ecuación de arrastre

Dado que el aire es un gas y, por lo tanto, un fluido (en el sentido físico), podemos derivar la ecuación de arrastre utilizando la ecuación de Bernoulli y la ecuación fundamental de presión .

${\displaystyle P={\frac {D}{A}}\Rightarrow D=PA}$

A partir de la ecuación de Bernoulli${\displaystyle P={\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho g\Delta h}$

Combina esas dos ecuaciones y obtendrás${\displaystyle D=({\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho g\Delta h)A}$

Luego, introduce el coeficiente de arrastre.${\displaystyle C}$que tiene en cuenta otros parámetros y que también se ha comprobado experimentalmente.

${\displaystyle D=({\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho g\Delta h)AC}$ Y así se obtiene la ecuación de arrastre. Pero puede que notes que difiere de la que muestras arriba porque realmente es así. Esta tiene una parte más:${\displaystyle +\rho g\Delta h}$Esto se debe a que la diferencia de altura ∆h generalmente se ignora, porque se dice que es minúscula en relación con lo que nos da la otra parte de la ecuación.

Entonces podemos obtener una ecuación como esa:

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}C\rho Av^{2}}$

Dónde:

• ${\displaystyle D}$es la magnitud de la fuerza de arrastre aplicada al cuerpo que se mueve con respecto al fluido por el fluido
• ${\displaystyle C}$es el coeficiente de arrastre
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad del fluido
• ${\displaystyle A}$es el área de la sección transversal del cuerpo que se mueve en relación con el fluido
• ${\displaystyle v}$es la magnitud de la velocidad relativa entre el cuerpo y el fluido. Esta es una forma de derivar una ecuación a partir de la cual podemos calcular la fuerza que un fluido aplica a un cuerpo que se mueve con respecto a él.

La ecuación de arrastre se puede derivar con una constante multiplicativa mediante el método de análisis dimensional . Si un fluido en movimiento encuentra un objeto, ejerce una fuerza sobre él. Supongamos que el fluido es un líquido y que las variables involucradas, bajo ciertas condiciones,

• velocidad u ,
• densidad del fluido ρ ,
• viscosidad cinemática ν del fluido,
• tamaño del cuerpo, expresado en términos de su área mojada A , y
• fuerza de arrastre F _d .

Utilizando el algoritmo del teorema π de Buckingham , estas cinco variables se pueden reducir a dos grupos adimensionales:

• coeficiente de arrastre c _d y
• Número de Reynolds Re.

Que esto es así se hace evidente cuando la fuerza de arrastre F _d se expresa como parte de una función de las otras variables del problema:

$${\displaystyle f_{a}(F_{\rm {d}},u,A,\rho ,\nu )=0.}$$

Esta peculiar forma de expresión se utiliza porque no presupone una relación biunívoca. Aquí, f _a es una función (aún desconocida) que toma cinco argumentos. El lado derecho es cero en cualquier sistema de unidades; por lo tanto, debería ser posible expresar la relación descrita por f _a únicamente en términos de grupos adimensionales.

Hay muchas maneras de combinar los cinco argumentos de f _a para formar grupos adimensionales, pero el teorema de Buckingham π establece que habrá dos de esos grupos. Los más apropiados son el número de Reynolds, dado por

$${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}}$$

y el coeficiente de arrastre, dado por

$${\displaystyle c_{\rm {d}}={\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}}.}$$

De este modo, la función de cinco variables puede ser reemplazada por otra función de solo dos variables:

$${\displaystyle f_{b}\left({\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}},{\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)=0.}$$

donde f _b es una función de dos argumentos. La ley original se reduce entonces a una ley que involucra solo estos dos números.

Dado que la única incógnita en la ecuación anterior es la fuerza de arrastre F _d , es posible expresarla como

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}}&=f_{c}\left({\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)\\F_{\rm {d}}&={\tfrac {1}{2}}\rho Au^{2}f_{c}(\mathrm {Re} )\\c_{\rm {d}}&=f_{c}(\mathrm {Re} )\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la fuerza es simplemente ⁠ 1 / 2 ⁠ ρ A u ² veces alguna función (aún desconocida) f _c del número de Reynolds Re – un sistema considerablemente más simple que la función original de cinco argumentos dada anteriormente.

El análisis dimensional convierte así un problema muy complejo (intentar determinar el comportamiento de una función de cinco variables) en uno mucho más sencillo: la determinación de la resistencia aerodinámica en función de una sola variable, el número de Reynolds.

Si el fluido es un gas, ciertas propiedades del gas influyen en la resistencia aerodinámica y deben tenerse en cuenta. Estas propiedades suelen ser la temperatura absoluta del gas y la relación de sus calores específicos. Estas dos propiedades determinan la velocidad del sonido en el gas a su temperatura. El teorema de Buckingham pi conduce entonces a un tercer grupo adimensional: la relación entre la velocidad relativa y la velocidad del sonido, conocida como número de Mach . Por consiguiente, cuando un cuerpo se mueve con respecto a un gas, el coeficiente de resistencia aerodinámica varía con el número de Mach y el número de Reynolds.

El análisis también proporciona información adicional, por así decirlo. Demuestra que, en igualdad de condiciones, la fuerza de arrastre será proporcional a la densidad del fluido. Este tipo de información suele ser sumamente valiosa, sobre todo en las primeras etapas de un proyecto de investigación.

Para determinar empíricamente la dependencia del número de Reynolds, en lugar de experimentar con un cuerpo grande con fluidos de flujo rápido (como aviones de tamaño real en túneles de viento ), se puede experimentar con un modelo pequeño en un flujo de mayor velocidad, ya que ambos sistemas presentan similitud al tener el mismo número de Reynolds. Si no se puede alcanzar el mismo número de Reynolds y número de Mach simplemente utilizando un flujo de mayor velocidad, puede ser ventajoso usar un fluido de mayor densidad o menor viscosidad. ^{[ 5 ]}