {3}}\approx 3.464}$(para la geodésica ecuatorial),${\displaystyle {\sqrt {13}}\approx 3.606}$,${\displaystyle 4}$(para la geodésica que pasa por los puntos medios de los bordes opuestos), ${\displaystyle 2{\sqrt {7}}\approx 5.292}$, y${\displaystyle {\sqrt {19}}\approx 4.359}$.

Excepto por el tetraedro, que tiene infinitos tipos de geodésicas cerradas simples, el disfenoides truncado tiene la mayor cantidad de tipos de geodésicas de cualquier deltaedro. ^{[ 10 ]}

En el estudio de la química computacional y la física molecular , las esferas centradas en los vértices del disfenoides truncado forman un cúmulo que, según experimentos numéricos, tiene el potencial de Lennard-Jones mínimo posible entre todos los cúmulos de ocho esferas. ^{[ 5 ]}

En la geometría de los compuestos químicos , un poliedro puede visualizarse como el grupo de átomos que rodea a un átomo central. La geometría molecular dodecaédrica describe el grupo para el cual es un disfenoides truncado. ^{[ 12 ]}

El nombre de disfenoides truncado proviene de la clasificación de Johnson (1966) del sólido de Johnson , nombrado en honor al matemático estadounidense Norman W. Johnson, quien enumeró los poliedros convexos con caras poligonales regulares. ^{[ 8 ]} Sin embargo, este sólido fue estudiado por primera vez por Rausenberger (1915) . ^{[ 13 ] [ 14 ]} Fue estudiado nuevamente en el artículo de Freudenthal y van d. Waerden (1947) , que describió por primera vez el conjunto de ocho deltaedros convexos y lo denominó dodecaedro siamés . ^{[ 15 ] [ 14 ]}

El nombre de dodecaedro fue dado a la misma forma por Bernal (1964) , en referencia al hecho de que es un deltaedro de 12 caras. Existen otros dodecaedros simpliciales , como la bipirámide hexagonal , pero este es el único que puede realizarse con caras equiláteras. Bernal estaba interesado en las formas de los huecos que quedan en arreglos irregulares y compactos de esferas, por lo que utilizó una definición restrictiva de deltaedro, en la que un deltaedro es un poliedro convexo con caras triangulares que puede formarse con los centros de un conjunto de esferas congruentes, cuyas tangencias representan las aristas del poliedro, y de tal manera que no hay espacio para colocar otra esfera dentro de la jaula creada por este sistema de esferas. Esta definición restrictiva excluye la bipirámide triangular (ya que forma dos huecos tetraédricos en lugar de uno solo), la bipirámide pentagonal (porque las esferas de sus vértices se interpenetran, por lo que no puede aparecer en empaquetamientos de esferas) y el icosaedro regular (porque tiene espacio interior para otra esfera). Bernal escribe que el disfenoides truncado es "una coordinación muy común para el ion calcio en cristalografía ". ^{[ 16 ]} En geometría de coordinación, se le suele conocer como dodecaedro trigonal o simplemente como dodecaedro. ^{[ 2 ]}

• Weisstein, Eric W. "Disfenoide desaire" . MundoMatemático .