Rectángulo dinámico

Un rectángulo dinámico es una figura de cuatro lados con ángulo recto (un rectángulo ) con simetría dinámica , lo que significa que la relación de aspecto (ancho dividido por alto) es un valor distintivo en la simetría dinámica , un sistema de proporciones y una metodología de diseño natural descrita en los libros de Jay Hambidge . Estos rectángulos dinámicos comienzan con un cuadrado , que se extiende (usando una serie de arcos y puntos de intersección) para formar la figura deseada, que puede ser el rectángulo áureo (1 :1,618...), el rectángulo 2:3, el cuadrado doble (1:2) o un rectángulo raíz ( 1 : √φ , 1 : √2 , 1 : √3 , 1 : √5 , etc.). ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Rectángulos de raíz

Ilustración de Hambidge de 1920 sobre la construcción de rectángulos raíz. Las longitudes de los lados horizontales del cuadrado original y de los cuatro rectángulos raíz derivados del mismo son, respectivamente $\scriptstyle {\sqrt {1}},{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {4}},{\sqrt {5}}$ . ^{[ 2 ]}

{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {1}},{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {4}},{\sqrt {5}}} — Ilustración de Hambidge de 1920 sobre la construcción de rectángulos raíz. Las longitudes de los lados horizontales del cuadrado original y de los cuatro rectángulos raíz derivados del mismo son, respectivamente $\scriptstyle {\sqrt {1}},{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {4}},{\sqrt {5}}$ . ^{[ 2 ]}

Un rectángulo raíz es un rectángulo en el que la razón entre el lado más largo y el más corto es la raíz cuadrada de un número entero , como √2 , √3 , etc. ^{[ 2 ]}

El rectángulo raíz cuadrada de 2 (ACDK en la figura 10) se construye extendiendo dos lados opuestos de un cuadrado hasta la longitud de su diagonal. El rectángulo raíz cuadrada de 3 se construye extendiendo los dos lados más largos de un rectángulo raíz cuadrada de 2 hasta la longitud de su diagonal. Cada rectángulo raíz sucesivo se obtiene extendiendo los lados más largos de un rectángulo raíz cuadrada hasta igualar la longitud de su diagonal. ^{[ 4 ]}

Propiedades

Cuando un rectángulo de raíz cuadrada de N se divide en N rectángulos congruentes dividiendo el lado más largo en N segmentos, las figuras resultantes mantienen la proporción de raíz cuadrada de N (como se ilustra arriba). ^{[ 5 ]}

El rectángulo raíz cuadrada de 3 también se llama sixton , ^{[ 6 ]} y sus lados corto y largo son proporcionalmente equivalentes al lado y al diámetro corto (altura) de un hexágono . ^{[ 7 ]}

Dado que 2 es la raíz cuadrada de 4, el rectángulo raíz cuadrada de 4 tiene una proporción de 1:2, lo que significa que es equivalente a dos cuadrados uno al lado del otro. ^{[ 7 ]}
El rectángulo raíz cuadrada de 5 está relacionado con la proporción áurea (φ). El lado más largo es igual a uno más dos veces 1/φ (0,618...). ^{[ 7 ]}

Rectángulo de raíz cuadrada de φ

El rectángulo raíz cuadrada de φ es un rectángulo dinámico, pero no un rectángulo raíz cuadrada. Su diagonal es igual a φ veces la longitud del lado más corto. Si un rectángulo raíz cuadrada de φ se divide por una diagonal, el resultado son dos triángulos de Kepler congruentes .

Jay Hambidge

Jay Hambidge , como parte de su teoría de la simetría dinámica, incluye los rectángulos raíz en lo que él llama rectángulos dinámicos , que tienen fracciones irracionales y geométricas como razones, como la proporción áurea o las raíces cuadradas. Hambidge los distingue de los rectángulos con proporciones racionales, a los que denomina rectángulos estáticos . ^[³^] Según él, los rectángulos raíz cuadrada de 2, 3, 4 y 5 se encuentran a menudo en el arte, los objetos y la arquitectura góticos y clásicos griegos y romanos, mientras que los rectángulos con razones de aspecto mayores que raíz cuadrada de 5 rara vez se encuentran en diseños humanos. ^[⁴^]

Según Matila Ghyka , los rectángulos dinámicos de Hambidge

puede producir las subdivisiones y combinaciones armónicas (consonantes, relacionadas por simetría) más variadas y satisfactorias, y esto mediante el proceso muy simple [...] de dibujar dentro del rectángulo elegido una diagonal y la perpendicular a ella desde uno de los dos vértices restantes (dividiendo así la superficie en un rectángulo recíproco y su gnomon), y dibujar cualquier red de paralelas y perpendiculares a los lados y diagonales. Esto produce automáticamente superficies correlacionadas por la proporción característica del rectángulo inicial, y también evita (automáticamente de nuevo) la mezcla de temas antagónicos como √ 2 y √ 3 o √ 5 . √ 5 y Φ , por el contrario, no son antagónicos sino consonantes, también con √ Φ , Φ ² , etcétera. ^{[ 3 ]}

Ilustración de Caskey de 1922 de la propiedad de que un rectángulo de raíz cuadrada de N se divide en N rectángulos recíprocos de las mismas proporciones. ^{[ 8 ]}

Los 12 ortogones de Wersin

Según Wolfgang von Wersin en su libro The Book of Rectangles, Spatial Law and Gestures of The Orthogons Described (1956), un conjunto de 12 ortogonos especiales (del griego ορθος , orthos , "recto" ^{[ 9 ]} y γονια , gonia , "ángulo"; "una figura de ángulo recto", que, en consecuencia, es rectangular y tetragonal ^{[ 10 ]} ) ha sido utilizado históricamente por artistas, arquitectos y calígrafos para guiar la colocación e interacción de elementos en un diseño. ^{[ 3 ]}^{[ 11 ]} Estos ortogonos son: ^{[ 12 ]}

Cuadrado (1:1 o 1: √ 1 )
Diagon (1: √ 2 )
Hectón o sixtón (1: √ 3 )
Doppelquadrat (1:2 o 1: √ 4 )
Hemiolion (2:3)
Aurón (el rectángulo áureo , 1: φ )
Hemidiagonal (2: √ 5 )
Penton (1: √ φ )
Trión ( √ 3 :2)
Cuadriágono (1:½(1+ √ 2 ))
Biaurón (φ:2)
Bipenton (1:2 √ 5-2 √ 5 )

El libro de Wolfgang von Wersin incluye una copia extraordinaria de un texto del año 1558 ( Renacimiento ), con diagramas de siete de los 12 ortogonos y una invitación del pasaje a prestar mucha atención, ya que los arquitectos "antiguos" creían que "nada supera estas proporciones" como "algo de la más pura abstracción". ^{[ 13 ]}

Los 12 ortogonos, cuando se forman juntos, crean una unidad completa: un cuadrado que se desarrolla en un cuadrado doble. ^{[ 14 ]}

Quizás el más popular de los ortogonos sea el auror o rectángulo áureo , que se obtiene proyectando la diagonal que va desde el punto medio de un lado de un cuadrado hasta uno de los vértices opuestos, hasta que quede alineada con el punto medio.

Cuatro de estos ortogonos son rectángulos armónicos: el rectángulo diagonal o raíz cuadrada de 2 se produce al proyectar la diagonal de un cuadrado; el rectángulo sixton , hecton o raíz cuadrada de 3 se produce al proyectar la diagonal de un diagonal; el rectángulo doble cuadrado o raíz cuadrada de 4 se produce al proyectar la diagonal de un hecton; el rectángulo raíz cuadrada de 5 se produce al proyectar la diagonal de un doble cuadrado (o al proyectar 180° ambas diagonales que van desde el punto medio de un lado de un cuadrado hasta los vértices opuestos).

Dos de las figuras más complicadas son: el pentón , con proporciones 1: √ φ, está relacionado con la sección de la pirámide dorada ; el lado más largo del bipentón es igual al lado más corto multiplicado por 2 √ 5-2 √ 5 , o ${\textstyle 2{\sqrt {\phi ^{2}+1}}/\phi ^{2}}$ ; el lado más largo del biaurón es √ 5 - 1, o 2 / φ, veces el lado más corto.

El cuadriágono se relaciona con el diagonal en el sentido de que su lado más largo se obtiene proyectando la diagonal de un cuarto de cuadrado. El trión tiene la altura de un triángulo equilátero y el ancho de su lado. El lado más largo del hemidiagón es la mitad del de un rectángulo de raíz cuadrada de 5 y se obtiene proyectando la diagonal de medio cuadrado hasta que sea perpendicular al origen.

Además del cuadrado y el cuadrado doble, el único otro rectángulo estático incluido en la lista es el hemiolion , que se obtiene proyectando 90° o 180° la mitad del lado de un cuadrado.

Construyendo un ortogonal

Las dimensiones de los ortogonos se relacionan entre sí y con el ortogono en su conjunto. Por esta razón, el uso de ortogonos como plantilla o subestructura resulta de interés para artistas, arquitectos y diseñadores. ^{[ 15 ]}

Los ortogonos siempre parten de un cuadrado, cualquiera. Una vez construido un ortogo, se determinan medidas adicionales relacionadas (pequeño, mediano, grande). Estas medidas pueden utilizarse como guía para el diseño (pintura, arquitectura, cerámica, mobiliario, caligrafía, automóviles, etc.).

El libro de Wersin ofrece explicaciones muy detalladas para la creación de ortogonos individuales. ^{[ 16 ]} Las medidas obtenidas se aplican posteriormente en un diseño. La obra de Giorgio Morandi ejemplifica cómo las medidas de diferentes tamaños (derivadas de un ortogono) pueden crear armonía visual.

Ortogonales y diseño

El uso de dimensiones relacionadas con un ortogo como sistema de subestructura (o plantilla para un diseño) garantiza que las distintas partes se relacionen con el diseño en su conjunto. Marco Vitruvio Polión, en el Libro Tercero de " De Architectura " (conocido actualmente como "Los Diez Libros de Arquitectura"), explica:

Por lo tanto, puesto que la naturaleza ha diseñado el cuerpo humano de manera que sus miembros guarden la proporción adecuada con el conjunto, parece que los antiguos tenían buenas razones para su norma: que en los edificios perfectos, los diferentes elementos deben mantener una simetría exacta con respecto al esquema general. De ahí que, al transmitirnos las disposiciones apropiadas para edificios de todo tipo, tuvieran especial cuidado en hacerlo en el caso de los templos de los dioses, edificios en los que los méritos y los defectos suelen perdurar para siempre.

El dibujo del Hombre de Vitruvio de Leonardo es una ilustración del concepto de las partes relacionadas con la obra como un todo. ^{[ 17 ]}

Referencias

↑ SKINNER, Stephen, Geometría Sagrada: Descifrando el Código , Nueva York: Sterling Publishing Company, 2006, págs. 53
1 2 3 Jay Hambidge (1920) [1920]. Dynamic Symmetry: The Greek Vase (Reimpresión de la edición original de Yale University Press ). Whitefish, MT: Kessinger Publishing. págs. 19-29 . ISBN 0-7661-7679-7Rectángulos raíz de simetría dinámica .{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
1 2 3 4 Matila Ghyka (1977). La geometría del arte y la vida . Courier Dover Publications. págs. 126–127 . ISBN 9780486235424.
1 2 Jay Hambidge. (1926, 1948, 1967) Los elementos de la simetría dinámica . Courier Dover Publications. págs. 9–10.
↑ Andrew Haslam (2006). Diseño de libros . Laurence King Publishing. págs. 48-49 . ISBN 1-85669-473-9. rectángulo raíz.
↑ Wim Muller (2001) Orden y significado en el diseño . Lemma Publishers, pág. 49.
1 2 3 Kimberly Elam (2001). Geometría del diseño: Estudios de proporción y composición . Princeton Architectural Press. págs. 34–41 . ISBN 1-56898-249-6.
↑ Lacey Davis Caskey (1922). Geometría de los jarrones griegos: análisis de los jarrones áticos del Museo de Bellas Artes según los principios de proporción descubiertos por Jay Hambidge . Museo de Bellas Artes, Boston.
↑ "Ortho-" , Oxford dictionary of current English , Oxford: Oxford University Press, 1998, pp. 627, 1071 p.
↑ CURTIS, Thomas, La Enciclopedia de Londres , 1829, págs. 356
↑ WERSIN, Wolfgang Von, Das Buch vom Rechteck Gesetz und Gestik des Raumlichen die Othogone-scheibe. Die Orthogone-scheibe ( El libro de los rectángulos, la ley espacial y los gestos de los ortogonos descritos. Los ortogonos descritos ), Ravensburg: Otto Maier Verlag Publishers, 1956
↑ WERSIN, pág. 83
↑ WERSIN, op. cit., págs. 36
↑ WERSIN, pág. 80
↑ "Libro de actividades para construir el universo - Volumen 4: Rectángulos dinámicos" .
↑ WERSIN, págs. 82-85
↑ HEMENWAY, pág. 95

Lecturas adicionales

Hemenway, Priya; Proporción divina, Phi en el arte, la naturaleza y la ciencia; 2005, Sterling Publishing Co., Inc, Nueva York, NY.

[1] SKINNER, Stephen, Geometría Sagrada: Descifrando el Código , Nueva York: Sterling Publishing Company, 2006, págs. 53

[hambidge-2] 1 2 3 Jay Hambidge (1920) [1920]. Dynamic Symmetry: The Greek Vase (Reimpresión de la edición original de Yale University Press ). Whitefish, MT: Kessinger Publishing. págs. 19-29 . ISBN 0-7661-7679-7Rectángulos raíz de simetría dinámica .{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

[ghyka-3] 1 2 3 4 Matila Ghyka (1977). La geometría del arte y la vida . Courier Dover Publications. págs. 126–127 . ISBN 9780486235424.

[jay2-4] 1 2 Jay Hambidge. (1926, 1948, 1967) Los elementos de la simetría dinámica . Courier Dover Publications. págs. 9–10.

[5] Andrew Haslam (2006). Diseño de libros . Laurence King Publishing. págs. 48-49 . ISBN 1-85669-473-9. rectángulo raíz.

[6] Wim Muller (2001) Orden y significado en el diseño . Lemma Publishers, pág. 49.

[elam-7] 1 2 3 Kimberly Elam (2001). Geometría del diseño: Estudios de proporción y composición . Princeton Architectural Press. págs. 34–41 . ISBN 1-56898-249-6.

[8] Lacey Davis Caskey (1922). Geometría de los jarrones griegos: análisis de los jarrones áticos del Museo de Bellas Artes según los principios de proporción descubiertos por Jay Hambidge . Museo de Bellas Artes, Boston.

[9] "Ortho-" , Oxford dictionary of current English , Oxford: Oxford University Press, 1998, pp. 627, 1071 p.

[10] CURTIS, Thomas, La Enciclopedia de Londres , 1829, págs. 356

[11] WERSIN, Wolfgang Von, Das Buch vom Rechteck Gesetz und Gestik des Raumlichen die Othogone-scheibe. Die Orthogone-scheibe ( El libro de los rectángulos, la ley espacial y los gestos de los ortogonos descritos. Los ortogonos descritos ), Ravensburg: Otto Maier Verlag Publishers, 1956

[12] WERSIN, pág. 83

[13] WERSIN, op. cit., págs. 36

[14] WERSIN, pág. 80

[15] "Libro de actividades para construir el universo - Volumen 4: Rectángulos dinámicos" .

[16] WERSIN, págs. 82-85

[17] HEMENWAY, pág. 95

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