Teorema de Dupin

En geometría diferencial, el teorema de Dupin , que lleva el nombre del matemático francés Charles Dupin , es la siguiente afirmación: ^{[ 1 ]}

• La curva de intersección de cualquier par de superficies de haces diferentes de un sistema ortogonal triple es una línea de curvatura .

Un sistema ortogonal triple de superficies consta de tres haces de superficies tales que cualquier par de superficies de haces diferentes se intersecan ortogonalmente.

El ejemplo más sencillo de un sistema ortogonal triple consiste en los planos coordenados y sus paralelos. Pero este ejemplo no tiene interés, ya que un plano no tiene líneas de curvatura.

Un ejemplo sencillo con al menos un lápiz de superficies curvas: 1) todos los cilindros circulares rectos con el eje z como eje, 2) todos los planos que contienen el eje z, 3) todos los planos horizontales (ver diagrama).

Una línea de curvatura es una curva en una superficie que, en cualquier punto, tiene la dirección de una curvatura principal (máxima o mínima). El conjunto de líneas de curvatura de un cilindro circular recto está formado por el conjunto de círculos (curvatura máxima) y las líneas (curvatura mínima). Un plano no tiene líneas de curvatura, ya que cualquier curvatura normal es cero. Por lo tanto, solo interesan las líneas de curvatura del cilindro: un plano horizontal interseca un cilindro en un círculo y un plano vertical tiene líneas en común con el cilindro.

La idea de sistemas ortogonales triples puede considerarse una generalización de trayectorias ortogonales . Ejemplos especiales son los sistemas de secciones cónicas confocales .

El teorema de Dupin es una herramienta para determinar las líneas de curvatura de una superficie mediante su intersección con superficies adecuadas (véanse los ejemplos), sin necesidad de realizar cálculos laboriosos de derivadas y curvaturas principales. El siguiente ejemplo muestra que la incrustación de una superficie en un sistema ortogonal triple no es única.

Cualquier punto de consideración está contenido en exactamente una superficie de cualquier lápiz del sistema ortogonal. Los tres parámetros${\displaystyle u,v,w}$La descripción de estas tres superficies puede considerarse como nuevas coordenadas. Por lo tanto, cualquier punto puede representarse mediante:

${\displaystyle x=x(u,v,w)}$

${\displaystyle y=y(u,v,w)}$

${\displaystyle z=z(u,v,w)\quad}$o en resumen:${\displaystyle \quad {\vec {x}}={\vec {x}}(u,v,w)\;.}$

Para el ejemplo (cilindro) en el avance, las nuevas coordenadas son el radio${\displaystyle r}$del cilindro real, ángulo${\displaystyle \varphi }$entre el plano vertical y el eje x y${\displaystyle \zeta }$la altura del plano horizontal. Por lo tanto,${\displaystyle r,\varphi,\zeta}$pueden considerarse como las coordenadas cilíndricas del punto en cuestión.

La condición "las superficies se intersecan ortogonalmente" en el punto${\displaystyle {\vec {x}}(u,v,w)}$significa, las normales de la superficie${\displaystyle \;{\vec {x}}_{u}\times {\vec {x}}_{v},\;{\vec {x}}_{v}\times {\vec {x}}_{w},\;{\vec {x}}_{w}\times {\vec {x}}_{u}}$son ortogonales por pares. Esto es cierto, si

${\displaystyle {\vec {x}}_{u},\;{\vec {x}}_{v},\;{\vec {x}}_{w}\quad }$son ortogonales por pares. Esta propiedad se puede comprobar con la ayuda de la identidad de Lagrange .

Por eso

(1)${\displaystyle \quad {\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{v}=0,\quad {\vec {x}}_{v}\cdot {\vec {x}}_{w}=0,\quad {\vec {x}}_{w}\cdot {\vec {x}}_{u}=0\;.}$

Al derivar estas ecuaciones para la variable, que no está contenida en la ecuación, se obtiene

${\displaystyle {\vec {x}}_{uw}\cdot {\vec {x}}_{v}+{\vec {x}}_{u}\cdot {\vec {x}}_{vw}=0\;,}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{uv}\cdot {\vec {x}}_{w}+{\vec {x}}_{v}\cdot {\vec {x}}_{uw}=0\;,}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{vw}\cdot {\vec {x}}_{u}+{\vec {x}}_{w}\cdot {\vec {x}}_{uv}=0\;.}$

Al resolver este sistema lineal para los tres productos escalares que aparecen, se obtiene:

(2)${\displaystyle \quad {\vec {x}}_{uv}\cdot {\vec {x}}_{w}=0,\quad {\vec {x}}_{vw}\cdot {\vec {x}}_{u}=0,\quad {\vec {x}}_{uw}\cdot {\vec {x}}_{v}=0\;.}$

De (1) y (2) : Los tres vectores${\displaystyle {\vec {x}}_{u},{\vec {x}}_{v},{\vec {x}}_{uv}}$son ortogonales al vector${\displaystyle {\vec {x}}_{w}}$y por lo tanto son linealmente dependientes (están contenidas en un plano común), lo cual puede expresarse mediante:

(3)${\displaystyle \quad \det({\vec {x}}_{uv},{\vec {x}}_{u},{\vec {x}}_{v})=0\;.}$

De la ecuación (1) se obtiene${\displaystyle F=0}$(coeficiente de la primera forma fundamental ) y de la ecuación (3) :${\displaystyle M=0}$(coeficiente de la segunda forma fundamental ) de la superficie${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x}}(u,v,w_{0})}$.

Consecuencia: Las curvas de parámetros son líneas de curvatura.

El resultado análogo para las otras dos superficies a través del punto${\displaystyle {\vec {x}}(u_{0},v_{0},w_{0})}$Eso también es cierto.

• HSM Coxeter : Introducción a la geometría , Wiley, 1961, págs.  11, 258.
• Cap. Dupin: Développements de géométrie , París 1813.
• F. Klein : Vorlesungen über Höhere Geometrie , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3642886744, pág.  9.
• Ludwig Schläfli : Über die allgemeinste Flächenschar zweiten Grades, die mit irgend zwei anderen Flächenscharen ein orthogonales System bildet , en L. Schläfli: Gesammelte mathematische Abhandlungen p.  163, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034841167.
• J. Weingarten : Über die Bedingung, unter welcher eine Flächenfamilie einem orthogonalen Flächensystem angehört. , Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 1877, Heft 83, págs.  1–12, ISSN (en línea) 1435–5345, ISSN (impreso) 0075–4102.
• TJ Willmore: Introducción a la geometría diferencial , Courier Corporation, 2013, ISBN 0486282104, pág.  295.