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Duplicar el espacio

En el plano euclidiano , siete discos de radio r /2 pueden cubrir cualquier disco de radio r , por lo que el plano es un espacio de duplicación con constante de duplicación 7 y ...

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En el plano euclidiano , siete discos de radio r /2 pueden cubrir cualquier disco de radio r , por lo que el plano es un espacio de duplicación con constante de duplicación 7 y dimensión de duplicación log₂ 7 .

En matemáticas , se dice que un espacio métrico X con métrica d es de duplicación si existe alguna constante de duplicación M > 0 tal que para cualquier x ∈ X y r > 0 , es posible cubrir la bola B ( x , r ) = { y | d ( x , y ) < r } con la unión de como máximo M bolas de radio ⁠ r / 2 ⁠ . [ 1 ] El logaritmo en base 2 de M se denomina dimensión de duplicación de X . [ 2 ] Espacios euclidianosRd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}equipados con la métrica euclidiana usual son ejemplos de espacios de duplicación donde la constante de duplicación M depende de la dimensión d . Por ejemplo, en una dimensión, M = 3 ; y en dos dimensiones, M = 7. [ 3 ] En general, el espacio euclidiano Rd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} tiene dimensión de duplicaciónΘ(d){\displaystyle \Theta (d)}. [ 2 ] [ 4 ]

Teorema de incrustación de Assouad

Una cuestión importante en la geometría de espacios métricos es caracterizar aquellos espacios métricos que pueden incrustarse en algún espacio euclidiano mediante una función bi-Lipschitz . Esto significa que, esencialmente, se puede pensar en el espacio métrico como un subconjunto del espacio euclidiano. No todos los espacios métricos pueden incrustarse en el espacio euclidiano. Por otro lado, los espacios métricos de duplicación parecerían tener más posibilidades, ya que la condición de duplicación implica, en cierto modo, que el espacio métrico no es de dimensión infinita. Sin embargo, esto no se cumple en general. El grupo de Heisenberg, con su métrica de Carnot-Carathéodory, es un ejemplo de un espacio métrico de duplicación que no puede incrustarse en ningún espacio euclidiano. [ 5 ]

El teorema de Assouad establece que, para un espacio métrico M -duplicado X , si le asignamos la métrica d ( x , y ) ε para algún 0 < ε < 1 , entonces existe una aplicación L -bi-Lipschitz.F:incógnita→Rd{\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}, donde d y L dependen de M y ε .

Duplicación de medidas

Definición

Se dice que una medida no trivial en un espacio métrico X es doble si la medida de cualquier bola es finita y aproximadamente igual a la medida de su doble, o más precisamente, si existe una constante C  >  0 tal que

0<μ(B(incógnita,2r))≤doμ(B(incógnita,r))<∞{\displaystyle 0<\mu (B(x,2r))\leq C\mu (B(x,r))<\infty \,}

para todo x en X y r  >  0. En este caso, decimos que μ es C-duplicación . De hecho, se puede demostrar que, necesariamente, C ≥{\displaystyle \geq } 2. [ 6 ]

Un espacio métrico que admite una medida de duplicación es necesariamente un espacio métrico de duplicación, donde la constante de duplicación depende de la constante C. Recíprocamente, todo espacio métrico de duplicación completo admite una medida de duplicación. [ 7 ] [ 8 ] 

Ejemplos

Un ejemplo sencillo de medida de duplicación es la medida de Lebesgue en un espacio euclidiano. Sin embargo, puede haber medidas de duplicación en el espacio euclidiano que sean singulares con respecto a la medida de Lebesgue. Un ejemplo en la recta real es el límite débil de la siguiente secuencia de medidas: [ 9 ]

dμnorte=∏i=1norte(1+aporque⁡(3i2πincógnita))dincógnita,|a|<1.{\displaystyle d\mu _{n}=\prod _{i=1}^{n}(1+a\cos(3^{i}2\pi x))\,dx,\;\;\;|a|<1.}

Se puede construir otra medida de duplicación singular μ en el intervalo [0,  1] de la siguiente manera: para cada k  ≥  0, se divide el intervalo unitario [0,1] en 3 k intervalos de longitud 3 − k . Sea Δ la colección de todos estos intervalos en [0,1] obtenidos para cada k (estos son los intervalos triádicos ), y para cada intervalo I , sea m ( I ) su intervalo de "tercio medio". Fijemos 0  < δ < 1 y sea μ la medida tal que μ ([0, 1]) = 1 y para cada intervalo triádico I , μ ( m ( I )) = δμ ( I ). Entonces esto da una medida de duplicación en [0, 1] singular a la medida de Lebesgue. [ 10 ]         

Aplicaciones

La definición de una medida de duplicación puede parecer arbitraria o de interés puramente geométrico. Sin embargo, muchos resultados del análisis armónico clásico y la geometría computacional se extienden al ámbito de los espacios métricos con medidas de duplicación.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Heinonen, Juha (2001). Lecciones sobre análisis en espacios métricos . Universitext. Nueva York: Springer-Verlag. pp.  x+140. ISBN 0-387-95104-0.
  2. 1 2 Gupta, A.; Krauthgamer, R.; Lee, JR (2003). "Geometrías acotadas, fractales e incrustaciones de baja distorsión" . 44.º Simposio Anual IEEE sobre Fundamentos de la Informática, 2003. Actas . págs. 534–543 . doi : 10.1109/SFCS.2003.1238226 . ISBN  0-7695-2040-5. S2CID 796386 . 
  3. ↑ W., Weisstein, Eric. "Problema de recubrimiento de discos" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de marzo de 2018 .{{cite web}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  4. ↑ Zhou, Felix (21 de febrero de 2023). "Duplicando dimensión y ancho de árbol" (PDF) .
  5. ^ Pansu, Pierre (1989). "Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un". Ana. de Matemáticas . Serie 2. 129 (1): 1– 60. doi : 10.2307/1971484 . JSTOR 1971484 . 
  6. ↑ Soria, Javier; Tradacete, Pedro (2019). "La constante de duplicación mínima de un espacio de medida métrico" . Ann. Acad. Sci. Fenn. Math . 44 (2): 1015– 1030. doi : 10.5186/aasfm.2019.4457 .
  7. ↑ Luukainen, Jouni; Saksman, Eero (1998). "Todo espacio métrico de duplicación completo lleva una medida de duplicación" . Proc. Amer. Math. Soc . 126 (2): 531– 534. doi : 10.1090/s0002-9939-98-04201-4 .
  8. ↑ Jouni, Luukkainen (1998). "DIMENSIÓN DE ASSOUAD: METRIZACIÓN ANTIFRACTAL, CONJUNTOS POROSOS Y MEDIDAS HOMOGÉNEAS" . Revista de la Sociedad Matemática Coreana . 35 (1). ISSN 0304-9914 . 
  9. ↑ Zygmund, A. (2002). Series trigonométricas. Vol. I, II . Cambridge Mathematical Library (Tercera ed.). Cambridge University Press. pp. xii, Vol. I: xiv+383 pp., Vol. II: viii+364. ISBN   0-521-89053-5.
  10. ^ Kahane, J.-P. (1969). "Trois notes sur les ensembles parfaits linéaires". Enseñanza Mathémathique . Serie 2. 15 : 185–192 .