Matrices de duplicación y eliminación

En matemáticas , especialmente en álgebra lineal y teoría de matrices , la matriz de duplicación y la matriz de eliminación son transformaciones lineales que se utilizan para transformar semivectorizaciones de matrices en vectorizaciones o (respectivamente) viceversa.

La matriz de duplicación${\displaystyle D_{n}}$es el único${\displaystyle n^{2}\times {\frac {n(n+1)}{2}}}$matriz que, para cualquier${\displaystyle n\times n}$matriz simétrica${\displaystyle A}$, transforma${\displaystyle \mathrm {vech} (A)}$en${\displaystyle \mathrm {vec} (A)}$:

${\displaystyle D_{n}\mathrm {vech} (A)=\mathrm {vec} (A)}$.

Para el${\displaystyle 2\times 2}$matriz simétrica${\displaystyle A=\left[{\begin{smallmatrix}a&b\\b&d\end{smallmatrix}}\right]}$, esta transformación se lee

${\displaystyle D_{n}\mathrm {vech} (A)=\mathrm {vec} (A)\implies {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\\b\\b\\d\end{bmatrix}}}$

La fórmula explícita para calcular la matriz de duplicación para una${\displaystyle n\times n}$La matriz es:

${\displaystyle D_{n}^{T}=\sum \limits _{i\geq j}u_{ij}(\mathrm {vec} T_{ij})^{T}}$

Dónde:

• ${\displaystyle u_{ij}}$es un vector unitario de orden${\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$tener el valor${\displaystyle 1}$en la posición${\displaystyle (j-1)n+i-{\frac {1}{2}}j(j-1)}$y 0 en cualquier otro lugar;
• ${\displaystyle T_{ij}}$es un${\displaystyle n\times n}$matriz con 1 en posición${\displaystyle (i,j)}$y${\displaystyle (j,i)}$y cero en cualquier otro lugar

Aquí hay una función de C++ que utiliza Armadillo (biblioteca de C++) :

arma :: mat duplication_matrix ( const int & n ) { arma :: mat out (( n * ( n + 1 )) / 2 , n * n , arma :: fill :: zeros ); for ( int j = 0 ; j < n ; ++ j ) { for ( int i = j ; i < n ; ++ i ) { arma :: vec u (( n * ( n + 1 )) / 2 , arma :: fill :: zeros ); u ( j * n + i - (( j + 1 ) * j ) / 2 ) = 1.0 ; arma :: mat T ( n , n , arma :: fill :: zeros ); T ( i , j ) = 1.0 ; T ( j , i ) = 1.0 ; out += u * arma :: trans ( arma :: vectorise ( T )); } } return out . t (); }

Una matriz de eliminación${\displaystyle L_{n}}$es un${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}\times n^{2}}$matriz que, para cualquier${\displaystyle n\times n}$matriz${\displaystyle A}$, transforma${\displaystyle \mathrm {vec} (A)}$en${\displaystyle \mathrm {vech} (A)}$:

${\displaystyle L_{n}\mathrm {vec} (A)=\mathrm {vech} (A)}$. ^{[ 1 ]} 

Según la definición explícita (constructiva) dada por Magnus y Neudecker (1980) , el${\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$por${\displaystyle n^{2}}$matriz de eliminación${\displaystyle L_{n}}$es dado por

${\displaystyle L_{n}=\sum _{i\geq j}u_{ij}\mathrm {vec} (E_{ij})^{T}=\sum _{i\geq j}(u_{ij}\otimes e_{j}^{T}\otimes e_{i}^{T}),}$

dónde${\displaystyle e_{i}}$es un vector unitario cuyo${\displaystyle i}$El -ésimo elemento es uno y ceros en los demás casos, y${\displaystyle E_{ij}=e_{i}e_{j}^{T}}$.

Aquí hay una función de C++ que utiliza Armadillo (biblioteca de C++) :

arma :: mat removal_matrix ( const int & n ) { arma :: mat out (( n * ( n + 1 )) / 2 , n * n , arma :: fill :: zeros ); for ( int j = 0 ; j < n ; ++ j ) { arma :: rowvec e_j ( n , arma :: fill :: zeros ); e_j ( j ) = 1.0 ; for ( int i = j ; i < n ; ++ i ) { arma :: vec u (( n * ( n + 1 )) / 2 , arma :: fill :: zeros ); u ( j * n + i - (( j + 1 ) * j ) / 2 ) = 1.0 ; arma :: rowvec e_i ( n , arma :: fill :: zeros ); e_i ( i ) = 1.0 ; out += arma :: kron ( u , arma :: kron ( e_j , e_i )); } } return out ; }

Para el${\displaystyle 2\times 2}$matriz${\displaystyle A=\left[{\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right]}$, una opción para esta transformación viene dada por

${\displaystyle L_{n}\mathrm {vec} (A)=\mathrm {vech} (A)\implies {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\\b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\\c\\d\end{bmatrix}}}$.

• Magnus, Jan R.; Neudecker, Heinz (1980), "La matriz de eliminación: algunos lemas y aplicaciones" , SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods , 1 (4): 422– 449, doi : 10.1137/0601049 , ISSN 0196-5212 .
• Jan R. Magnus y Heinz Neudecker (1988), Cálculo diferencial matricial con aplicaciones en estadística y econometría , Wiley. ISBN 978-0-471-98633-1.
• Jan R. Magnus (1988), Estructuras lineales , Oxford University Press. ISBN 978-0-19-520655-5