Torneo de todos contra todos

En deportes con un gran número de partidos competitivos por temporada, son comunes las liguillas dobles sin postemporada. La mayoría de las ligas nacionales de fútbol del mundo, así como las eliminatorias de la CONMEBOL para la Copa Mundial de la FIFA , se organizan en una liguilla doble pura, en la que cada equipo juega contra todos los demás de su liga una vez en casa y una vez fuera, sin conferencias ni postemporada. El equipo con más puntos al final de la liguilla es declarado campeón. Si más de un equipo tiene la misma cantidad de puntos, los criterios de desempate más comunes son la suma de los resultados de los partidos entre los equipos empatados y la suma de los resultados de todos los partidos del torneo.

Tradicionalmente, las ligueras con pocos equipos, como la Superliga danesa y la Premiership escocesa , utilizaban formatos de todos contra todos triples o cuádruples. Posteriormente, estas ligas adoptaron un formato de todos contra todos triple modificado, en el que los mejores equipos pasan a una fase final para disputar un partido adicional entre sí.

Este formato también es muy común en el rugby union , donde se utiliza para las ligas nacionales y en los torneos continentales de selecciones nacionales.

También existen torneos de todos contra todos de cricket , bridge , ajedrez , damas , go , hockey sobre hielo , curling y Scrabble . El Campeonato Mundial de Ajedrez optó en 2005 y 2007 por un torneo de doble ronda de ocho jugadores, donde cada jugador se enfrenta a todos los demás una vez con blancas y una vez con negras.

Con frecuencia, las fases de grupos dentro de un torneo más amplio se llevan a cabo sobre una base de todos contra todos, entre ellas la clasificación para torneos importantes como la Copa Mundial de la FIFA y los torneos continentales (por ejemplo, la Eurocopa de la UEFA , la Copa Oro de la CONCACAF , la Copa Asiática de la AFC , la Copa América de la CONMEBOL y la Copa de Naciones de la CAF ).

La clasificación en los torneos de grupo suele basarse en el número de partidos ganados y empatados, con diversos criterios de desempate.

Ejemplos de ligas con formato de todos contra todos incluyen la Copa Mundial de la FIFA , el Campeonato Europeo de Fútbol de la UEFA y la Copa de la UEFA (2004-2009) en fútbol, ​​el Super Rugby ( rugby union ) en el hemisferio sur durante sus versiones anteriores como Super 12 y Super 14 (pero no en sus formatos posteriores de 15 y 18 equipos), la Copa Mundial de Cricket junto con la Indian Premier League , un importante torneo de cricket Twenty20, y muchas conferencias universitarias de fútbol americano , como la Conference USA (que actualmente tiene 9 miembros). Las fases de grupos de la Copa Libertadores se disputan con un formato de todos contra todos doble, al igual que la mayoría de las ligas de baloncesto fuera de los Estados Unidos, incluida la temporada regular de la Euroliga (así como su antigua fase Top 16); la United Football League ha utilizado un formato de todos contra todos doble para sus temporadas 2009 y 2010 .

Las Finales ATP y WTA , torneos de tenis que ponen fin a la temporada, también utilizan un formato de liguilla antes de la fase de semifinales.

En un ejemplo más extremo, la Liga KBO de béisbol juega una liguilla de 16 rondas antes de pasar a la postemporada, donde cada uno de los 10 equipos juega contra los demás 16 veces para un total de 144 juegos por equipo, mientras que la LIDOM (Liga Invernal de Béisbol de la República Dominicana) juega una liguilla de 18 rondas como torneo semifinal entre cuatro equipos clasificados.

Se han celebrado varios torneos internacionales importantes de críquet en este formato, incluidos eventos de la ICC , incluido un formato de grupos en el Trofeo de Campeones de la ICC de 2025. ^{[ 9 ]}

En los debates competitivos, a veces se utiliza una forma especializada de todos contra todos, en la que participan cuatro equipos por sala. El ejemplo más notable es el HWS Round Robin . Este tipo de todos contra todos puede considerarse un caso especial del problema del golfista social .

En un torneo de todos contra todos, el campeón es el participante que gana la mayor cantidad de partidas, excepto cuando es posible que haya empates.

En teoría, un torneo de todos contra todos es la forma más justa de determinar al campeón entre un número fijo y conocido de participantes. Cada participante, ya sea jugador o equipo, tiene las mismas posibilidades contra todos los demás oponentes, ya que no existe una clasificación previa que impida un enfrentamiento entre cualquier pareja. El factor suerte se reduce en comparación con un sistema de eliminación directa, puesto que uno o dos malos resultados no tienen por qué arruinar las posibilidades de victoria de un competidor. Los registros finales de los participantes son más precisos, ya que representan los resultados a lo largo de un periodo más extenso contra la misma oposición.

El sistema también es mejor para clasificar a todos los participantes, no solo para determinar al ganador. Esto resulta útil para establecer la clasificación final de todos los competidores, del más fuerte al más débil, a efectos de la clasificación para la siguiente fase o competición, así como para la obtención de premios en metálico.

En los deportes de equipo, los campeones de las ligas mayores que juegan en formato de liguilla suelen ser considerados el "mejor" equipo del país, en lugar de los ganadores de la copa, cuyos torneos generalmente siguen un formato de eliminación directa.

Además, en torneos como las Copas Mundiales de la FIFA o la ICC, una primera ronda que consta de varios minijuegos entre grupos de cuatro equipos evita que un equipo viaje miles de kilómetros solo para ser eliminado tras un mal desempeño en un sistema de eliminación directa. Los tres mejores equipos de cada grupo pasan entonces a la fase de eliminación directa para el resto del torneo.

En el círculo de la muerte, es posible que ningún campeón surja de un torneo de todos contra todos, incluso si no hay empate, pero la mayoría de los deportes tienen sistemas de desempate que resuelven esto.

Los torneos de todos contra todos pueden resultar demasiado largos en comparación con otros tipos de torneos, y los partidos programados para más tarde pueden carecer de relevancia. Además, pueden requerir procedimientos de desempate.

Los torneos con sistema suizo intentan combinar elementos de los formatos de todos contra todos y de eliminación, para proporcionar un campeón digno utilizando menos rondas que un formato de todos contra todos, al tiempo que permiten empates y derrotas.

El método del círculo es un algoritmo sencillo para crear un calendario para un torneo de todos contra todos. A todos los competidores se les asigna un número y luego se emparejan en la primera ronda:

A continuación, se fija uno de los competidores de la primera o última columna de la tabla (el número uno en este ejemplo) y los demás se rotan una posición en el sentido de las agujas del reloj:

Esto se repite hasta que la siguiente iteración conduzca de nuevo a los emparejamientos iniciales:

Con un número par${\displaystyle n}$De los competidores, este algoritmo realiza todas las combinaciones posibles de ellos (equivalentemente, que todos los pares realizados son diferentes entre sí).

Primero, el algoritmo obviamente reconoce cada par de competidores si uno de ellos es igual a${\displaystyle 1}$(el competidor que no se mueve).

A continuación, para pares de no-${\displaystyle 1}$competidores, que su distancia sea el número${\displaystyle k<{\frac {n}{2}}}$En ocasiones, es necesario realizar la rotación para que un competidor llegue a la posición que tenía el otro.

En el ejemplo dado (${\displaystyle n=14}$),${\displaystyle 2}$tiene distancia${\displaystyle 1}$a${\displaystyle 3}$y a${\displaystyle 14}$y tiene distancia${\displaystyle 6}$a${\displaystyle 8}$y a${\displaystyle 9}$.

En una ronda, una posición que no sea la más a la izquierda (sin incluir${\displaystyle 1}$) solo pueden ser tomados por competidores de una distancia fija. En ronda${\displaystyle 1}$del ejemplo, en la segunda posición competidor${\displaystyle 2}$juega contra${\displaystyle 13}$, su distancia es${\displaystyle 2}$En redondo${\displaystyle 2}$Esta posición la ocupan los competidores.${\displaystyle 14}$y${\displaystyle 12}$, también teniendo distancia${\displaystyle 2}$, etc. De manera similar, la siguiente posición (${\displaystyle 3}$contra${\displaystyle 12}$en redondo${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$contra${\displaystyle 11}$en redondo${\displaystyle 2}$, etc.) solo pueden mantener la distancia.${\displaystyle 4}$competidores.

Por cada${\displaystyle k<{\frac {n}{2}}}$, hay exactamente ${\displaystyle n-1}$pares de distancia${\displaystyle k}$. Hay${\displaystyle n-1}$rondas y todos se dan cuenta de una distancia-${\displaystyle k}$par en la misma posición. Claramente, estos pares son diferentes entre sí. La conclusión es que cada distancia-${\displaystyle k}$El par se realiza.

Esto se aplica a todos${\displaystyle k}$, por lo tanto, cada par se realiza.

Si hay un número impar de competidores, se puede añadir un competidor ficticio, cuyo oponente programado para una ronda determinada no juega y tiene un descanso . Por lo tanto, el calendario se puede calcular como si el competidor ficticio fuera un jugador normal, ya sea fijo o rotativo.

En lugar de rotar una posición, cualquier número relativamente primo a${\displaystyle (n-1)}$generará un calendario completo. Las filas superior e inferior pueden indicar local/visitante en deportes, blancas/negras en ajedrez , etc.; para garantizar la equidad, esto debe alternarse entre rondas ya que el competidor 1 siempre está en la primera fila. Si, por ejemplo, los competidores 3 y 8 no pudieran cumplir su encuentro en la tercera ronda, tendría que reprogramarse fuera de las otras rondas, ya que ambos competidores ya se enfrentarían a otros oponentes en esas rondas. Las restricciones de programación más complejas pueden requerir algoritmos más complejos. ^{[ 12 ]} Este calendario se aplica en torneos de ajedrez y damas de partidas rápidas, donde los jugadores se mueven físicamente alrededor de una mesa. En Francia, esto se llama sistema Carousel -Berger (Système Rutch-Berger). ^{[ 13 ]}

El calendario también puede utilizarse para torneos de todos contra todos "asíncronos", donde todos los partidos se juegan en momentos diferentes (por ejemplo, porque solo hay una sede). Los partidos se juegan de izquierda a derecha en cada ronda, y desde la primera hasta la última. Cuando el número de competidores es par, este calendario funciona bien en cuanto a medidas de calidad y equidad, como el tiempo de descanso entre partidos. Por otro lado, cuando el número de competidores es impar, no funciona tan bien y otro calendario resulta superior en cuanto a estas medidas. ^{[ 14 ]}

Alternativamente, las tablas de Berger, ^{[ 15 ]} llamadas así en honor al maestro de ajedrez austriaco Johann Berger , se utilizan ampliamente en la planificación de torneos. ^{[ 16 ]} Berger publicó las tablas de emparejamiento en sus dos Schach-Jahrbücher (Anales de Ajedrez), ^{[ 17 ] [ 18 ]} con la debida referencia a su inventor Richard Schurig. ^{[ 19 ]}

Esto constituye un calendario donde el jugador 14 tiene una posición fija y todos los demás jugadores rotan en sentido contrario a las agujas del reloj.${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$posiciones. Este cronograma se genera fácilmente de forma manual. Para construir la siguiente ronda, el último jugador, el número 8 en la primera ronda, se mueve a la cabecera de la mesa, seguido por el jugador 9 contra el jugador 7, el jugador 10 contra el 6, hasta el jugador 1 contra el jugador 2. Aritméticamente, esto equivale a sumar${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$a la fila anterior, con la excepción del jugador${\displaystyle n}$Cuando el resultado de la suma es mayor que${\displaystyle (n-1)}$, luego resta${\displaystyle (n-1)}$de la suma.

Este calendario también puede representarse como una tabla ( n − 1, n − 1) , que indica una ronda en la que los jugadores se enfrentan. Por ejemplo, el jugador 7 juega contra el jugador 11 en la ronda 4. Si un jugador se enfrenta a sí mismo, esto indica un descanso o un partido contra el jugador n. Todos los partidos de una ronda forman una diagonal en la tabla.

El cronograma anterior también se puede representar mediante un gráfico, como se muestra a continuación:

Tanto el gráfico como el cronograma fueron descritos por Édouard Lucas en ^{[ 20 ]} como un rompecabezas matemático recreativo. Lucas, quien describe el método como simple e ingenioso , atribuye la solución a Felix Walecki, profesor del Lycée Condorcet . Lucas también incluyó una solución alternativa mediante un rompecabezas deslizante .

Para recordar fácilmente este método, se puede utilizar la siguiente regla mnemotécnica. Comenzando desde la primera ronda,

 lugar = 1 ╭────────────────────────────────────────────────────┐ 1—ω >>> 2—13 >>> 3—12 >>> 4—11 >>> 5—10 >>> 6—9 >>> 7—8 

Se construye la siguiente ronda:

ω—8 >>> 9—7 >>> 10—6 >>> 11—5 >>> 12—4 >>> 13—3 >>> 1—2 

y luego,

2—ω >>> 3—1 >>> 4—13 >>> 5—12 >>> 6—11 >>> 7—10 >>> 8—9 ω—9 >>> ... 

Si el número de jugadores es impar, el jugador en la primera posición pasa directamente a la siguiente ronda. Si el número es par, se añade un jugador (ω) como oponente.

Para un número par${\displaystyle n}$o un número impar${\displaystyle n-1}$de competidores, Schurig ^{[ 19 ]} construye una mesa con${\displaystyle n/2}$filas verticales y${\displaystyle n-1}$filas horizontales. Luego lo llena comenzando desde la esquina superior izquierda repitiendo la secuencia de números del 1 al${\displaystyle n-1}$Aquí hay una tabla de ejemplo para 7 u 8 competidores:

Luego, para obtener a los oponentes, se construye una segunda mesa. Cada fila horizontal${\displaystyle x}$está poblado con los mismos números que la fila${\displaystyle x+1}$en la tabla anterior (la última fila está rellena con números de la primera fila de la tabla original), pero en orden inverso (de derecha a izquierda).

Al combinar las tablas anteriores:

Luego se actualiza la primera columna: si el número de competidores es par, el número de jugador${\displaystyle n}$se sustituye alternativamente por la primera y la segunda posición, mientras que si el número de competidores es impar se utiliza un bye en su lugar.

Las tablas de emparejamiento se publicaron como un anexo relativo a la organización de los torneos de maestros. Schurig no proporcionó una demostración ni una justificación para su algoritmo. ^{[ 21 ]}