Vaporización de gotas

El problema de la vaporización de gotas es un desafío en la dinámica de fluidos . Forma parte de numerosas situaciones de ingeniería que implican el transporte y el cálculo de aerosoles: inyección de combustible , pintura en aerosol , pulverización de aerosoles , liberaciones instantáneas, etc. En la mayoría de estas situaciones de ingeniería, existe un movimiento relativo entre la gota y el gas circundante. El flujo de gas sobre la gota presenta muchas características del flujo de gas sobre una esfera rígida: gradiente de presión , capa límite viscosa y estela . Además de estas características comunes del flujo, cabe mencionar también el fenómeno de circulación interna del líquido impulsado por fuerzas de cizallamiento superficiales y el efecto de soplado de la capa límite .

Uno de los parámetros clave que caracteriza el flujo de gas sobre la gota es el número de Reynolds de la gota , que depende de la velocidad relativa, el diámetro de la gota y las propiedades de la fase gaseosa. Las características del flujo de gas tienen un impacto crítico en los intercambios de masa, momento y energía entre las fases gaseosa y líquida, por lo que deben considerarse adecuadamente en cualquier modelo de gota en vaporización.

Como primer paso, conviene analizar el caso sencillo en el que no existe movimiento relativo entre la gota y el gas circundante. Esto proporcionará información útil sobre la física implicada en el problema de la vaporización de la gota. En segundo lugar, se presentan modelos utilizados en situaciones de ingeniería donde sí existe movimiento relativo entre la gota y el entorno.

En esta sección asumimos que no hay movimiento relativo entre la gota y el gas,${\displaystyle Re_{d}=0}$y que la temperatura dentro de la gota es uniforme (en la siguiente sección se presentan modelos que tienen en cuenta la no uniformidad de la temperatura de la gota). La evolución temporal del radio de la gota,${\displaystyle r_{d}}$y la temperatura de la gota,${\displaystyle T_{d}}$, se puede calcular resolviendo el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle 4\pi r_{d}^{2}\rho _{L}{\frac {\mathrm {d} r_{d}}{\mathrm {d} t}}=-{\dot {m}}_{F}.}$

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r_{d}^{3}\rho _{L}C_{pL}{\frac {\mathrm {d} T_{d}}{\mathrm {d} t}}=Q_{L}.}$

dónde:

• ${\displaystyle \rho _{L}}$es la densidad del líquido (kg.m ⁻³ )
• ${\displaystyle {\dot {m}}_{F}}$es la tasa de vaporización de la gota (kg.s ⁻¹ )
• ${\displaystyle C_{pL}}$es el calor específico del líquido a presión constante (J.kg ⁻¹ .K ⁻¹ )
• ${\displaystyle Q_{L}}$es el flujo de calor que entra en la gota (Js ⁻¹ )

El flujo de calor que entra en la gota se puede expresar como: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle Q_{L}=Q_{g}-{\dot {m}}_{F}L_{vap}}$

dónde:

• ${\displaystyle Q_{g}}$es el flujo de calor del gas a la superficie de la gota (Js ⁻¹ )
• ${\displaystyle L_{vap}}$es el calor latente de evaporación de la especie considerada (J.kg ⁻¹ )

Expresiones analíticas para la tasa de vaporización de gotas,${\displaystyle {\dot {m}}_{F}}$y para el flujo de calor${\displaystyle Q_{g}}$Ahora se derivan. Se considera una gota de un solo componente puro y se supone que la fase gaseosa se comporta como un gas ideal. Existe un campo de simetría esférica para el campo gaseoso que rodea la gota. Expresiones analíticas para${\displaystyle {\dot {m}}_{F}}$y${\displaystyle Q_{g}}$Se encuentran al considerar los procesos de transferencia de calor y masa en la película de gas que rodea la gota. ^{[ 2 ]} La gota se vaporiza y crea un campo de flujo radial en la película de gas. El vapor de la gota se convecta y se difunde lejos de la superficie de la gota. El calor se conduce radialmente en contra de la convección hacia la interfaz de la gota. Este proceso se llama convección de Stefan o flujo de Stefan . ^{[ 3 ]}

Las ecuaciones de conservación de la fase gaseosa para la masa, la fracción de masa de vapor de combustible y la energía se escriben en un sistema de coordenadas esféricas : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {r}}}\left(\rho _{g}r^{2}u\right)=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {r}}}\left(\rho _{g}r^{2}uY_{F}\right)-{\frac {\partial }{\partial {r}}}\left(\rho _{g}{\mathcal {D}}r^{2}{\frac {\partial {Y_{F}}}{\partial {r}}}\right)=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {r}}}\left(\rho _{g}r^{2}uh_{g}\right)-{\frac {\partial }{\partial {r}}}\left(\lambda _{g}r^{2}{\frac {\partial {T_{g}}}{\partial {r}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {r}}}\left(\sum _{i=1}^{N}\rho _{g}{\mathcal {D}}h_{i}r^{2}{\frac {\partial {Y_{i}}}{\partial {r}}}\right)=0}$

dónde:

• ${\displaystyle \rho _{g}}$densidad de la fase gaseosa (kg· ^m⁻³ )
• ${\displaystyle r}$posición radial (m)
• ${\displaystyle u}$Velocidad de Stefan (ms ⁻¹ )
• ${\displaystyle Y_{F}}$Fracción de masa de combustible en la película de gas (-)
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$Difusividad de masa ( ^m² · ^s⁻¹ )
• ${\displaystyle h_{g}}$Entalpía del gas (J/ ^kg )
• ${\displaystyle T_{g}}$Temperatura de la película de gas (K)
• ${\displaystyle \lambda _{g}}$Conductividad térmica del gas (Wm ⁻¹ .K ⁻¹ )
• ${\displaystyle N}$Número de especies dentro de la fase gaseosa, es decir aire + combustible (-)

Se supone que los procesos de transferencia de calor y masa en fase gaseosa son cuasiestacionarios y que las propiedades termofísicas pueden considerarse constantes. La suposición de cuasiestacionariedad de la fase gaseosa se ve limitada en situaciones en las que la película de gas que rodea la gota se encuentra en un estado cercano al crítico o en situaciones en las que el campo de gas está sometido a un campo acústico. Se ha comprobado que la suposición de propiedades termofísicas constantes es satisfactoria siempre que las propiedades se evalúen en ciertas condiciones de referencia ^{[ 4 ].}

${\displaystyle T_{r}=T_{s}+A_{r}\left(T_{\infty }-T_{s}\right)}$

${\displaystyle Y_{r}=Y_{F,s}+A_{r}\left(Y_{F,\infty }-Y_{F,s}\right)}$

dónde:

• ${\displaystyle T_{r}}$es la temperatura de referencia (K)
• ${\displaystyle T_{s}}$es la temperatura en la superficie de la gota (K)
• ${\displaystyle T_{\infty }}$es la temperatura del gas lejos de la superficie de la gota (K)
• ${\displaystyle Y_{r}}$es la fracción de masa de combustible de referencia (-)
• ${\displaystyle Y_{F,s}}$es la fracción de masa de combustible en la superficie de la gota (-)
• ${\displaystyle Y_{F,\infty }}$es la fracción de masa de combustible lejos de la superficie de la gota (-)

La regla del promedio de 1/3 ,${\displaystyle A_{r}={\frac {1}{3}}}$, se recomienda con frecuencia en la literatura ^{[ 4 ] [ 5 ]}

La ecuación de conservación de la masa se simplifica a:

${\displaystyle \rho _{g}r^{2}u=cte=\left(\rho _{g}r^{2}u\right)_{s}={\frac {{\dot {m}}_{F}}{4\pi }}}$

Combinando las ecuaciones de conservación de masa y fracción de masa de vapor de combustible, se obtiene la siguiente ecuación diferencial para la fracción de masa de vapor de combustible.${\displaystyle Y_{F}(r)}$se obtiene:

${\displaystyle 4\pi r^{2}\rho _{g}{\mathcal {D}}{\frac {\mathrm {d} Y_{F}(r)}{\mathrm {d} r}}={\dot {m}}_{F}\left(Y_{F}(r)-1\right)}$

Integrando esta ecuación entre${\displaystyle r}$y la región de la fase gaseosa ambiente${\displaystyle r=\infty }$y aplicando la condición de contorno en${\displaystyle r=r_{d}}$proporciona la expresión para la tasa de vaporización de la gota:

${\displaystyle {\dot {m}}_{F}=4\pi \rho _{g}{\mathcal {D}}r_{d}\ln \left(1+B_{M}\right)}$

y

${\displaystyle B_{M}={\frac {Y_{F,\infty }-Y_{F,s}}{Y_{F,s}-1}}}$

dónde:

• ${\displaystyle B_{M}}$es el número de transferencia de masa de Spalding

Se supone que existe equilibrio de fases en la superficie de la gota y la fracción molar del vapor de combustible en la superficie de la gota se obtiene mediante el uso de la ecuación de Clapeyron .

Una expresión analítica para el flujo de calor${\displaystyle Q_{g}}$Ahora se deriva. Después de algunas manipulaciones, la ecuación de conservación de la energía se escribe:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {r}}}\left({\dot {m}}_{F}h_{F}-\lambda _{g}r^{2}{\frac {\partial {T_{g}}}{\partial {r}}}\right)=0}$

dónde:

• ${\displaystyle h_{F}}$es la entalpía del vapor de combustible (J.kg ⁻¹ )

Aplicando la condición de contorno en la superficie de la gota y utilizando la relación${\displaystyle h=C_{p}\mathrm {d} T}$tenemos:

${\displaystyle 4\pi \lambda _{g}r^{2}{\frac {\mathrm {d} T_{g}}{\mathrm {d} r}}={\dot {m}}_{F}C_{p,F}\left(T_{g}-T_{d}+{\frac {Q_{g}}{{\dot {m}}_{F}C_{p,F}}}\right)}$

dónde:

• ${\displaystyle C_{p,F}}$es el calor específico a presión constante del vapor de combustible (J.Kg ⁻¹ .K ⁻¹ )

Integrando esta ecuación desde${\displaystyle r}$a las condiciones de la fase gaseosa ambiental (${\displaystyle \infty }$) da la variación de la temperatura de la película de gas (${\displaystyle T_{g}}$) en función de la distancia radial:

${\displaystyle \ln \left({\frac {T_{\infty }-T_{d}+{\frac {Q_{g}}{{\dot {m}}_{F}C_{p,F}}}}{T_{g}-T_{d}+{\frac {Q_{g}}{{\dot {m}}_{F}C_{p,F}}}}}\right)={\frac {1}{r}}{\frac {{\dot {m}}_{F}C_{p,F}}{4\pi \lambda _{g}}}}$

La ecuación anterior proporciona una segunda expresión para la tasa de vaporización de la gota:

${\displaystyle {\dot {m}}_{F}=4\pi r_{d}{\frac {\lambda _{g}}{C_{p,F}}}\ln \left(1+B_{T}\right)}$

y

${\displaystyle B_{T}={\frac {{\dot {m}}_{F}C_{p,F}}{Q_{g}}}\left(T_{\infty }-T_{d}\right)}$

dónde:

• ${\displaystyle B_{T}}$es el número de transferencia de calor de Spalding

Finalmente, combinando la nueva expresión para la tasa de vaporización de la gota y la expresión para la variación de la temperatura de la película de gas, se obtiene la siguiente ecuación para${\displaystyle Q_{g}}$:

${\displaystyle Q_{g}=4\pi r_{d}\lambda _{g}{\frac {\ln \left(1+B_{T}\right)}{B_{T}}}\left(T_{\infty }-T_{d}\right)}$

Dos expresiones diferentes para la tasa de vaporización de gotas${\displaystyle {\dot {m}}_{F}}$Se han derivado. Por lo tanto, existe una relación entre el número de transferencia de masa de Spalding y el número de transferencia de calor de Spalding, y se escribe:

${\displaystyle B_{T}=\left(1+B_{M}\right)^{{\frac {1}{Le}}{\frac {C_{p,F}}{C_{p,g}}}}-1}$

dónde:

• ${\displaystyle Le}$es el número de Lewis de la película de gas (-)
• ${\displaystyle C_{p,g}}$es el calor específico de la película de gas a presión constante (J.Kg ⁻¹ .K ⁻¹ )

La tasa de vaporización de la gota se puede expresar como una función del número de Sherwood. El número de Sherwood describe la tasa de transferencia de masa adimensional a la gota y se define como: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle Sh={\frac {-2r_{d}}{Y_{s}-Y_{\infty }}}\left({\frac {\partial {Y_{F}}}{\partial {r}}}\right)_{s}=2{\frac {\ln \left(1+B_{M}\right)}{B_{M}}}}$

Por lo tanto, la expresión para la tasa de vaporización de la gota se puede reescribir como:

${\displaystyle {\dot {m}}_{F}=2\pi r_{d}{\mathcal {D}}\rho _{g}B_{M}Sh}$

De manera similar, la transferencia de calor conductiva del gas a la gota puede expresarse como una función del número de Nusselt. El número de Nusselt describe una tasa de transferencia de calor adimensional a la gota y se define como: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle Nu={\frac {2r_{d}}{T_{\infty }-T_{d}}}\left({\frac {\partial {T_{g}}}{\partial {r}}}\right)_{s}=2{\frac {\ln \left(1+B_{T}\right)}{B_{T}}}}$

y luego:

${\displaystyle Q_{g}=2\pi r_{d}\lambda _{g}Nu\left(T_{\infty }-T_{d}\right)}$

En el límite donde${\displaystyle B_{T}\to 0}$tenemos${\displaystyle Nu\to 2}$lo cual corresponde al resultado clásico de la esfera calentada. ^{[ 3 ]}

El movimiento relativo entre una gota y el gas produce un aumento de las tasas de transferencia de calor y masa en la película de gas que rodea la gota. Una capa límite convectiva y una estela pueden rodear la gota. Además, la fuerza de cizallamiento en la superficie del líquido provoca una circulación interna que aumenta el calentamiento del líquido. Como consecuencia, la tasa de vaporización aumenta con el número de Reynolds de la gota. Existen muchos modelos diferentes para el caso de vaporización convectiva de una sola gota. Los modelos de gotas vaporizantes se pueden clasificar en seis clases diferentes: ^{[ 3 ]}

1. ^{Modelo de} temperatura constante de las gotas ( ley d2 )
2. Modelo de conductividad líquida infinita
3. Modelo de calentamiento transitorio de gotas con simetría esférica
4. Modelo de conductividad efectiva
5. Modelo de vórtice para el calentamiento de gotas
6. Solución de Navier-Stokes

La principal diferencia entre todos estos modelos radica en el tratamiento del calentamiento de la fase líquida, que suele ser el fenómeno que controla la velocidad de vaporización de las gotas. ^{[ 3 ]} Los tres primeros modelos no consideran la circulación interna del líquido. El modelo de conductividad efectiva (4) y el modelo de vórtice para el calentamiento de las gotas (5) sí tienen en cuenta la circulación interna y el calentamiento convectivo interno. La resolución directa de las ecuaciones de Navier-Stokes proporciona, en principio, soluciones exactas tanto para la fase gaseosa como para la líquida.

El modelo (1) es una simplificación del modelo (2), que a su vez es una simplificación del modelo (3). El modelo de calentamiento transitorio de gotas con simetría esférica (3) resuelve la ecuación para la difusión de calor a través de la fase líquida. Un tiempo de calentamiento de la gota τ _h se puede definir como el tiempo requerido para que una onda de difusión térmica penetre desde la superficie de la gota hasta su centro. El tiempo de calentamiento de la gota se compara con la vida útil de la gota, τ _l . Si el tiempo de calentamiento de la gota es corto en comparación con la vida útil de la gota podemos suponer que el campo de temperatura dentro de la gota es uniforme y se obtiene el modelo (2). En el modelo de conductividad líquida infinita (2), la temperatura de la gota es uniforme pero varía con el tiempo. Es posible ir un paso más allá y encontrar las condiciones para las cuales podemos despreciar la variación temporal de la temperatura de la gota. La temperatura del líquido varía en el tiempo hasta que se alcanza la temperatura de bulbo húmedo . Si la temperatura de bulbo húmedo se alcanza en un tiempo del mismo orden de magnitud que el tiempo de calentamiento de la gota, entonces la temperatura del líquido se puede considerar constante con respecto al tiempo; Se obtiene el modelo (1), la ley d ² .

El modelo de conductividad líquida infinita se utiliza ampliamente en cálculos de pulverización industrial: ^{[ 6 ] [ 7 ]} por su equilibrio entre costos computacionales y precisión. Para tener en cuenta los efectos convectivos que mejoraron las tasas de transferencia de calor y masa alrededor de la gota, se aplica una corrección a las expresiones esféricamente simétricas de los números de Sherwood y Nusselt ^{[ 2 ].}

${\displaystyle {\dot {m}}_{F}=2\pi \rho _{g}{\mathcal {D}}r_{d}Sh^{*}\ln \left(1+B_{M}\right)}$

${\displaystyle Q_{g}=2\pi r_{d}\lambda _{g}Nu^{*}{\frac {\ln \left(1+B_{T}\right)}{B_{T}}}\left(T_{\infty }-T_{d}\right)}$

Abramzon y Sirignano ^{[ 2 ]} sugieren la siguiente formulación para los números de Sherwood y Nusselt modificados:

${\displaystyle Sh^{*}=2+{\frac {\left(Sh_{0}-2\right)}{F_{M}}}}$

${\displaystyle Nu^{*}=2+{\frac {\left(Nu_{0}-2\right)}{F_{T}}}}$

dónde${\displaystyle F_{M}}$y${\displaystyle F_{T}}$Hay que tener en cuenta el soplado superficial, que produce un engrosamiento de la capa límite que rodea la gota.

${\displaystyle Nu_{0}}$y${\displaystyle Sh_{0}}$se puede encontrar a partir de la conocida correlación de Frössling o Ranz-Marshall: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle Sh_{0}=2+0.552Re^{\frac {1}{2}}Sc^{\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle Nu_{0}=2+0.552Re^{\frac {1}{2}}Pr^{\frac {1}{3}}}$

dónde

• ${\displaystyle Sc}$es el número de Schmidt ,
• ${\displaystyle Pr}$es el número de Prandtl ,
• ${\displaystyle Re}$es el número de Reynolds .

Las expresiones anteriores muestran que las tasas de transferencia de calor y masa aumentan con el incremento del número de Reynolds.