Número dodecaédrico

En matemáticas , un número dodecaédrico es un número figurado que representa un dodecaedro . El n -ésimo número dodecaédrico viene dado por la fórmula

${\displaystyle {n(3n-1)(3n-2) \over 2}={3n \elegir 3}}$

Los primeros números de este tipo son: 0 , 1 , 20 , 84 , 220 , 455, 816, 1330, 2024, 2925, 4060, 5456, 7140, 9139, 11480, … (secuencia A006566 en el OEIS ) .

El primer estudio de los números dodecaédricos parece haber sido realizado por René Descartes , alrededor de 1630, en su obra De solidorum elementis . Antes de Descartes, los números figurados habían sido estudiados por los antiguos griegos y por Johann Faulhaber , pero solo para números poligonales , piramidales y cubos . Descartes introdujo el estudio de los números figurados basándose en los sólidos platónicos y algunos poliedros semirregulares ; su obra incluyó los números dodecaédricos. Sin embargo, De solidorum elementis se perdió y no fue redescubierto hasta 1860. Mientras tanto, otros matemáticos habían vuelto a estudiar los números dodecaédricos, entre ellos Friedrich Wilhelm Marpurg en 1774, Georg Simon Klügel en 1808 y Sir Frederick Pollock en 1850. ^{[ 1 ]}

El (3n+1)-ésimo número tetraédrico es también el (n+1)-ésimo número dodecaédrico. Se muestra una representación geométrica de esta igualdad. Al dividir las caras triangulares del tetraedro en trapecios congruentes, se obtiene un grafo dodecaédrico; con la matriz de números figurados correspondiente al (3n+1)-ésimo número tetraédrico, cada arista del grafo dodecaédrico se encuentra sobre (n+1) esferas unitarias.

La función generadora ordinaria de los números dodecaédricos es

${\displaystyle {\frac {x(1+16x+10x^{2})}{(-1+x)^{4}}}}$