Vectorización (matemáticas)

En matemáticas , especialmente en álgebra lineal y teoría de matrices , la vectorización de una matriz es una transformación lineal que convierte la matriz en un vector . Específicamente, la vectorización de una matriz A de m × n , denotada por vec( A ), es el vector columna de mn × 1 que se obtiene al apilar las columnas de la matriz A una encima de la otra: $${\displaystyle \operatorname {vec} (A)=[a_{1,1},\ldots ,a_{m,1},a_{1,2},\ldots ,a_{m,2},\ldots ,a_{1,n},\ldots ,a_{m,n}]^{\mathrm {\top } }}$$ Aquí,${\displaystyle a_{i,j}}$representa el elemento en la i -ésima fila y j -ésima columna de A , y el superíndice${\displaystyle {}^{\mathrm {\top } }}$denota la transpuesta . En otras palabras, vec( A ) es un vector que contiene las entradas de A en orden de columna principal .

La vectorización expresa, a través de coordenadas, el isomorfismo.${\displaystyle \mathbf {R} ^{m\times n}\cong \mathbf {R} ^{mn}}$entre estos (es decir, de matrices y vectores) como espacios vectoriales.

Por ejemplo, para la matriz de 2×2${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$, la vectorización es${\displaystyle \operatorname {vec} (A)={\begin{bmatrix}a\\c\\b\\d\end{bmatrix}}}$.

La conexión entre la vectorización de A y la vectorización de su transpuesta viene dada por la matriz de conmutación .

La vectorización se utiliza frecuentemente junto con el producto de Kronecker para expresar la multiplicación de matrices como una transformación lineal en matrices. En particular, $${\displaystyle \operatorname {vec} (ABC)=(C^{\mathrm {\top } }\otimes A)\operatorname {vec} (B)}$$ para matrices A , B y C de dimensiones k × l , l × m y m × n . ^{[ nota 1 ]} Por ejemplo, si${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(X)=AX-XA}$(el endomorfismo adjunto del álgebra de Lie gl( n , C ) de todas las matrices n × n con entradas complejas ), entonces${\displaystyle \operatorname {vec} (\operatorname {ad} _{A}(X))=(A\otimes I_{n}-I_{n}\otimes A^{\mathrm {\top } }){\text{vec}}(X)}$, dónde${\displaystyle I_{n}}$es la matriz identidad n × n .

Existen otras dos formulaciones útiles: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {vec} (ABC)&=(I_{n}\otimes AB)\operatorname {vec} (C)=(C^{\mathrm {\top } }B^{\mathrm {\top } }\otimes I_{k})\operatorname {vec} (A)\\\operatorname {vec} (AB)&=(I_{m}\otimes A)\operatorname {vec} (B)=(B^{\mathrm {\top } }\otimes I_{k})\operatorname {vec} (A)\end{aligned}}}$$

Si B es una matriz diagonal (es decir,${\textstyle B=\operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})}$), la vectorización se puede escribir utilizando el producto de Kronecker por columnas.${\textstyle \ast }$(véase el producto Khatri-Rao ) y la diagonal principal${\textstyle b={\begin{bmatrix}b_{1},\dots ,b_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {\top } }}$de B : $${\displaystyle \operatorname {vec} (ABC)=(C^{\mathrm {\top } }\ast A)b}$$

De manera más general, se ha demostrado que la vectorización es una autoadjunción en la estructura cerrada monoidal de cualquier categoría de matrices. ^{[ 1 ]}

La vectorización es un homomorfismo algebraico del espacio de matrices n × n con el producto de Hadamard (elemento a elemento) a C ^{n 2} con su producto de Hadamard: $${\displaystyle \operatorname {vec} (A\circ B)=\operatorname {vec} (A)\circ \operatorname {vec} (B).}$$

La vectorización es una transformación unitaria del espacio de matrices n × n con el producto interno de Frobenius (o Hilbert-Schmidt ) a C ^{n 2} : $${\displaystyle \operatorname {tr} (A^{\dagger }B)=\operatorname {vec} (A)^{\dagger }\operatorname {vec} (B),}$$ donde el superíndice ^† denota la transpuesta conjugada .

La operación de vectorización de matrices se puede escribir en términos de una suma lineal. Sea X una matriz m × n que queremos vectorizar, y sea e _i el i -ésimo vector base canónico para el espacio n -dimensional, es decir${\textstyle \mathbf {e} _{i}=\left[0,\dots ,0,1,0,\dots ,0\right]^{\mathrm {T} }}$. Sea B _i una matriz de bloques ( mn ) × m definida de la siguiente manera: $${\displaystyle \mathbf {B} _{i}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\\vdots \\\mathbf {0} \\\mathbf {I} _{m}\\\mathbf {0} \\\vdots \\\mathbf {0} \end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {I} _{m}}$$

B _i consta de n matrices de bloques de tamaño m × m , apiladas por columnas, y todas estas matrices son todas cero excepto la i -ésima, que es una matriz identidad m × m I _m .

Entonces, la versión vectorizada de X se puede expresar de la siguiente manera: $${\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {X} )=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {B} _{i}\mathbf {X} \mathbf {e} _{i}}$$

La multiplicación de X por e _i extrae la i -ésima columna, mientras que la multiplicación por B _i la coloca en la posición deseada en el vector final.

Alternativamente, la suma lineal puede expresarse utilizando el producto de Kronecker : $${\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {X} )=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {X} \mathbf {e} _{i}}$$

Para una matriz simétrica A , el vector vec( A ) contiene más información de la estrictamente necesaria, ya que la matriz está completamente determinada por la simetría junto con la porción triangular inferior , es decir, las n ( n +1)/2 entradas sobre y debajo de la diagonal principal . Para tales matrices, la semivectorización a veces es más útil que la vectorización. La semivectorización, vech( A ), de una matriz simétrica n × n A es el vector columna n ( n +1)/2 × 1 obtenido al vectorizar solo la parte triangular inferior de A : $${\displaystyle \operatorname {vech} (A)=[A_{1,1},\ldots ,A_{n,1},A_{2,2},\ldots ,A_{n,2},\ldots ,A_{n-1,n-1},A_{n,n-1},A_{n,n}]^{\mathrm {\top } }.}$$

Por ejemplo, para la matriz de 2×2${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}}$, la semivectorización es${\displaystyle \operatorname {vech} (A)={\begin{bmatrix}a\\b\\d\end{bmatrix}}}$.

Existen matrices únicas que transforman la semivectorización de una matriz en su vectorización y viceversa, denominadas respectivamente matriz de duplicación y matriz de eliminación .

Los lenguajes de programación que implementan matrices pueden tener medios sencillos para la vectorización. En Matlab / GNU Octave, una matriz Ase puede vectorizar mediante A(:). GNU Octave también permite la vectorización y la semivectorización con vec(A)y vech(A)respectivamente. Juliavec(A) también tiene la función. En Python, los arreglos NumPy implementan el flattenmétodo, ^{[ nota 1 ]} mientras que en R el efecto deseado se puede lograr mediante las funciones c()o as.vector()o, de manera más eficiente, eliminando el atributo de dimensiones de una matriz Acon dim(A) <- NULL. En R , la función vec()del paquete 'ks' permite la vectorización y la función vech()implementada en ambos paquetes 'ks' y 'sn' permite la semivectorización. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

La vectorización se utiliza en el cálculo matricial y sus aplicaciones para establecer, por ejemplo, momentos de vectores y matrices aleatorias, asintótica, así como matrices jacobianas y hessianas. ^{[ 5 ]} También se utiliza en la sensibilidad local y el diagnóstico estadístico. ^{[ 6 ]}

• Matrices de duplicación y eliminación
• notación de Voigt
• Matriz de almacenamiento empaquetada
• Orden de columnas principales
• Matriculación