Lista de identidades trigonométricas

Cuando la dirección de un vector euclidiano se representa mediante un ángulo${\displaystyle \theta ,}$Este es el ángulo determinado por el vector libre (que parte del origen) y el positivo.${\displaystyle x}$-vector unitario. El mismo concepto también puede aplicarse a líneas en un espacio euclidiano , donde el ángulo es el determinado por un paralelo a la línea dada que pasa por el origen y el vector positivo.${\displaystyle x}$-eje. Si una línea (vector) con dirección${\displaystyle \theta }$se refleja en una línea con dirección${\displaystyle \alpha ,}$entonces el ángulo de dirección${\displaystyle \theta ^{\prime }}$de esta línea reflejada (vector) tiene el valor $${\displaystyle \theta ^{\prime }=2\alpha -\theta .}$$

Los valores de las funciones trigonométricas de estos ángulos${\displaystyle \theta ,\;\theta ^{\prime }}$para ángulos específicos${\displaystyle \alpha }$Satisfacen identidades simples: o son iguales, o tienen signos opuestos, o emplean la función trigonométrica complementaria. Estas también se conocen como fórmulas de reducción . ^{[ 2 ]}

El signo de las funciones trigonométricas depende del cuadrante del ángulo. Si${\displaystyle {-\pi }<\theta \leq \pi }$y sgn es la función signo ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sin \theta )=\operatorname {sgn}(\csc \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ 0<\theta <\pi \\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <0\\0&{\text{if}}\ \ \theta \in \{0,\pi \}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\cos \theta )=\operatorname {sgn}(\sec \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {\pi }{2}}}<\theta <{\tfrac {\pi }{2}}\\-1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {\pi }{2}}\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {\pi }{2}}<\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr \}}\end{cases}}\\[5mu]\operatorname {sgn}(\tan \theta )=\operatorname {sgn}(\cot \theta )&={\begin{cases}+1&{\text{if}}\ \ {-\pi }<\theta <-{\tfrac {\pi }{2}}\ \ {\text{or}}\ \ 0<\theta <{\tfrac {\pi }{2}}\\-1&{\text{if}}\ \ {-{\tfrac {\pi }{2}}}<\theta <0\ \ {\text{or}}\ \ {\tfrac {\pi }{2}}<\theta <\pi \\0&{\text{if}}\ \ \theta \in {\bigl \{}{-{\tfrac {\pi }{2}}},0,{\tfrac {\pi }{2}},\pi {\bigr \}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Las funciones trigonométricas son periódicas con período común.${\displaystyle 2\pi ,}$por lo tanto, para valores de θ fuera del intervalo${\displaystyle ({-\pi },\pi ],}$toman valores repetitivos (ver §  Desplazamientos y periodicidad más arriba). El signo de una sinusoide o cosinusoide se puede usar para definir una onda cuadrada normalizada . Por ejemplo, las funciones${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sin x)}$y${\displaystyle \operatorname {sgn}(\cos x)}$toman valores ±1 y corresponden a ondas cuadradas con un desplazamiento de fase de ⁠ π / 2 ⁠ .

Cuando la serie${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$entonces converge absolutamente

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sin }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggl )}&=\sum _{{\text{impar}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\!\!\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}\\{\cos }{\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}{\biggr )}&=\sum _{{\text{par}}\ k\geq 0}(-1)^{\frac {k}{2}}\,\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}{\biggl (}\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}{\biggr )}.\end{aligned}}}$$

Porque la serie${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$converge absolutamente, es necesariamente el caso que${\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0,}$${\textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0,}$y${\textstyle \lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1.}$ En particular, en estas dos identidades aparece una asimetría que no se observa en el caso de sumas de un número finito de ángulos: en cada producto, solo hay un número finito de factores seno, pero hay un número cofinito de factores coseno. Los términos con un número infinito de factores seno serían necesariamente iguales a cero.

Cuando solo un número finito de los ángulos${\displaystyle \theta _{i}}$Si los términos del lado derecho son distintos de cero, entonces solo un número finito de ellos son distintos de cero porque todos los factores de seno, salvo un número finito, se anulan. Además, en cada término, todos los factores de coseno, salvo un número finito, son iguales a la unidad.

Dejar${\displaystyle e_{k}}$(para${\displaystyle k=0,1,2,3,\ldots }$) sea el polinomio simétrico elemental de grado k en las variables $${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}}$$ para${\displaystyle i=0,1,2,3,\ldots ,}$eso es,

$${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&\ \ \vdots &&\ \ \vdots \end{aligned}}}$$

Entonces

$${\displaystyle \tan {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}.}$$ Esto se puede demostrar utilizando las fórmulas de suma de seno y coseno anteriores: $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {{\sin }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{{\cos }{\bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\bigr )}/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\[10pt]&={\frac {\displaystyle \sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\displaystyle \sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[10pt]\cot {\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$$

El número de términos del lado derecho depende del número de términos del lado izquierdo.

Por ejemplo: $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}$$

y así sucesivamente. El caso de un número finito de términos puede demostrarse por inducción matemática . ^{[ 14 ]} El caso de un número infinito de términos puede demostrarse utilizando algunas desigualdades elementales. ^{[ 15 ]}

Suponer${\textstyle a,b,c,d,p,q\in \mathbb {R} }$y${\textstyle i={\sqrt {-1}}}$y

${\displaystyle {\frac {ai+b}{ci+d}}=pi+q}$

y dejar${\textstyle \varphi }$sea ​​cualquier número para el cual${\textstyle \tan \varphi ={\tfrac {c}{d}}.}$ Supongamos que${\textstyle {\tfrac {a}{c}}\neq {\tfrac {b}{d}}}$de modo que la fracción anterior no puede ser ⁠ 0 / 0 ⁠ . Entonces, para todo${\textstyle \theta \in \mathbb {R} }$^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {a\tan \theta +b}{c\tan \theta +d}}=p\tan(\theta -\varphi )+q.}$

(En caso de que el denominador de esta fracción sea 0, tomamos el valor de la fracción como 0.${\textstyle \infty }$donde el símbolo${\textstyle \infty }$no significa ninguno${\textstyle +\infty }$o${\textstyle -\infty }$, pero es el${\textstyle \infty }$que se aborda yendo en dirección positiva o negativa, completando así la línea${\textstyle \mathbb {R} \cup \{\,\infty \,\}}$topológicamente un círculo.)

A partir de esta identidad se puede demostrar rápidamente que la familia de todas las variables aleatorias con distribución de Cauchy es cerrada bajo transformaciones fraccionarias lineales, un resultado conocido desde 1976. ^{[ 17 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sec }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]{\csc }{\Bigl (}\sum _{i}\theta _{i}{\Bigr )}&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle e_{k}}$es el polinomio simétrico elemental de grado k en las n variables${\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i},}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$y el número de términos en el denominador y el número de factores en el producto en el numerador dependen del número de términos en la suma de la izquierda. ^{[ 18 ]} El caso de solo un número finito de términos puede probarse por inducción matemática sobre el número de tales términos.

Por ejemplo,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}}$$

El teorema de Ptolomeo es importante en la historia de las identidades trigonométricas, ya que fue la primera forma en que se demostraron resultados equivalentes a las fórmulas de suma y diferencia para el seno y el coseno. Afirma que en un cuadrilátero cíclico${\displaystyle ABCD}$Como se muestra en la figura adjunta, la suma de los productos de las longitudes de los lados opuestos es igual al producto de las longitudes de las diagonales. En los casos especiales en que una de las diagonales o lados es un diámetro del círculo, este teorema da lugar directamente a las identidades trigonométricas de suma y diferencia de ángulos. ^{[ 19 ]} La relación se deduce más fácilmente cuando el círculo se construye con un diámetro de longitud uno, como se muestra aquí.

Según el teorema de Tales ,${\displaystyle \angle DAB}$y${\displaystyle \angle DCB}$ambos son ángulos rectos. Los triángulos rectángulos${\displaystyle DAB}$y${\displaystyle DCB}$ambos comparten la hipotenusa${\displaystyle {\overline {BD}}}$de longitud 1. Por lo tanto, el lado${\displaystyle {\overline {AB}}=\sin \alpha }$,${\displaystyle {\overline {AD}}=\cos \alpha }$,${\displaystyle {\overline {BC}}=\sin \beta }$y${\displaystyle {\overline {CD}}=\cos \beta }$.

Según el teorema del ángulo inscrito , el ángulo central subtendido por la cuerda${\displaystyle {\overline {AC}}}$en el centro del círculo está el doble del ángulo${\displaystyle \angle ADC}$, es decir${\displaystyle 2(\alpha +\beta )}$Por lo tanto, el par simétrico de triángulos rojos tiene cada uno el ángulo${\displaystyle \alpha +\beta }$en el centro. Cada uno de estos triángulos tiene una hipotenusa de longitud${\textstyle {\frac {1}{2}}}$, por lo que la longitud de${\displaystyle {\overline {AC}}}$es ${\textstyle 2\times {\frac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )}$, es decir simplemente${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$. La otra diagonal del cuadrilátero es el diámetro de longitud 1, por lo que el producto de las longitudes de las diagonales también es${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )}$.

Cuando estos valores se sustituyen en el enunciado del teorema de Ptolomeo que${\displaystyle |{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {AD}}|\cdot |{\overline {BC}}|}$, esto produce la identidad trigonométrica de suma de ángulos para el seno:${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$La fórmula de diferencia de ángulo para${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )}$puede derivarse de manera similar dejando el lado${\displaystyle {\overline {CD}}}$servir como diámetro en lugar de${\displaystyle {\overline {BD}}}$. ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\cos {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\[3pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\\[6mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {-1+\operatorname {sgn}(\cos \theta ){\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}\\[3pt]\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta =\operatorname {sgn}(\sin \theta ){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}\\\sec {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1+\cos \theta }}}\\\csc {\frac {\theta }{2}}&=\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{1-\cos \theta }}}\\\end{aligned}}}$$^{[ 25 ] [ 26 ]}

También $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\eta \pm \theta }{2}}&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[3pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[3pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\left|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}{\left|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\right|}}\end{aligned}}}$$

Esto se puede demostrar utilizando las identidades de suma y diferencia o las fórmulas de ángulos múltiples.

El hecho de que la fórmula del ángulo triple para el seno y el coseno solo involucre potencias de una sola función permite relacionar el problema geométrico de la construcción con compás y regla de la trisección de ángulos con el problema algebraico de resolver una ecuación cúbica , lo que permite demostrar que la trisección es, en general, imposible utilizando las herramientas dadas.

Existe una fórmula para calcular las identidades trigonométricas para el ángulo de un tercio, pero requiere encontrar los ceros de la ecuación cúbica 4 x³ ⁻ 3 x + d = 0 , donde x es el valor de la función coseno en el ángulo de un tercio y d es el valor conocido de la función coseno en el ángulo completo. Sin embargo, el discriminante de esta ecuación es positivo, por lo que tiene tres raíces reales (de las cuales solo una es la solución para el coseno del ángulo de un tercio). Ninguna de estas soluciones se puede reducir a una expresión algebraica real , ya que utilizan números complejos intermedios bajo las raíces cúbicas .

El producto de dos senos o cosenos de ángulos diferentes se puede convertir en una suma de funciones trigonométricas de la suma y la diferencia de esos ángulos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta \,\cos \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ){\bigr )},\\[5mu]\sin \theta \,\sin \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ){\bigr )},\\[5mu]\sin \theta \,\cos \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ){\bigr )},\\[5mu]\cos \theta \,\sin \varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ){\bigr )}.\end{aligned}}}$$ Como corolario, el producto o cociente de tangentes se puede convertir en un cociente de sumas de cosenos o senos, respectivamente. $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \theta \,\tan \varphi &={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}},\\[5mu]{\frac {\tan \theta }{\tan \varphi }}&={\frac {\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}{\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}}.\end{aligned}}}$$

De manera más general, para un producto de cualquier número de senos o cosenos,$${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[5mu]&{\text{where }}e=(e_{1},\ldots ,e_{n})\in S=\{1,-1\}^{n},\\\prod _{k=1}^{n}\sin \theta _{k}&={\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{2^{n}}}{\begin{cases}\displaystyle \sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is even}},\\\displaystyle \sum _{e\in S}\sin(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\prod _{j=1}^{n}e_{j}\;{\text{if}}\;n\;{\text{is odd}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

La suma de los senos o cosenos de dos ángulos se puede convertir en un producto de los senos o cosenos de la media y la mitad de la diferencia de los ángulos: ^{[ 32 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta +\sin \varphi &=2\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ),\\[5mu]\sin \theta -\sin \varphi &=2\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ),\\[5mu]\cos \theta +\cos \varphi &=2\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ),\\[5mu]\cos \theta -\cos \varphi &=-2\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta +\varphi )\,\sin {\tfrac {1}{2}}(\theta -\varphi ).\end{aligned}}}$$

La suma de la tangente de dos ángulos se puede convertir en un cociente del seno de los ángulos dividido por el producto de los cosenos: ^{[ 32 ]}$${\displaystyle \tan \theta \pm \tan \varphi ={\frac {\sin(\theta \pm \varphi )}{\cos \theta \,\cos \varphi }}.}$$

Charles Hermite demostró la siguiente identidad. ^{[ 33 ]} Supongamos${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$son números complejos , ninguno de los cuales difiere en un múltiplo entero de π . 

$${\displaystyle A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})}$$

(En particular,${\displaystyle A_{1,1},}$siendo un producto vacío , es  1). Entonces

$${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).}$$

El ejemplo no trivial más sencillo es el caso n = 2 :   

$${\displaystyle \cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).}$$

Para enteros coprimos n , m

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)}$$

donde T _n es el polinomio de Chebyshev .

La siguiente relación se cumple para la función seno.

$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.}$$

De forma más general para un entero n > 0 ^{[ 34 ]}

$${\displaystyle \sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}+x\right)=2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}-x\right).}$$

o escrito en términos de la función del acorde${\textstyle \operatorname {crd} x\equiv 2\sin {\tfrac {1}{2}}x}$,

$${\displaystyle \operatorname {crd} (nx)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {crd} \left({\frac {2k\pi }{n}}-x\right).}$$

Esto proviene de la factorización del polinomio.${\textstyle z^{n}-1}$en factores lineales (cf. raíz de la unidad ): Para cualquier complejo z y un entero n > 0 ,

$${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{k=1}^{n}\left(z-\exp {\frac {2ki\pi }{n}}\right).}$$

La combinación lineal, o suma armónica, de ondas sinusoidales y cosenoidales es equivalente a una sola onda sinusoidal con un desplazamiento de fase y amplitud escalada, ^{[ 35 ] [ 36 ]}

$${\displaystyle a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )}$$

dónde${\displaystyle c}$y${\displaystyle \varphi }$se definen de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\\\varphi &=\arctan \left(-{\frac {b}{a}}\right),\end{aligned}}}$$

dado que${\displaystyle a\neq 0.}$

De forma más general, para cambios de fase arbitrarios, tenemos

$${\displaystyle a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )}$$

dónde${\displaystyle c}$y${\displaystyle \varphi }$satisfacer:

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),\\\tan \varphi &={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.\end{aligned}}}$$

El caso general se lee ^{[ 36 ]}

$${\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),}$$ dónde $${\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})}$$ y $${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.}$$