Escalado dinámico

El escalamiento dinámico (a veces conocido como escalamiento de Family-Vicsek ^{[ 1 ] [ 2 ]} ) es una prueba de fuego que muestra si un sistema en evolución exhibe autosimilitud . En general, se dice que una función exhibe escalamiento dinámico si satisface:

${\displaystyle f(x,t)\sim t^{\theta }\varphi \left({\frac {x}{t^{z}}}\right).}$

Aquí el exponente${\displaystyle \theta }$está determinado por el requisito dimensional${\displaystyle [f]=[t^{\theta }]}$. El valor numérico de${\displaystyle f/t^{\theta }}$debe permanecer invariable a pesar de la unidad de medida de${\displaystyle t}$se ve afectado por algún factor ya que${\displaystyle \varphi }$es una magnitud adimensional.

Muchos de estos sistemas evolucionan de forma autosimilar, en el sentido de que los datos obtenidos en una instantánea en un momento determinado son similares a los datos correspondientes tomados en instantáneas anteriores o posteriores. Es decir, el sistema es similar a sí mismo en diferentes momentos. La prueba definitiva de dicha autosimilitud la proporciona el escalado dinámico.

El término "escalamiento dinámico" como uno de los conceptos esenciales para describir la dinámica de los fenómenos críticos parece tener su origen en el artículo seminal de Pierre Hohenberg y Bertrand Halperin (1977), a saber, sugirieron "[...] que la susceptibilidad dependiente del vector de onda y de la frecuencia de un ferromagneto cerca de su punto de Curie puede expresarse como una función independiente de${\displaystyle |T-T_{C}|}$siempre que las escalas de longitud y frecuencia, así como la magnetización y el campo magnético, se reescalen mediante potencias apropiadas de${\displaystyle |T-T_{C}|}$. ^{[ 3 ]}

Más tarde, Tamás Vicsek y la familia Fereydoon propusieron la idea de escalamiento dinámico en el contexto de la agregación limitada por difusión ( DLA ) de cúmulos en dos dimensiones. ^{[ 2 ]} La forma de su propuesta para el escalamiento dinámico fue:

${\displaystyle f(x,t)\sim t^{-w}x^{-\tau }\varphi \left({\frac {x}{t^{z}}}\right),}$

donde los exponentes satisfacen la siguiente relación:

${\displaystyle w=(2-\tau )z.}$

En tales sistemas podemos definir una determinada variable estocástica dependiente del tiempo.${\displaystyle x}$. Estamos interesados ​​en calcular la distribución de probabilidad de${\displaystyle x}$en varios instantes de tiempo, es decir${\displaystyle f(x,t)}$. El valor numérico de${\displaystyle f}$y el valor típico o medio de${\displaystyle x}$Generalmente, cambia con el tiempo. La pregunta es: ¿qué sucede con las variables adimensionales correspondientes? Si los valores numéricos de las cantidades dimensionales cambian, pero las cantidades adimensionales correspondientes permanecen invariables, podemos afirmar que las instantáneas del sistema en diferentes momentos son similares. Cuando esto ocurre, decimos que el sistema es autosimilar.

Una forma de verificar el escalado dinámico es graficar variables adimensionales.${\displaystyle f/t^{\theta }}$como función de${\displaystyle x/t^{z}}$de los datos extraídos en diferentes momentos. Entonces, si todos los gráficos de${\displaystyle f}$vs${\displaystyle x}$Si los datos obtenidos en diferentes momentos se superponen en una única curva universal, se dice que los sistemas en diferentes momentos son similares y obedecen a la escala dinámica. La idea de la superposición de datos está profundamente arraigada en el teorema de Buckingham Pi . ^{[ 4 ]} Esencialmente, tales sistemas pueden denominarse autosimilitud temporal, ya que el mismo sistema es similar en diferentes momentos.

Muchos fenómenos investigados por los físicos no son estáticos, sino que evolucionan probabilísticamente con el tiempo (es decir, procesos estocásticos ). El universo mismo es quizás uno de los mejores ejemplos. Se ha estado expandiendo desde el Big Bang . De manera similar, el crecimiento de redes como Internet también son sistemas en constante expansión. Otro ejemplo es la degradación de polímeros ^{[ 5 ],} donde la degradación no ocurre en un abrir y cerrar de ojos, sino a lo largo de un período de tiempo considerable. La propagación de virus biológicos e informáticos tampoco sucede de la noche a la mañana.

Muchos otros sistemas aparentemente dispares que muestran escalamiento dinámico. Por ejemplo:

• cinética de agregación descrita por la ecuación de coagulación de Smoluchowski , ^{[ 6 ] [ 7 ]}
• el modelo de crecimiento dentro de la clase de universalidad de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ); se encuentra que el ancho de la superficie${\displaystyle W(L,t)}$exhibe escalamiento dinámico. ^{[ 8 ] [ 9 ]}
• Las probabilidades marginales de los procesos de Poisson fraccionarios exhiben escalamiento dinámico. ^{[ 10 ]}