Teorema de Dudley

En teoría de la probabilidad , el teorema de Dudley es un resultado que relaciona el límite superior esperado y las propiedades de regularidad de un proceso gaussiano con su entropía y estructura de covarianza .

El resultado fue enunciado y demostrado por primera vez por VN Sudakov, como se señala en un artículo de Richard M. Dudley . ^{[ 1 ]} Dudley había reconocido anteriormente a Volker Strassen el haber establecido la conexión entre entropía y regularidad.

Sea ( X _t ) _{t ∈ T} un proceso gaussiano centrado (con media cero) y sea d _X la pseudométrica en T definida por

${\displaystyle d_{X}(s,t)={\sqrt {\mathbf {E} {\big [}|X_{s}-X_{t}|^{2}]}}.\,}$

Para ε > 0, denotemos por N ( T , d _X ; ε ) el número de entropía , es decir, el número mínimo de d _X -bolas (abiertas) de radio ε necesarias para cubrir T . Entonces     

${\displaystyle \mathbf {E} \left[\sup _{t\in T}X_{t}\right]\leq 24\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {\log N(T,d_{X};\varepsilon )}}\,\mathrm {d} \varepsilon .}$

Además, si la integral de entropía del lado derecho converge, entonces X tiene una versión con casi todas las trayectorias de muestra acotadas y (uniformemente) continuas en ( T , d _X ). 

• Dudley, Richard M. (1967). "Los tamaños de subconjuntos compactos del espacio de Hilbert y la continuidad de los procesos gaussianos". Journal of Functional Analysis . 1 (3): 290– 330. doi : 10.1016/0022-1236(67)90017-1 . MR 0220340 . 
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probabilidad en espacios de Banach . Berlín: Springer-Verlag. pp.  xii+480. ISBN 3-540-52013-9MR 1102015 .​ (Véase el capítulo 11)