Filtro (matemáticas)

En matemáticas , un filtro o filtro de orden es un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado (poset), que describe elementos "grandes" o "eventuales". Los filtros aparecen en la teoría del orden y de retículos , pero también en la topología , de donde tienen su origen. La noción dual a un filtro es un ideal de orden .

Entre los casos especiales de filtros se incluyen los ultrafiltros , que son filtros que no se pueden ampliar, y que describen técnicas no constructivas en lógica matemática .

Henri Cartan introdujo los filtros en conjuntos en 1937. Nicolas Bourbaki , en su libro Topologie Générale , popularizó los filtros como una alternativa a la noción de red de E.H. Moore y Herman L. Smith de 1922 ; los filtros de orden generalizan esta noción desde el caso específico de un conjunto potencia bajo inclusión a conjuntos parcialmente ordenados arbitrarios . No obstante, la teoría de los filtros de conjuntos potencia conserva interés por sí misma, en parte por sus importantes aplicaciones en topología .

Motivación

Consideremos un conjunto parcialmente ordenado (poset) $P.$ Intuitivamente, un filtro $F$ es un subconjunto de $P$ cuyos miembros son elementos lo suficientemente grandes como para satisfacer algún criterio. ^[¹^] Por ejemplo, si $x$ $\in$ $P$ , entonces el conjunto de elementos por encima de $x$ es un filtro, llamado filtro principal en $x$ . (Si $x$ e $y$ son elementos incomparables de $P$ , entonces ni el filtro principal en $x$ ni $en y$ están contenidos en el otro).

De forma similar, un filtro en un conjunto $S$ contiene aquellos subconjuntos que son lo suficientemente grandes como para contener algún elemento dado . Por ejemplo, si $S$ es la recta real y $x$ $\in$ $S$ , entonces la familia de conjuntos que incluye $a x$ en su interior es un filtro, llamado filtro de vecindad en $x$ . En este caso, el elemento es ligeramente mayor que $x$ , pero aún no contiene ningún otro punto específico de la recta.

Las consideraciones anteriores motivan el requisito de cierre ascendente en la definición que aparece a continuación : los objetos "suficientemente grandes" siempre se pueden hacer más grandes.

Para comprender las otras dos condiciones, invirtamos los roles y consideremos $F$ como un "esquema de localización" para encontrar $x$ . En esta interpretación, se busca en un espacio $X$ y se espera que $F$ describa los subconjuntos de $X$ que contienen el objetivo. El objetivo debe estar ubicado en algún lugar; por lo tanto, el conjunto vacío $\emptyset$ nunca puede estar en $F.$ Y si dos subconjuntos contienen el objetivo, entonces se debe "acercar" a su región común.

Un ultrafiltro describe un "esquema de localización perfecto" donde cada componente del esquema proporciona información nueva (ya sea "mira aquí" o "mira en otro lugar"). La compacidad es la propiedad de que "toda búsqueda es fructífera" o, dicho de otro modo, "todo esquema de localización culmina en un resultado de búsqueda".

Un uso común de un filtro es definir propiedades que satisfacen elementos "genéricos" de algún espacio topológico. ^{[ 2 ]} Esta aplicación generaliza el "esquema de localización" para encontrar puntos que podrían ser difíciles de escribir explícitamente.

Definición

Un subconjunto $F$ de un conjunto parcialmente ordenado $($ $P$ $,$ $\leq$ $)$ es un filtro o ideal dual si se cumplen las siguientes condiciones: ^[³^]

Orientación hacia abajo: Todo subconjunto finito de $F$ tiene una cota inferior en $F.$ En otras palabras, $F$ no es vacío y para cada $x, y \in F$ existe algún $z \in F$ tal que $z \leq x$ y $z \leq y$ .
Cierre ascendente: Para todo $x \in F$ y $p \in P$ , la condición $x \leq p$ implica $p \in F.$ Si, además, $F \neq P$ , entonces se dice que $F$ es un filtro propio . Los autores en teoría de conjuntos y lógica matemática a menudo requieren que todos los filtros sean propios; ^{[ 4 ]} este artículo prescindirá de esa convención. Un ultrafiltro es un filtro propio que no está contenido en ningún otro filtro propio excepto en sí mismo.

Bases de filtro

Un subconjunto $S$ de $F$ es una base para F $si$ la clausura hacia arriba de $S$ (es decir, el conjunto cerrado hacia arriba más pequeño que contiene a $S$ ) es igual a $F.$ Dado que todo filtro es cerrado hacia arriba, todo filtro es una base para sí mismo.

Además, si $B \subseteq P$ apunta hacia abajo, entonces $B$ genera un conjunto superior $F$ que es un filtro (para el cual $B$ es una base). Dichos conjuntos se denominan prefiltros , así como la base del filtro mencionada anteriormente , y se dice que $F$ es generado o abarcado por $B.$ Un prefiltro es propio si y solo si genera un filtro propio.

Dado $p \in P$ , el conjunto ${x : p \leq x}$ es el filtro más pequeño que contiene $a p$ , y a veces se escribe ↑ $p .$ Dicho filtro se llama filtro principal ; se dice que $p$ es el elemento principal de $F$ , o genera $F.$

Supongamos que $B$ y $C$ son dos prefiltros en $P$ , y que, para cada $c \in C$ , existe un $b \in B$ tal que $b \leq c$ . Entonces decimos que $B$ es $C$ es más fino que B (olo refina); asimismo, $C$ esmás gruesoque B (olo hace más grueso) $.$ El refinamiento es unpreordenamientoen el conjunto de prefiltros. De hecho, si $C$ también refina $B$ , entonces $B$ y $C$ se consideranequivalentes, ya que generan el mismo filtro. Por lo tanto, el paso de un prefiltro a un filtro es un ejemplo de paso de un preordenamiento a un ordenamiento parcial asociado.

Casos especiales

Históricamente, los filtros se generalizaron a retículos teóricos de orden antes ^de órdenes parciales arbitrarios. En el caso de los retículos, la dirección descendente se puede escribir como cierre bajo satisfacciones finitas : para todo $x, y \in F$ , se tiene $x \land y \in F.$ ^[³ ]

Filtros lineales

Un (ultra)filtro lineal es un (ultra)filtro en la red de subespacios vectoriales de un espacio vectorial dado , ordenados por inclusión. Explícitamente, un filtro lineal en un espacio vectorial $X$ es una familia $B$ de subespacios vectoriales de $X$ tal que si $A$ $,$ $B$ $\in$ $B$ y $C$ es un subespacio vectorial de $X$ que contiene ^a $A$ , entonces $A$ $\cap$ $B$ $\in$ $B$ y $C$ $\in$ $B.$ [ ⁵^]

Un filtro lineal es apropiado si no contiene ${0}$ . ^{[ 5 ]}

Filtros en un conjunto; subbases

Dado un conjunto $S$ , el conjunto potencia $P$ $($ $S$ $)$ está parcialmente ordenado por inclusión de conjuntos ; los filtros en este poset a menudo se denominan simplemente "filtros en $S$ ", en un abuso de la terminología . Para tales posets, la dirección descendente y el cierre ascendente se reducen a: ^[⁴^]

Cierre bajo intersecciones finitas: Si $A, B \in F$ , entonces también lo es $A \cap B \in F$ .
isotónica: ^{[ 6 ]} Si $A \in F$ y $A \subseteq B \subseteq S$ , entonces $B \in F$ .

Un filtro propio ^{[ 7 ]} o no degenerado ^{[ 8 ]} es aquel que no contiene $\emptyset$ , y estas tres condiciones (incluida la no degeneración) son la definición original de filtro de Henri Cartan . ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} Es común, aunque no universal, exigir que los filtros en conjuntos sean propios (cualquiera que sea la postura sobre los filtros de conjuntos parcialmente ordenados); nuevamente, prescindiremos de esta convención.

Los prefiltros en un conjunto son adecuados si y solo si no contienen $\emptyset$ .

Para cada subconjunto $T$ de $P$ $($ $S$ $)$ , existe un filtro mínimo $F$ que contiene $a T.$ Al igual que con los prefiltros, se dice que $T$ genera o abarca $F$ ; una base para $F$ es el conjunto $U$ de todas las intersecciones finitas de $T.$ Se dice que el conjunto $T$ es una subbase de filtro cuando $F$ (y por lo tanto $U$ ) es propio.

Los filtros adecuados en conjuntos tienen la propiedad de intersección finita .

Si $S=\varnothing$ , entonces $S$ solo admite el filtro incorrecto $\{\varnothing \}$ .

Filtros gratuitos

Se dice que un filtro es libre si la intersección de sus elementos es vacía. Un filtro principal propio no es libre.

Dado que la intersección de cualquier número finito de miembros de un filtro también es un miembro, ningún filtro propio en un conjunto finito es libre, y de hecho, el filtro principal es generado por la intersección común de todos sus miembros. Pero un filtro no principal en un conjunto infinito no es necesariamente libre: un filtro es libre si y solo si incluye el filtro de Fréchet (véase § Ejemplos ).

Ejemplos

Consulte la imagen en la parte superior de este artículo para ver un ejemplo sencillo de filtros en el conjunto parcialmente ordenado finito $P$ $({1, 2, 3, 4})$ .

Ordenar parcialmente $ℝ \to ℝ$ , el espacio de funciones de valor real en $ℝ$ , mediante comparación puntual. Entonces el conjunto de funciones "grandes en el infinito", $\left\{f:\lim _{x\to \pm \infty }{f(x)}=\infty \right\}{\text{,}}$ es un filtro en $ℝ \to ℝ$ . Se puede generalizar bastante esta construcción compactificando el dominio y completando el codominio: si $X$ es un conjunto con subconjunto distinguido $S$ e $Y$ es un poset con elemento distinguido $m$ , entonces ${$ $f$ $:$ $f$ $|$ $S$ $\geq$ $m$ $}$ es un filtro en $X$ $\to$ $Y$ .

El conjunto ${{k : k \geq N} : N \in ℕ}$ es un filtro en $P (ℕ)$ . De manera más general, si $D$ es cualquier conjunto dirigido , entonces $\{\{k:k\geq N\}:N\in D\}$ es un filtro en $P (D)$ , llamado filtro de cola. De igual modo, cualquier red ${$ $x$ $α$ $}$ $α$ $\in$ $Α$ genera el filtro de eventualidad ${$ ${$ $x$ $β$ $:$ $α$ $\leq$ $β$ $}$ $:$ $α$ $\in$ $Α$ $}$ . Un filtro de cola es el filtro de eventualidad para $x$ $α$ $=$ $α$ .

El filtro de Fréchet en un conjunto infinito $X$ es $\{A:X\setminus A{\text{ finito}}\}{\text{.}}$ Si $(X, μ)$ es un espacio de medida , entonces la colección ${A : μ (X ∖ A) = 0}$ es un filtro. Si $μ (X) = \infty$ , entonces ${A : μ (X ∖ A) < \infty}$ también es un filtro; el filtro de Fréchet es el caso en que $μ$ es una medida de conteo .

Dado un ordinal $a$ con cofinalidad no numerable , un subconjunto de $a$ se llama club si es cerrado en la topología de orden de $a$ pero tiene límite teórico de red $a$ . Los clubes de $a$ , y sus superconjuntos, forman un filtro: el filtro de club , $♣($ $a$ $)$ .

La construcción anterior se generaliza de la siguiente manera: cualquier club $C$ es también una colección de subconjuntos densos (en la topología ordinal ) de $a$ , y $♣($ $a$ $)$ cubre cada elemento de $C.$ Reemplazando $C$ con una colección arbitraria $C̃$ $de$ conjuntos densos , existe "típicamente" un filtro que cubre cada elemento de $C̃$ , llamado filtro genérico . Para $C̃ numerable$ $,$ el lema $de$ Rasiowa-Sikorski implica que tal filtro debe existir; para $C̃$ no numerable "pequeño $"$ , la existencia de tal filtro puede forzarse mediante el axioma de Martin .

Sea $P$ el conjunto de órdenes parciales de cardinalidad limitada , módulo isomorfismo . Ordene parcialmente $P$ mediante:

A \leq B

si existe una

función f : A \to B

estrictamente creciente .

Entonces, el subconjunto de órdenes parciales no atómicos forma un filtro. De igual modo, si $I$ es el conjunto de módulos inyectivos sobre algún anillo conmutativo dado , de cardinalidad limitada, módulo isomorfismo, entonces un orden parcial en $I$ es:

A \leq B

si existe una aplicación lineal inyectiva

f

:

A

\to

B

.^[¹¹^]

Dado cualquier cardinal infinito $κ$ , los módulos en $I$ que no pueden ser generados por menos de $κ$ elementos forman un filtro.

Toda estructura uniforme en un conjunto $X$ es un filtro en $X$ $\times$ $X$ .

Relación con los ideales

La noción dual de filtro —es decir, el concepto que se obtiene al invertir todos $los \leq$ e intercambiar $\land$ por $\lor—$ es un ideal de orden. Debido a esta dualidad, cualquier cuestión de filtros puede traducirse mecánicamente a una cuestión de ideales y viceversa; en particular, un filtro primo o maximal es un filtro cuyo ideal correspondiente es (respectivamente) primo o maximal.

Un filtro es un ultrafiltro si y solo si el ideal correspondiente es mínimo.

En teoría de modelos

Para cada filtro $F$ en un conjunto $S$ , la función de conjunto definida por $m(A)={\begin{cases}1&{\text{si }}A\in F\\0&{\text{si }}S\smallsetminus A\in F\\{\text{no está definido}}&{\text{en otro caso}}\end{cases}}$ es finitamente aditivo , una " medida ", si ese término se interpreta de forma bastante laxa. Además, las medidas así construidas están definidas en todas partes si $F$ es un ultrafiltro . Por lo tanto, la afirmación $\left\{\,x\in S:\varphi (x)\,\right\}\in F$ puede considerarse algo análogo a la afirmación de que $φ$ se cumple "casi en todas partes". Esa interpretación de pertenencia a un filtro se utiliza (como motivación, no como demostraciones reales ) en la teoría de ultraproductos en la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática .

En topología

En topología y análisis general , los filtros se utilizan para definir la convergencia de manera similar al papel de las sucesiones en un espacio métrico . Unifican el concepto de límite en la amplia variedad de espacios topológicos arbitrarios .

Para comprender la necesidad de filtros, comencemos con el concepto equivalente de red . Una sucesión se indexa generalmente mediante los números naturales $ℕ$ , que constituyen un conjunto totalmente ordenado . Las redes generalizan la noción de sucesión reemplazando $ℕ$ por un conjunto dirigido arbitrario . En ciertas categorías de espacios topológicos, como los espacios numerables de primer orden , las sucesiones caracterizan la mayoría de las propiedades topológicas, pero esto no es cierto en general. Sin embargo, las redes —así como los filtros— siempre caracterizan dichas propiedades topológicas.

Los filtros no involucran ningún conjunto externo al espacio topológico $X$ , mientras que las secuencias y las redes dependen de otros conjuntos dirigidos. Por esta razón, la colección de todos los filtros en $X$ es siempre un conjunto , mientras que la colección de todas las redes con valores $en X$ es una clase propia .

Bases vecinales

Cualquier punto $x$ en el espacio topológico $X$ define un filtro de vecindad o sistema $N$ $x$ : es decir, la familia de todos los conjuntos que contienen $a x$ en su interior . Un conjunto $N$ de vecindades de $x$ es una base de vecindad en $x$ si $N$ genera $N$ $x$ . De forma equivalente, $S$ $\subseteq$ $X$ es una vecindad de $x$ si y solo si existe $N$ $\in$ $N$ tal que $N$ $\subseteq$ $S$ .

Filtros convergentes y puntos de agrupación

Un prefiltro $B$ converge a un punto $x$ , escrito $B$ $\to$ $x$ , si y solo si $B$ genera un filtro $F$ que contiene el filtro de vecindad $N$ $x$ ; explícitamente, para cada vecindad $U$ de $x$ , existe algún $V$ $\in$ $B$ tal que $V$ $\subseteq$ $U.$ Menos explícitamente, $B$ $\to$ $x$ si y solo si $B$ refina $N$ $x$ , y cualquier base de vecindad en $x$ puede reemplazar a $N$ $x$ en esta condición. Claramente, toda base de vecindad en $x$ converge a $x$ .

Un filtro $F$ (que se genera a sí mismo) converge a $x$ si $N$ $x$ $\subseteq$ $F.$ Lo anterior también se puede invertir para caracterizar el filtro de vecindad $N$ $x$ : $N$ $x$ es el filtro más fino, más grueso que cada filtro que converge a $x$ .

Si $B \to x$ , entonces $x$ se denomina límite (punto) de $B.$ Se dice que el prefiltro $B se agrupa en$ $x$ (o tiene $x$ como punto de agrupación ) si y solo si cada elemento de $B$ tiene una intersección no vacía con cada vecindario de $x$ . Todo punto límite es un punto de agrupación, pero lo contrario no es cierto en general. Sin embargo, todo punto de agrupación de un ultrafiltro es un punto límite.

Véase también

Filtración (matemáticas) – Conjunto indexado en matemáticas
Filtración (teoría de la probabilidad) : modelo de información disponible en un punto determinado de un proceso aleatorio.
Filtración (álgebra abstracta)
Filtro genérico
Ideal sobre un conjunto : Familia no vacía de conjuntos que es cerrada bajo uniones y subconjuntos finitos.

Notas

↑ Koutras et al. 2021 .
^ Igarashi, Ayumi; Zwicker, William S. (16 de febrero de 2021). "División justa de gráficos y de tortas enredadas". arXiv : 2102.08560 [ matemáticas.CO ].
1 2 Davey, BA; Priestley, HA (2002) [1990]. Introducción a las redes y el orden (2.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 44. ISBN 9780521784511.
1 2 Dugundji 1966 , págs. 211–213.
^ Bergman y Hrushovski 1998 .
↑ Dolecki y Mynard 2016 , págs. 27–29.
↑ Goldblatt, R. Lecciones sobre los hiperreales: una introducción al análisis no estándar . pág. 32.
↑ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 2–7.
↑ Cartan 1937a .
↑ Cartan 1937b .
↑ Bumby, RT (1965-12-01). "Módulos que son isomorfos a submódulos entre sí" . Archiv der Mathematik . 16 (1): 184– 185. doi : 10.1007/BF01220018 . ISSN 1420-8938 .

Referencias

Nicolas Bourbaki , Topología general ( Topologie Générale ), ISBN 0-387-19374-X(Capítulos 1-4): Proporciona una buena referencia para filtros en topología general (Capítulo I) y para filtros de Cauchy en espacios uniformes (Capítulo II).
Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4OCLC 17499190
Burris, Stanley; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (2012). Un curso de álgebra universal (PDF) . Springer-Verlag. ISBN 978-0-9880552-0-9Archivado del original el 1 de abril de 2022.
Cartan, Henri (1937a). "Teoría de los filtros" . Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences . 205 : 595-598 .
Cartan, Henri (1937b). "Filtros y ultrafiltros" . Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences . 205 : 777-779 .
Dolecki, Szymon ; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de la convergencia en topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4OCLC 945169917
Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7OCLC 395340485
Koutras, Costas D.; Moyzes, Christos; Nomikos, Christos; Tsaprounis, Konstantinos; Zikos, Yorgos (20 de octubre de 2021). "Sobre filtros débiles y ultrafiltros: teoría de conjuntos desde (y para) la representación del conocimiento". Logic Journal of the IGPL . 31 (1): 68– 95. doi : 10.1093/jigpal/jzab030 .
MacIver R., David (1 de julio de 2004). "Filtros en análisis y topología" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 9 de octubre de 2007.(Ofrece una introducción a los filtros en topología y en espacios métricos).
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834
Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7OCLC 115240 .
Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4OCLC 849801114

Lecturas adicionales

Bergman, George M .; Hrushovski, Ehud (1998). "Ultrafiltros lineales". Communications in Algebra . 26 (12): 4079– 4113. CiteSeerX 10.1.1.54.9927 . doi : 10.1080/00927879808826396 .

[FOOTNOTEKoutrasMoyzesNomikosTsaprounis2021-1] Koutras et al. 2021 .

[2] Igarashi, Ayumi; Zwicker, William S. (16 de febrero de 2021). "División justa de gráficos y de tortas enredadas". arXiv : 2102.08560 [ matemáticas.CO ].

[Davey_Priestley_2002-3] 1 2 Davey, BA; Priestley, HA (2002) [1990]. Introducción a las redes y el orden (2.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 44. ISBN 9780521784511.

[FOOTNOTEDugundji1966211–213-4] 1 2 Dugundji 1966 , págs. 211–213.

[FOOTNOTEBergmanHrushovski1998-5] Bergman y Hrushovski 1998 .

[FOOTNOTEDoleckiMynard201627–29-6] Dolecki y Mynard 2016 , págs. 27–29.

[7] Goldblatt, R. Lecciones sobre los hiperreales: una introducción al análisis no estándar . pág. 32.

[FOOTNOTENariciBeckenstein20112–7-8] Narici y Beckenstein 2011 , págs. 2–7.

[FOOTNOTECartan1937a-9] Cartan 1937a .

[FOOTNOTECartan1937b-10] Cartan 1937b .

[11] Bumby, RT (1965-12-01). "Módulos que son isomorfos a submódulos entre sí" . Archiv der Mathematik . 16 (1): 184– 185. doi : 10.1007/BF01220018 . ISSN 1420-8938 .

[

[ 2 ]

[

[ 4 ]

a

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[