Dualidad (teoría del orden)

En el ámbito matemático de la teoría del orden , todo conjunto parcialmente ordenado P da lugar a un conjunto parcialmente ordenado dual (u opuesto ) que se suele denotar por P ^op o P ^d . Este orden dual P ^op se define como el mismo conjunto, pero con el orden inverso , es decir, x ≤ y se cumple en P ^op si y solo si y ≤ x se cumple en P. Es fácil ver que esta construcción, que se puede representar invirtiendo el diagrama de Hasse de P , dará como resultado un conjunto parcialmente ordenado. En un sentido más amplio, dos conjuntos parcialmente ordenados también se denominan duales si son dualmente isomorfos , es decir, si un conjunto parcialmente ordenado es isomorfo en orden al dual del otro.

La importancia de esta sencilla definición radica en que toda definición y teorema de la teoría del orden puede transferirse fácilmente al orden dual. Formalmente, esto se refleja en el Principio de Dualidad para conjuntos ordenados:

Si una afirmación dada es válida para todos los conjuntos parcialmente ordenados, entonces su afirmación dual, obtenida invirtiendo la dirección de todas las relaciones de orden y dualizando todas las definiciones teóricas de orden involucradas, también es válida para todos los conjuntos parcialmente ordenados.

Si una proposición o definición es equivalente a su dual, se dice que es autodual . Cabe destacar que la consideración de los órdenes duales es tan fundamental que a menudo se da de forma implícita al escribir ≥ para el orden dual de ≤ sin dar ninguna definición previa de este nuevo símbolo.

Naturalmente, existen numerosos ejemplos de conceptos duales:

• Elementos mayores y elementos menores
• Elementos máximos y elementos mínimos
• Límites superiores mínimos (suprema, ∨) y límites inferiores máximos (ínfimo, ∧)
• Conjuntos superiores y conjuntos inferiores
• Ideales y filtros
• Operadores de cierre y operadores de núcleo .

Algunos ejemplos de nociones que son autoduales son:

• Siendo una red ( completa )
• Monotonicidad de las funciones
• La distributividad de los retículos , es decir, los retículos para los cuales se cumple ∀ x , y , z : x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ) son exactamente aquellos para los cuales se cumple la afirmación dual ∀ x , y , z : x ∨ ( y ∧ z ) = ( x ∨ y ) ∧ ( x ∨ z ) ^{[ 1 ]}
• Ser un álgebra booleana
• Siendo un isomorfismo de orden .

Dado que los órdenes parciales son antisimétricos , los únicos que son autoduales son las relaciones de equivalencia (pero la noción de orden parcial es autodual).

• Relación inversa
• Lista de temas de álgebra booleana
• Grafo transpuesto
• La dualidad en la teoría de categorías , de la cual la dualidad en la teoría del orden es un caso especial.

• Davey, BA; Priestley, HA (2002), Introducción a las redes y el orden (2.ª  ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78451-1