teoría de conjuntos de doble extensión

En matemáticas , la teoría de conjuntos de doble extensión (DEST) es una teoría de conjuntos axiomática propuesta por Andrzej Kisielewicz que consta de dos relaciones de pertenencia separadas en el universo de conjuntos, ^{[ 1 ]} denotadas aquí por${\displaystyle \in }$y${\displaystyle \varepsilon }$y un conjunto de axiomas que relacionan ambos. La intención detrás de la definición de las dos relaciones de pertenencia es evitar las paradojas habituales de la teoría de conjuntos , sin debilitar sustancialmente el axioma de comprensión irrestricta .

Intuitivamente, en DEST, la comprensión se utiliza para definir los elementos de un conjunto bajo una relación de pertenencia utilizando fórmulas que involucran solo la otra relación de pertenencia. Sea${\displaystyle \phi (x)}$Sea una fórmula de primer orden con variable libre.${\displaystyle x}$en el idioma de DEST que no involucra la relación de membresía${\displaystyle \varepsilon }$. Entonces, los axiomas de DEST postulan un conjunto${\displaystyle A=\{x|\phi (x)\}}$de tal manera que${\displaystyle x\varepsilon A\iff \phi (x)}$. Por ejemplo,${\displaystyle x\notin x}$es una fórmula que involucra solo${\displaystyle \in }$y, por lo tanto, DEST postula el conjunto de Russell${\displaystyle R=\{x|x\notin x\}}$, dónde${\displaystyle x\varepsilon R\iff x\notin x}$. Observe que para${\displaystyle x=R}$, obtenemos${\displaystyle R\varepsilon R\iff R\notin R}$Dado que las relaciones de pertenencia son diferentes, evitamos así la paradoja de Russell.

El enfoque en DEST está en conjuntos regulares, que son conjuntos cuyas extensiones bajo las dos relaciones de pertenencia coinciden, es decir, conjuntos${\displaystyle A}$por lo cual sostiene que${\displaystyle \forall xx\in A\iff x\varepsilon A}$La discusión anterior sugiere que el conjunto de Russell${\displaystyle R=\{x|x\notin x\}}$no puede ser regular, ya que de lo contrario conduce a la paradoja de Russell.