Espacio doble

Dado un espacio vectorial${\displaystyle V}$y una base${\displaystyle E}$En ese espacio, se puede definir un conjunto linealmente independiente en${\displaystyle V^{*}}$llamado el conjunto dual . Cada vector en${\displaystyle E}$corresponde a un vector único en el conjunto dual. Esta correspondencia produce una inyección${\displaystyle V\to V^{*}}$.

Si${\displaystyle V}$es de dimensión finita, el conjunto dual es una base, llamada base dual , y la inyección${\displaystyle V\to V^{*}}$es un isomorfismo .

Si${\displaystyle V}$es de dimensión finita, entonces${\displaystyle V}$es isomorfo a${\displaystyle V^{*}}$. Pero en general no existe un isomorfismo natural entre estos dos espacios. ^{[ 10 ]} Cualquier forma bilineal${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$en${\displaystyle V}$proporciona un mapeo de${\displaystyle V}$en su espacio dual a través de

$${\displaystyle v\mapsto \langle v,\cdot \rangle }$$

donde el lado derecho se define como el funcional en${\displaystyle V}$tomando cada${\displaystyle w\in V}$a${\displaystyle \langle v,w\rangle }$En otras palabras, la forma bilineal determina una función lineal.

$${\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }:V\to V^{*}}$$

definido por

$${\displaystyle \left[\Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }(v),w\right]=\langle v,w\rangle .}$$

Si la forma bilineal no es degenerada , entonces esto es un isomorfismo sobre un subespacio de${\displaystyle V^{*}}$. Si${\displaystyle V}$es de dimensión finita, entonces esto es un isomorfismo sobre todo${\displaystyle V^{*}}$. Por el contrario, cualquier isomorfismo${\displaystyle \Phi }$de${\displaystyle V}$a un subespacio de${\displaystyle V^{*}}$(resp., todo de${\displaystyle V^{*}}$si${\displaystyle V}$(de dimensión finita) define una forma bilineal no degenerada única${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\Phi }}$en${\displaystyle V}$por

$${\displaystyle \langle v,w\rangle _{\Phi }=(\Phi (v))(w)=[\Phi (v),w].\,}$$

Por lo tanto, existe una correspondencia biunívoca entre los isomorfismos de${\displaystyle V}$a un subespacio de (resp., todo de)${\displaystyle V^{*}}$y formas bilineales no degeneradas en${\displaystyle V}$.

Si el espacio vectorial${\displaystyle V}$Si se trata de un campo complejo , entonces a veces es más natural considerar formas sesquilineales en lugar de formas bilineales. En ese caso, una forma sesquilineal dada${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$determina un isomorfismo de${\displaystyle V}$con el conjugado complejo del espacio dual

$${\displaystyle \Phi _{\langle \cdot ,\cdot \rangle }:V\to {\overline {V^{*}}}.}$$ El conjugado del espacio dual${\displaystyle {\overline {V^{*}}}}$puede identificarse con el conjunto de todos los funcionales aditivos de valor complejo.${\displaystyle f:V\to \mathbb {C} }$de tal manera que $${\displaystyle f(\alpha v)={\overline {\alpha }}f(v).}$$

Existe un homomorfismo natural${\displaystyle \Psi }$de${\displaystyle V}$en el doble doble${\displaystyle V^{**}=\hom(V^{*},F)}$, definido por${\displaystyle (\Psi (v))(\varphi )=\varphi (v)}$a pesar de${\displaystyle v\in V,\varphi \in V^{*}}$. En otras palabras, si${\displaystyle \mathrm {ev} _{v}:V^{*}\to F}$es el mapa de evaluación definido por${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi (v)}$, entonces${\displaystyle \Psi :V\to V^{**}}$se define como el mapa${\displaystyle v\mapsto \mathrm {ev} _{v}}$Este mapa${\displaystyle \Psi }$siempre es inyectivo ; ^{[ nb 3 ]} y siempre es un isomorfismo si${\displaystyle V}$es de dimensión finita. ^{[ 11 ]} De hecho, el isomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita con su doble dual es un ejemplo arquetípico de un isomorfismo natural . Los espacios de Hilbert de dimensión infinita no son isomorfos a sus dobles duales algebraicos, sino a sus dobles duales continuos.

Si${\displaystyle f:V\to W}$es una aplicación lineal , entonces la transpuesta (o dual )${\displaystyle f^{*}:W^{*}\to V^{*}}$se define por $${\displaystyle f^{*}(\varphi )=\varphi \circ f\,}$$ por cada${\displaystyle \varphi \in W^{*}}$. El resultado funcional${\displaystyle f^{*}(\varphi )}$en${\displaystyle V^{*}}$se llama retroceso de${\displaystyle \varphi }$a lo largo de${\displaystyle f}$.

La siguiente identidad se cumple para todos${\displaystyle \varphi \in W^{*}}$y${\displaystyle v\in V}$: $${\displaystyle [f^{*}(\varphi ),\,v]=[\varphi ,\,f(v)],}$$ donde el corchete${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$a la izquierda está el emparejamiento natural de${\displaystyle V}$con su espacio dual, y que a la derecha es el emparejamiento natural de${\displaystyle W}$con su dual. Esta identidad caracteriza la transpuesta, ^{[ 12 ]} y es formalmente similar a la definición del adjunto .

La tarea${\displaystyle f\mapsto f^{*}}$produce una aplicación lineal inyectiva entre el espacio de operadores lineales de${\displaystyle V}$a${\displaystyle W}$y el espacio de operadores lineales desde${\displaystyle W^{*}}$a${\displaystyle V^{*}}$; este homomorfismo es un isomorfismo si y solo si${\displaystyle W}$es de dimensión finita. Si${\displaystyle V=W}$entonces el espacio de aplicaciones lineales es en realidad un álgebra bajo la composición de aplicaciones , y la asignación es entonces un antihomomorfismo de álgebras, lo que significa que${\displaystyle {(fg)}^{*}=g^{*}f^{*}}$En el lenguaje de la teoría de categorías , tomar el dual de los espacios vectoriales y la transpuesta de las aplicaciones lineales es, por lo tanto, un functor contravariante de la categoría de espacios vectoriales sobre${\displaystyle F}$a sí mismo. Es posible identificar ${\displaystyle f^{**}}$con${\displaystyle f}$utilizando la inyección natural en el doble dual.

Si el mapa lineal${\displaystyle f}$está representada por la matriz${\displaystyle A}$con respecto a dos bases de${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$, entonces${\displaystyle f^{*}}$está representada por la matriz transpuesta${\displaystyle A^{T}}$con respecto a las bases duales de${\displaystyle W^{*}}$y${\displaystyle V^{*}}$, de ahí el nombre. Alternativamente, como${\displaystyle f}$está representado por${\displaystyle A}$actuando por la izquierda sobre vectores columna,${\displaystyle f^{*}}$está representada por la misma matriz que actúa a la derecha sobre los vectores fila. Estos puntos de vista están relacionados por el producto interno canónico en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, que identifica el espacio de vectores columna con el espacio dual de vectores fila.

Dejar${\displaystyle S}$ser un subconjunto de${\displaystyle V}$. El aniquilador de${\displaystyle S}$en${\displaystyle V^{*}}$, indicado aquí${\displaystyle S^{0}}$es la colección de funcionales lineales${\displaystyle f\in V^{*}}$de tal manera que${\displaystyle [f,s]=0}$a pesar de${\displaystyle s\in S}$. Eso es,${\displaystyle S^{0}}$consta de todos los funcionales lineales${\displaystyle f:V\to F}$de tal manera que la restricción a${\displaystyle S}$desaparece:${\displaystyle f|_{S}=0}$. Dentro de espacios vectoriales de dimensión finita, el aniquilador es dual a (isomorfo a) el complemento ortogonal .

El aniquilador de un subconjunto es en sí mismo un espacio vectorial. El aniquilador del vector cero es todo el espacio dual:${\displaystyle \{0\}^{0}=V^{*}}$y el aniquilador de todo el espacio es simplemente el covector cero:${\displaystyle V^{0}=\{0\}\subseteq V^{*}}$. Además, la asignación de un aniquilador a un subconjunto de${\displaystyle V}$invierte las inclusiones, de modo que si $${\displaystyle \{0\}\subseteq S\subseteq T\subseteq V,}$$ entonces $${\displaystyle \{0\}\subseteq T^{0}\subseteq S^{0}\subseteq V^{*}.}$$ Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son dos subconjuntos de${\displaystyle V}$entonces $${\displaystyle A^{0}+B^{0}\subseteq (A\cap B)^{0}.}$$ Si${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$es cualquier familia de subconjuntos de${\displaystyle V}$indexado por algún conjunto de índices${\displaystyle I}$, entonces $${\displaystyle {\bigg (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\bigg )}^{0}=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{0}.}$$ En particular, si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son subespacios de${\displaystyle V}$entonces $${\displaystyle (A+B)^{0}=A^{0}\cap B^{0}}$$ y ^{[ nb 3 ]}$${\displaystyle (A\cap B)^{0}=A^{0}+B^{0}.}$$

Si${\displaystyle V}$es de dimensión finita y${\displaystyle W}$es un subespacio vectorial , entonces $${\displaystyle W^{00}=W}$$ después de identificar${\displaystyle W}$con su imagen en el segundo espacio dual bajo el isomorfismo de doble dualidad${\displaystyle V\approx V^{**}}$En particular, la formación del aniquilador es una conexión de Galois en el retículo de subconjuntos de un espacio vectorial de dimensión finita.

Si${\displaystyle W}$es un subespacio de${\displaystyle V}$entonces el espacio cociente${\displaystyle V/W}$es un espacio vectorial por derecho propio, y por lo tanto tiene un dual. Por el primer teorema de isomorfismo , un funcional${\displaystyle f:V\to F}$factores a través de${\displaystyle V/W}$si y solo si${\displaystyle W}$está en el núcleo de${\displaystyle f}$Existe, por lo tanto, un isomorfismo. $${\displaystyle (V/W)^{*}\cong W^{0}.}$$ Como consecuencia particular, si${\displaystyle V}$es una suma directa de dos subespacios${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, entonces${\displaystyle V^{*}}$es una suma directa de${\displaystyle A^{0}}$y${\displaystyle B^{0}}$.

El espacio dual es análogo a un espacio de dimensión "negativa". De forma más sencilla, dado que un vector${\displaystyle v\in V}$puede emparejarse con un covector${\displaystyle \varphi \in V^{*}}$por emparejamiento natural ${\displaystyle \langle x,\varphi \rangle$ :=\varphi (x)\in F} para obtener un escalar, un covector puede "cancelar" la dimensión de un vector, de forma similar a reducir una fracción . Por lo tanto, mientras que la suma directa${\displaystyle V\oplus V^{*}}$es un${\displaystyle 2n}$espacio -dimensional (si${\displaystyle V}$es${\displaystyle n}$-dimensional),${\displaystyle V^{*}}$se comporta como un${\displaystyle -n}$espacio -dimensional, en el sentido de que sus dimensiones pueden cancelarse contra las dimensiones de${\displaystyle V}$Esto se formaliza mediante la contracción tensorial .

Esto surge en física a través del análisis dimensional , donde el espacio dual tiene unidades inversas. ^{[ 13 ]} Bajo el emparejamiento natural, estas unidades se cancelan y el valor escalar resultante es adimensional , como se esperaba. Por ejemplo, en el análisis de Fourier (continuo) , o más ampliamente en el análisis tiempo-frecuencia : ^{[ nb 4 ]} dado un espacio vectorial unidimensional con una unidad de tiempo${\displaystyle t}$, el espacio dual tiene unidades de frecuencia : ocurrencias por unidad de tiempo (unidades de${\displaystyle 1/t}$). Por ejemplo, si el tiempo se mide en segundos , la unidad dual correspondiente es el segundo inverso : en el transcurso de 3 segundos, un evento que ocurre 2 veces por segundo ocurre un total de 6 veces, lo que corresponde a${\displaystyle 3s\cdot 2s^{-1}=6}$. De manera similar, si el espacio primal mide la longitud, el espacio dual mide la longitud inversa .

Si${\displaystyle X}$es un espacio vectorial topológico de Hausdorff (TVS), entonces el espacio dual continuo de${\displaystyle X}$es idéntico al espacio dual continuo de la finalización de${\displaystyle X}$. ^{[ 1 ]}

Existe una construcción estándar para introducir una topología en el dual continuo.${\displaystyle V'}$de un espacio vectorial topológico${\displaystyle V}$. Arreglar una colección${\displaystyle {\mathcal {A}}}$de subconjuntos acotados de${\displaystyle V}$Esto proporciona la topología en${\displaystyle V}$de convergencia uniforme en conjuntos de${\displaystyle {\mathcal {A}},}$o lo que es lo mismo, la topología generada por seminormas de la forma $${\displaystyle \|\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi (x)|,}$$ dónde${\displaystyle \varphi }$es un funcional lineal continuo en${\displaystyle V}$, y${\displaystyle A}$corre por la clase${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

Esto significa que una red de funcionales${\displaystyle \varphi _{i}}$tiende a ser funcional${\displaystyle \varphi }$en${\displaystyle V'}$si y solo si, para todos${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$, $${\displaystyle \|\varphi _{i}-\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi _{i}(x)-\varphi (x)|\to 0}$$ como${\displaystyle i\to \infty }$. Normalmente, pero no necesariamente, la clase${\displaystyle {\mathcal {A}}}$cumple las siguientes condiciones:

• Cada punto${\displaystyle x}$de${\displaystyle V}$pertenece a algún conjunto${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$.
• Cualquier par de conjuntos${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$y${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$están contenidos en algún conjunto${\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es cerrado bajo la operación de multiplicación por escalares.

Si se cumplen estos requisitos, entonces la topología correspondiente en${\displaystyle V'}$es Hausdorff y los conjuntos $${\displaystyle U_{A}=\{\varphi \in V':\|\varphi \|_{A}<1\}}$$ a pesar de${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$formar su base local.

Aquí están los tres casos especiales más importantes.

• La fuerte topología en${\displaystyle V'}$es la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados en${\displaystyle V}$(así que aquí)${\displaystyle {\mathcal {A}}}$puede ser elegido como la clase de todos los subconjuntos acotados en${\displaystyle V}$).

Si${\displaystyle V}$es un espacio vectorial normado (por ejemplo, un espacio de Banach o un espacio de Hilbert ) entonces la topología fuerte en${\displaystyle V'}$es normado (de hecho, un espacio de Banach si el campo de escalares es completo), con la norma $${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|\leq 1}|\varphi (x)|.}$$

• La topología del estereotipo en${\displaystyle V'}$es la topología de convergencia uniforme en conjuntos totalmente acotados en${\displaystyle V}$(así que aquí)${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ puede elegirse como la clase de todos los subconjuntos totalmente acotados en${\displaystyle V}$).
• La topología débil en${\displaystyle V'}$es la topología de convergencia uniforme en subconjuntos finitos en${\displaystyle V}$(así que aquí)${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ puede ser elegido como la clase de todos los subconjuntos finitos en${\displaystyle V}$).

Cada una de estas tres opciones de topología en${\displaystyle V'}$conduce a una variante de la propiedad de reflexividad para espacios vectoriales topológicos:

• Si${\displaystyle V'}$está dotado de la topología fuerte , entonces la noción correspondiente de reflexividad es la estándar: los espacios reflexivos en este sentido se llaman simplemente reflexivos . ^{[ 18 ]}
• Si${\displaystyle V'}$está dotado de la topología dual estereotípica, entonces la reflexividad correspondiente se presenta en la teoría de espacios estereotípicos : los espacios reflexivos en este sentido se llaman estereotipos .
• Si${\displaystyle V'}$está dotado de la topología débil , entonces la reflexividad correspondiente se presenta en la teoría de pares duales : ^{[ 19 ]} los espacios reflexivos en este sentido son espacios localmente convexos arbitrarios (Hausdorff) con la topología débil. ^{[ 20 ]}

Dejar${\displaystyle 1<p<\infty }$Sea un número real y consideremos el espacio de Banach ℓ ^p de todas las secuencias.${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{n})}$para qué $${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{p}={\bigg (}\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}{\bigg )}^{\frac {1}{p}}<\infty .}$$ Define el número${\displaystyle q}$por${\displaystyle 1/p+1/q=1}$. Entonces el dual continuo de${\displaystyle \ell ^{p}}$se identifica naturalmente con${\displaystyle \ell ^{q}}$: dado un elemento${\displaystyle \varphi \in (\ell ^{p})'}$, el elemento correspondiente de${\displaystyle \ell ^{q}}$es la secuencia${\displaystyle (\varphi (\mathbf {e} _{n}))}$dónde${\displaystyle \mathbf {e} _{n}}$denota la secuencia cuya${\displaystyle n}$El término -ésimo es 1 y todos los demás son cero. Por el contrario, dado un elemento${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{n})\in \ell ^{q}}$, la función lineal continua correspondiente${\displaystyle \varphi }$en${\displaystyle \ell ^{p}}$se define por $${\displaystyle \varphi (\mathbf {b} )=\sum _{n}a_{n}b_{n}}$$ a pesar de${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{n})\in \ell ^{p}}$(véase la desigualdad de Hölder ).

De manera similar, el dual continuo de${\displaystyle \ell ^{1}}$se identifica naturalmente con${\displaystyle \ell ^{\infty }}$(el espacio de secuencias acotadas). Además, los duales continuos de los espacios de Banach${\displaystyle c}$(que consta de todas las secuencias convergentes , con la norma suprema ) y${\displaystyle c_{0}}$(las secuencias que convergen a cero) se identifican naturalmente con${\displaystyle \ell ^{1}}$.

Según el teorema de representación de Riesz , el dual continuo de un espacio de Hilbert es también un espacio de Hilbert antiisomorfo al espacio original. Esto da lugar a la notación bra-ket utilizada por los físicos en la formulación matemática de la mecánica cuántica .

Según el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani , el dual continuo de ciertos espacios de funciones continuas puede describirse utilizando medidas.

Si${\displaystyle T:V\to W}$es una aplicación lineal continua entre dos espacios vectoriales topológicos, entonces la transpuesta (continua) ${\displaystyle T':W'\to V'}$se define mediante la misma fórmula que antes: $${\displaystyle T'(\varphi )=\varphi \circ T,\quad \varphi \in W'.}$$ La función resultante${\displaystyle T'(\varphi )}$está en${\displaystyle V'}$La tarea${\displaystyle T\to T'}$produce un mapeo lineal entre el espacio de mapeos lineales continuos de${\displaystyle V}$a${\displaystyle W}$y el espacio de mapas lineales de${\displaystyle W'}$a${\displaystyle V'}$. Cuando${\displaystyle T}$y${\displaystyle U}$son mapas lineales continuos componibles, entonces $${\displaystyle (U\circ T)'=T'\circ U'.}$$ Cuando${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$son espacios normados, la norma de la transpuesta en${\displaystyle L(W',V')}$es igual a la de${\displaystyle T}$en${\displaystyle L(V,W)}$Varias propiedades de la transposición dependen del teorema de Hahn-Banach . Por ejemplo, la aplicación lineal acotada.${\displaystyle T}$tiene un rango denso si y solo si la transposición${\displaystyle T'}$es inyectivo.

Cuando${\displaystyle T}$es una aplicación lineal compacta entre dos espacios de Banach${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$, luego la transposición${\displaystyle T'}$es compacto. Esto se puede demostrar utilizando el teorema de Arzelà-Ascoli .

Cuando${\displaystyle V}$es un espacio de Hilbert, existe un isomorfismo antilineal${\displaystyle i_{V}}$de${\displaystyle V}$sobre su doble continuo${\displaystyle V'}$. Para cada mapa lineal acotado${\displaystyle T}$en${\displaystyle V}$, los operadores de transposición y adjunto están vinculados por $${\displaystyle i_{V}\circ T^{*}=T'\circ i_{V}.}$$ Cuando${\displaystyle T}$es una aplicación lineal continua entre dos espacios vectoriales topológicos${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$, luego la transposición${\displaystyle T'}$es continuo cuando${\displaystyle W'}$y${\displaystyle V'}$están equipados con topologías "compatibles": por ejemplo, cuando para${\displaystyle X=V}$y${\displaystyle X=W}$, ambos duales${\displaystyle X'}$tienen una topología fuerte${\displaystyle \beta (X',X)}$de convergencia uniforme en conjuntos acotados de${\displaystyle X}$o ambos tienen la topología débil-∗${\displaystyle \sigma (X',X)}$de convergencia puntual en${\displaystyle X}$. La transposición${\displaystyle T'}$es continuo desde${\displaystyle \beta (W',W)}$a${\displaystyle \beta (V',V)}$, o de${\displaystyle \sigma (W',W)}$a${\displaystyle \sigma (V',V)}$.

Supongamos que${\displaystyle W}$es un subespacio lineal cerrado de un espacio normado${\displaystyle V}$y consideremos al aniquilador de${\displaystyle W}$en${\displaystyle V'}$, $${\displaystyle W^{\perp }=\{\varphi \in V':W\subseteq \ker \varphi \}.}$$ Luego, el dual del cociente${\displaystyle V/W}$puede identificarse con${\displaystyle W^{\perp }}$y el dual de${\displaystyle W}$puede identificarse con el cociente${\displaystyle V'/{W^{\perp }}}$. ^{[ 21 ]} En efecto, sea${\displaystyle P}$denotamos la sobreyección canónica de${\displaystyle V}$sobre el cociente${\displaystyle V/W}$. Luego la transposición${\displaystyle P'}$es un isomorfismo isométrico de${\displaystyle (V/W)'}$en${\displaystyle V'}$, con un rango igual a${\displaystyle W^{\perp }}$. Si${\displaystyle j}$denota el mapa de inyección de${\displaystyle W}$en${\displaystyle V}$, entonces el núcleo de la transpuesta${\displaystyle j'}$es el aniquilador de${\displaystyle W}$: $${\displaystyle \ker(j')=W^{\perp }}$$ y del teorema de Hahn-Banach se deduce que${\displaystyle j'}$induce un isomorfismo isométrico ${\displaystyle V/W^{\perp }}$.

Si el dual de un espacio normado${\displaystyle V}$Si es separable , entonces también lo es el espacio.${\displaystyle V}$mismo. Lo contrario no es cierto: por ejemplo, el espacio${\displaystyle l^{1}}$es separable, pero su dual${\displaystyle \ell ^{\infty }}$no lo es.

En analogía con el caso del doble dual algebraico, siempre existe un operador lineal continuo definido naturalmente.${\displaystyle \Psi :V\to V''}$desde un espacio normalizado${\displaystyle V}$en su doble doble continuo${\displaystyle V'}$, definido por $${\displaystyle \Psi (x)(\varphi )=\varphi (x),\quad x\in V,\ \varphi \in V'.}$$ Como consecuencia del teorema de Hahn-Banach , este mapa es de hecho una isometría , lo que significa${\displaystyle \|\Psi (x)\|=\|x\|}$a pesar de${\displaystyle x\in V}$. Espacios normalizados para los cuales el mapa${\displaystyle \Psi }$es una biyección se denomina reflexiva .

Cuando${\displaystyle V}$es un espacio vectorial topológico entonces${\displaystyle \Psi }$(${\displaystyle x}$) aún puede definirse mediante la misma fórmula, para cada${\displaystyle x\in V}$Sin embargo, surgen varias dificultades. Primero, cuando${\displaystyle V}$no es localmente convexo , el dual continuo puede ser igual a${\displaystyle \{0\}}$y el mapa${\displaystyle \Psi }$trivial. Sin embargo, si${\displaystyle V}$es Hausdorff y localmente convexo, el mapa${\displaystyle \Psi }$es inyectivo de${\displaystyle V}$al dual algebraico${\displaystyle V^{*}}$del dual continuo, nuevamente como consecuencia del teorema de Hahn-Banach. ^{[ nb 5 ]}

En segundo lugar, incluso en el entorno localmente convexo, se pueden definir varias topologías de espacio vectorial naturales en el dual continuo.${\displaystyle V'}$, de modo que el doble doble continuo${\displaystyle V''}$no está definido de forma única como un conjunto. Decir que${\displaystyle \Psi }$mapas de${\displaystyle V}$a${\displaystyle V''}$, o en otras palabras, que${\displaystyle \Psi (x)}$es continuo en${\displaystyle V'}$por cada${\displaystyle x\in V}$, es un requisito mínimo razonable sobre la topología de${\displaystyle V'}$, es decir, que las asignaciones de evaluación $${\displaystyle \varphi \in V'\mapsto \varphi (x),\quad x\in V,}$$ ser continuo para la topología elegida en${\displaystyle V'}$. Además, todavía hay una opción de topología en${\displaystyle V''}$y continuidad de${\displaystyle \Psi }$Depende de esta elección. En consecuencia, definir la reflexividad en este marco es más complejo que en el caso normativo.