Modelo de turbulencia del viento de Dryden

El modelo de turbulencia del viento de Dryden , también conocido como ráfagas de Dryden , es un modelo matemático de ráfagas continuas aceptado para su uso por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos en ciertas aplicaciones de diseño y simulación de aeronaves. ^{[ 1 ]} El modelo de Dryden trata los componentes de velocidad lineal y angular de las ráfagas continuas como procesos estocásticos que varían espacialmente y especifica la densidad espectral de potencia de cada componente . El modelo de turbulencia del viento de Dryden se caracteriza por densidades espectrales de potencia racionales , por lo que se pueden diseñar filtros exactos que toman entradas de ruido blanco y generan procesos estocásticos con las densidades espectrales de potencia de las ráfagas de Dryden.

El modelo de Dryden, que recibe su nombre de Hugh Dryden , es uno de los modelos más utilizados para describir ráfagas continuas. Fue publicado por primera vez en 1952. ^{[ 2 ]}

El modelo de Dryden se caracteriza por densidades espectrales de potencia para los tres componentes de velocidad lineal de las ráfagas ( u _g , v _g , w _g ),

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{u_{g}}(\Omega )&=\sigma _{u}^{2}{\frac {2L_{u}}{\pi }}{\frac {1}{1+(L_{u}\Omega )^{2}}}\\\Phi _{v_{g}}(\Omega )&=\sigma _{v}^{2}{\frac {2L_{v}}{\pi }}{\frac {1+12(L_{v}\Omega )^{2}}{\left(1+4(L_{v}\Omega )^{2}\right)^{2}}}\\\Phi _{w_{g}}(\Omega )&=\sigma _{w}^{2}{\frac {2L_{w}}{\pi }}{\frac {1+12(L_{w}\Omega )^{2}}{\left(1+4(L_{w}\Omega )^{2}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

donde σ _i y L _i son la velocidad RMS y la escala de longitud de la turbulencia, respectivamente, para el i- ésimo componente de velocidad, y Ω es una frecuencia espacial . ^{[ 1 ]} Estas densidades espectrales de potencia dan al proceso estocástico variaciones espaciales, pero cualquier variación temporal depende del movimiento del vehículo a través del campo de velocidad de la ráfaga. La velocidad con la que el vehículo se mueve a través del campo de ráfaga V permite la conversión de estas densidades espectrales de potencia a diferentes tipos de frecuencias, ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &={\frac {\omega }{V}}\\\Phi _{i}(\Omega )&=V\Phi _{i}\left({\frac {\omega }{V}}\right)\end{aligned}}}$

donde ω tiene unidades de radianes por unidad de tiempo.

Los componentes de velocidad angular de ráfaga ( p _g , q _g , r _g ) se definen como las variaciones de los componentes de velocidad lineal a lo largo de los diferentes ejes del vehículo,

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{g}&={\frac {\partial w_{g}}{\partial y}}\\q_{g}&={\frac {\partial w_{g}}{\partial x}}\\r_{g}&=-{\frac {\partial v_{g}}{\partial x}}\end{aligned}}}$

aunque en algunas fuentes se pueden usar diferentes convenciones de signos. Las densidades espectrales de potencia para los componentes de velocidad angular son ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{p_{g}}(\omega )&={\frac {\sigma _{w}^{2}}{2VL_{w}}}{\frac {0.8\left({\frac {2\pi L_{w}}{4b}}\right)^{\frac {1}{3}}}{1+\left({\frac {4b\omega }{\pi V}}\right)^{2}}}\\\Phi _{q_{g}}(\omega )&={\frac {\pm \left({\frac {\omega }{V}}\right)^{2}}{1+\left({\frac {4b\omega }{\pi V}}\right)^{2}}}\Phi _{w_{g}}(\omega )\\\Phi _{r_{g}}(\omega )&={\frac {\mp \left({\frac {\omega }{V}}\right)^{2}}{1+\left({\frac {3b\omega }{\pi V}}\right)^{2}}}\Phi _{v_{g}}(\omega )\end{aligned}}}$

Las especificaciones militares establecen criterios basados ​​en derivadas de la estabilidad del vehículo para determinar si los componentes de velocidad angular de la ráfaga son significativos. ^{[ 5 ]}

Las ráfagas generadas por el modelo de Dryden no son procesos de ruido blanco y, por lo tanto, pueden denominarse ruido coloreado . El ruido coloreado puede, en algunas circunstancias, generarse como la salida de un filtro lineal de fase mínima a través de un proceso conocido como factorización espectral. Consideremos un sistema lineal invariante en el tiempo con una entrada de ruido blanco que tiene varianza unitaria , función de transferencia G ( s ) y salida y ( t ). La densidad espectral de potencia de y ( t ) es

${\displaystyle \Phi _ {y}(\omega )=|G(i\omega )|^{2}}$

donde i ² = -1. Para densidades espectrales de potencia racionales, como la del modelo Dryden, se puede encontrar una función de transferencia adecuada cuyo cuadrado de magnitud evaluado a lo largo del eje imaginario es la densidad espectral de potencia. La documentación de MATLAB proporciona una implementación de dicha función de transferencia para ráfagas de Dryden que es consistente con las especificaciones militares, ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{u_{g}}(s)&=\sigma _{u}{\sqrt {\frac {2L_{u}}{\pi V}}}{\frac {1}{1+{\frac {L_{u}}{V}}s}}\\G_{v_{g}}(s)&=\sigma _{v}{\sqrt {\frac {2L_{v}}{\pi V}}}{\frac {1+{\frac {2{\sqrt {3}}L_{v}}{V}}s}{\left(1+{\frac {2L_{v}}{V}}s\right)^{2}}}\\G_{w_{g}}(s)&=\sigma _{w}{\sqrt {\frac {2L_{w}}{\pi V}}}{\frac {1+{\frac {2{\sqrt {3}}L_{w}}{V}}s}{\left(1+{\frac {2L_{w}}{V}}s\right)^{2}}}\\G_{p_{g}}(s)&=\sigma _{w}{\sqrt {\frac {0.8}{V}}}{\frac {\left({\frac {\pi }{4b}}\right)^{\frac {1}{6}}}{(2L_{w})^{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {4b}{\pi V}}s\right)}}\\G_{q_{g}}(s)&={\frac {\pm {\frac {s}{V}}}{1+{\frac {4b}{\pi V}}s}}G_{w_{g}}(s)\\G_{r_{g}}(s)&={\frac {\mp {\frac {s}{V}}}{1+{\frac {3b}{\pi V}}s}}G_{v_{g}}(s)\end{aligned}}}$

Al alimentar estos filtros con ruido blanco independiente, de varianza unitaria y de banda limitada, se obtienen salidas con densidades espectrales de potencia que coinciden con los espectros de las componentes de velocidad del modelo de Dryden. Estas salidas pueden, a su vez, utilizarse como entradas de perturbación del viento para aeronaves u otros sistemas dinámicos. ^{[ 6 ]}

El modelo de Dryden se parametriza mediante una escala de longitud y la intensidad de la turbulencia. La combinación de estos dos parámetros determina la forma de las densidades espectrales de potencia y, por lo tanto, la calidad del ajuste del modelo a los espectros de turbulencia observada. Muchas combinaciones de escala de longitud e intensidad de la turbulencia producen densidades espectrales de potencia realistas en los rangos de frecuencia deseados. ^{[ 3 ]} Las especificaciones del Departamento de Defensa incluyen opciones para ambos parámetros, incluida su dependencia de la altitud. ^{[ 7 ]}

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