Relación de equivalencia

En matemáticas , una relación de equivalencia es una relación binaria que es reflexiva , simétrica y transitiva . La relación de equipolencia entre segmentos de línea en geometría es un ejemplo común de una relación de equivalencia. Un ejemplo más simple es la igualdad numérica. Cualquier número${\displaystyle a}$es igual a sí mismo (reflexivo). Si${\displaystyle a=b}$, entonces${\displaystyle b=a}$(simétrico). Si${\displaystyle a=b}$y${\displaystyle b=c}$, entonces${\displaystyle a=c}$(transitivo).

Cada relación de equivalencia proporciona una partición del conjunto subyacente en clases de equivalencia disjuntas . Dos elementos del conjunto dado son equivalentes entre sí si y solo si pertenecen a la misma clase de equivalencia.

En la literatura se utilizan diversas notaciones para denotar que dos elementos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$Los elementos de un conjunto son equivalentes con respecto a una relación de equivalencia.${\displaystyle R;}$Los más comunes son "${\displaystyle a\sim b}$" y "${\displaystyle a\equiv b}$", que se utilizan cuando${\displaystyle R}$es implícito, y variaciones de "${\displaystyle a\sim _{R}b}$", "${\displaystyle a\equiv _{R}b}$", o "${\displaystyle {a\mathop {R} b}}$"para especificar"${\displaystyle R}$explícitamente. La no equivalencia puede escribirse "${\displaystyle a\not \sim b}$" o "${\displaystyle a\not \equiv b}$".

Una relación binaria${\displaystyle \,\sim \,}$en un plató${\displaystyle X}$Se dice que es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. Es decir, para todo${\displaystyle a,b,}$y${\displaystyle c}$en${\displaystyle X:}$

• ${\displaystyle a\sim a}$( reflexividad ).
• ${\displaystyle a\sim b}$si y solo si${\displaystyle b\sim a}$( simetría ).
• Si${\displaystyle a\sim b}$y${\displaystyle b\sim c}$entonces${\displaystyle a\sim c}$( transitividad ).

${\displaystyle X}$junto con la relación${\displaystyle \,\sim \,}$se llama setoide . La clase de equivalencia de${\displaystyle a}$bajo${\displaystyle \,\sim ,}$denotado${\displaystyle [a],}$se define como${\displaystyle [a]=\{x\in X:x\sim a\}.}$^{[ 1 ] [ 2 ]}

• Un orden parcial es una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
• La igualdad es a la vez una relación de equivalencia y un orden parcial. Además, es la única relación en un conjunto que es reflexiva, simétrica y antisimétrica. En expresiones algebraicas , las variables iguales pueden sustituirse entre sí, una posibilidad que no está disponible para las variables relacionadas por equivalencia. Las clases de equivalencia de una relación de equivalencia pueden sustituirse entre sí, pero no los elementos individuales dentro de una clase.
• Un orden parcial estricto es irreflexivo, transitivo y asimétrico .
• Una relación de equivalencia parcial es transitiva y simétrica. Dicha relación es reflexiva si y solo si es total , es decir, si para todo${\displaystyle a,}$existe algo${\displaystyle b{\text{ tal que }}a\sim b.}$^{[ prueba 1 ]} Por lo tanto, una relación de equivalencia puede definirse alternativamente como una relación simétrica, transitiva y total.
• Una relación de equivalencia ternaria es un análogo ternario de la relación de equivalencia usual (binaria).
• Una relación reflexiva y simétrica es una relación de dependencia (si es finita) y una relación de tolerancia si es infinita.
• Un preorden es reflexivo y transitivo.
• Una relación de congruencia es una relación de equivalencia cuyo dominio${\displaystyle X}$También es el conjunto subyacente para una estructura algebraica , y que respeta la estructura adicional. En general, las relaciones de congruencia desempeñan el papel de núcleos de homomorfismos, y se puede formar el cociente de una estructura por una relación de congruencia. En muchos casos importantes, las relaciones de congruencia tienen una representación alternativa como subestructuras de la estructura sobre la que se definen (por ejemplo, las relaciones de congruencia en grupos corresponden a los subgrupos normales ).
• Cualquier relación de equivalencia es la negación de una relación de separación , aunque la afirmación inversa solo se cumple en las matemáticas clásicas (a diferencia de las matemáticas constructivas ), ya que es equivalente a la ley del tercero excluido .
• Toda relación que sea a la vez reflexiva y euclidiana izquierda (o derecha) es también una relación de equivalencia.

Si${\displaystyle \,\sim \,}$es una relación de equivalencia en${\displaystyle X,}$y${\displaystyle P(x)}$es una propiedad de los elementos de${\displaystyle X,}$de tal manera que siempre${\displaystyle x\sim y,}$${\displaystyle P(x)}$es cierto si${\displaystyle P(y)}$Si es cierto, entonces la propiedad${\displaystyle P}$Se dice que está bien definido o que es un invariante de clase bajo la relación${\displaystyle \,\sim .}$

Un caso particular frecuente ocurre cuando${\displaystyle f}$es una función de${\displaystyle X}$a otro conjunto${\displaystyle Y;}$si${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$implica${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)}$entonces${\displaystyle f}$Se dice que es un morfismo para${\displaystyle \,\sim ,}$una clase invariante bajo${\displaystyle \,\sim ,}$o simplemente invariante bajo${\displaystyle \,\sim .}$Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría de caracteres de grupos finitos. El último caso con la función${\displaystyle f}$puede expresarse mediante un triángulo conmutativo. Véase también invariante . Algunos autores utilizan "compatible con${\displaystyle \,\sim }$" o simplemente "respeta${\displaystyle \,\sim }$" en lugar de "invariante bajo${\displaystyle \,\sim }$".

De manera más general, una función puede asignar argumentos equivalentes (bajo una relación de equivalencia).${\displaystyle \,\sim _{A}}$) a valores equivalentes (bajo una relación de equivalencia)${\displaystyle \,\sim _{B}}$). Dicha función se conoce como un morfismo de${\displaystyle \,\sim _{A}}$a${\displaystyle \,\sim _{B}.}$

Dejar${\displaystyle a,b\in X}$, y${\displaystyle \sim }$ser una relación de equivalencia. A continuación se presentan algunas definiciones y terminología clave:

A key result links equivalence relations and partitions:^[6][7][8]

• An equivalence relation ~ on a set X partitions X.
• Conversely, corresponding to any partition of X, there exists an equivalence relation ~ on X.

In both cases, the cells of the partition of X are the equivalence classes of X by ~. Since each element of X belongs to a unique cell of any partition of X, and since each cell of the partition is identical to an equivalence class of X by ~, each element of X belongs to a unique equivalence class of X by ~. Thus there is a natural bijection between the set of all equivalence relations on X and the set of all partitions of X.

If ${\displaystyle \sim }$ and ${\displaystyle \approx }$ are two equivalence relations on the same set ${\displaystyle S}$, and ${\displaystyle a\sim b}$ implies ${\displaystyle a\approx b}$ for all ${\displaystyle a,b\in S,}$ then ${\displaystyle \approx }$Se dice que es una relación más tosca que${\displaystyle \sim }$, y${\displaystyle \sim }$es una relación más fina que${\displaystyle \approx }$. De forma equivalente,

• ${\displaystyle \sim }$es más fino que${\displaystyle \approx }$si cada clase de equivalencia de${\displaystyle \sim }$es un subconjunto de una clase de equivalencia de${\displaystyle \approx }$y por lo tanto cada clase de equivalencia de${\displaystyle \approx }$es una unión de clases de equivalencia de${\displaystyle \sim }$.
• ${\displaystyle \sim }$es más fino que${\displaystyle \approx }$si la partición creada por${\displaystyle \sim }$es un refinamiento de la partición creada por${\displaystyle \approx }$.

La relación de equivalencia de igualdad es la relación de equivalencia más fina en cualquier conjunto, mientras que la relación universal, que relaciona todos los pares de elementos, es la más burda.

La relación "${\displaystyle \sim }$es más fino que${\displaystyle \approx }$"La colección de todas las relaciones de equivalencia en un conjunto fijo es en sí misma una relación de orden parcial, lo que convierte a la colección en un retículo geométrico . ^{[ 9 ]}

• Dado cualquier conjunto${\displaystyle X,}$una relación de equivalencia sobre el conjunto${\displaystyle [X\to X]}$de todas las funciones${\displaystyle X\to X}$se puede obtener de la siguiente manera. Dos funciones se consideran equivalentes cuando sus respectivos conjuntos de puntos fijos tienen la misma cardinalidad , correspondiente a ciclos de longitud uno en una permutación .
• Una relación de equivalencia${\displaystyle \,\sim \,}$en${\displaystyle X}$es el núcleo de equivalencia de su proyección sobreyectiva${\displaystyle \pi :X\to X/\sim .}$^{[ 10 ]} Por el contrario, cualquiersobreyecciónentre conjuntos determina una partición en su dominio, el conjunto depreimágenesdesingletonsen elcodominio. Por lo tanto, una relación de equivalencia sobre${\displaystyle X,}$una partición de${\displaystyle X,}$y una proyección cuyo dominio es${\displaystyle X,}$son tres formas equivalentes de especificar la misma cosa.
• La intersección de cualquier conjunto de relaciones de equivalencia sobre X (relaciones binarias vistas como un subconjunto de${\displaystyle X\times X}$) también es una relación de equivalencia. Esto proporciona una forma conveniente de generar una relación de equivalencia: dada cualquier relación binaria R en X , la relación de equivalencia generada por R es la intersección de todas las relaciones de equivalencia que contienen a R (también conocida como la relación de equivalencia más pequeña que contiene a R ). Concretamente, R genera la relación de equivalencia

${\displaystyle a\sim b}$si existe un número natural${\displaystyle n}$y elementos${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}\in X}$de tal manera que${\displaystyle a=x_{0}}$,${\displaystyle b=x_{n}}$, y${\displaystyle x_{i-1}\mathrel {R} x_{i}}$o${\displaystyle x_{i}\mathrel {R} x_{i-1}}$, para${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

La relación de equivalencia generada de esta manera puede ser trivial. Por ejemplo, la relación de equivalencia generada por cualquier orden total en X tiene exactamente una clase de equivalencia: X mismo.

• Las relaciones de equivalencia pueden construir nuevos espacios "uniendo cosas". Sea X el cuadrado cartesiano unitario.${\displaystyle [0,1]\times [0,1],}$y sea ~ la relación de equivalencia en X definida por${\displaystyle (a,0)\sim (a,1)}$a pesar de${\displaystyle a\in [0,1]}$y${\displaystyle (0,b)\sim (1,b)}$a pesar de${\displaystyle b\in [0,1],}$Entonces el espacio cociente${\displaystyle X/\sim }$Se puede identificar de forma natural ( homeomorfismo ) con un toroide : tome un trozo de papel cuadrado, doble y pegue el borde superior e inferior para formar un cilindro, luego doble el cilindro resultante de manera que pegue sus dos extremos abiertos, lo que da como resultado un toroide.

Gran parte de las matemáticas se fundamenta en el estudio de las equivalencias y las relaciones de orden . La teoría de retículos captura la estructura matemática de las relaciones de orden. Si bien las relaciones de equivalencia son tan comunes en matemáticas como las relaciones de orden, la estructura algebraica de las equivalencias no es tan conocida como la de los órdenes. Esta última estructura se basa principalmente en la teoría de grupos y, en menor medida, en la teoría de retículos, categorías y grupoides .

Las relaciones de equivalencia son una fuente fácil de ejemplos o contraejemplos. Por ejemplo, una relación de equivalencia con exactamente dos clases de equivalencia infinitas es un ejemplo sencillo de una teoría que es ω- categórica , pero no categórica para ningún número cardinal mayor .

Una implicación de la teoría de modelos es que las propiedades que definen una relación pueden demostrarse independientes entre sí (y, por lo tanto, partes necesarias de la definición) si y solo si, para cada propiedad, se pueden encontrar ejemplos de relaciones que no satisfacen dicha propiedad pero sí todas las demás. Por consiguiente, las tres propiedades que definen las relaciones de equivalencia pueden demostrarse mutuamente independientes mediante los siguientes tres ejemplos:

• Reflexivo y transitivo : La relación ≤ en N. O cualquier preorden ;
• Simétrica y transitiva : La relación R en N , definida como aRb ↔ ab ≠ 0. O cualquier relación de equivalencia parcial ;
• Reflexiva y simétrica : La relación R en Z , definida como aRb ↔ " a − b es divisible por al menos uno de 2 o 3." O cualquier relación de dependencia .

Entre las propiedades definibles en lógica de primer orden que una relación de equivalencia puede o no poseer se incluyen:

• El número de clases de equivalencia es finito o infinito;
• El número de clases de equivalencia es igual al número natural (finito) n ;
• Todas las clases de equivalencia tienen cardinalidad infinita ;
• El número de elementos en cada clase de equivalencia es el número natural n .

• Relación de equivalencia de Borel
• Grafo de clúster : grafo formado por la unión disjunta de grafos completos. 
• Clase de conjugación – En teoría de grupos, clase de equivalencia bajo la relación de conjugación. 
• Equivalencia (geometría) – Propiedad de los segmentos que tienen la misma longitud y la misma dirección. 
• Relación de equivalencia hiperfinita
• Cociente mediante una relación de equivalencia : generalización de las clases de equivalencia a la teoría de esquemas. 
• Conjugación topológica : concepto en topología 
• Hasta – Declaración matemática de unicidad, excepto para una estructura equivalente 

• Brown, Ronald, 2006. Topología y grupoides. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.
• Castellani, E., 2003, "Simetría y equivalencia" en Brading, Katherine y E. Castellani, eds., Simetrías en física: reflexiones filosóficas . Cambridge Univ. Press: 422–433.
• Robert Dilworth y Peter Crawley, 1973. Teoría algebraica de retículos . Prentice Hall. El capítulo 12 analiza cómo surgen las relaciones de equivalencia en la teoría de retículos .
• Higgins, PJ, 1971. Categorías y grupoides. Van Nostrand. Disponible para descarga desde 2005 como reimpresión de TAC.
• John Randolph Lucas , 1973. Tratado sobre el tiempo y el espacio . Londres: Methuen. Sección 31.
• Rosen, Joseph (2008) Reglas de simetría: Cómo la ciencia y la naturaleza se basan en la simetría . Springer-Verlag. Principalmente capítulos. 9,10.
• Raymond Wilder (1965) Introducción a los fundamentos de las matemáticas , 2.ª edición, capítulo 2-8: axiomas que definen la equivalencia, págs. 48-50 , John Wiley & Sons .

• "Relación de equivalencia" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Bogomolny, A. , " Relación de equivalencia " cut-the-knot . Consultado el 1 de septiembre de 2009.
• Relación de equivalencia en PlanetMath
• Secuencia OEIS A231428 (Matrices binarias que representan relaciones de equivalencia)