Imágenes dinámicas

En mecánica cuántica , las imágenes (o representaciones ) dinámicas son las múltiples formas equivalentes de formular matemáticamente la dinámica de un sistema cuántico.

Las dos más importantes son la imagen de Heisenberg y la imagen de Schrödinger . Estas difieren sólo en un cambio de base con respecto a la dependencia del tiempo, análoga a la especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo : en resumen, la dependencia del tiempo está asociada a los estados cuánticos en la imagen de Schrödinger y a los operadores en la imagen de Heisenberg.

También existe una formulación intermedia conocida como imagen de interacción (o imagen de Dirac ) que es útil para realizar cálculos cuando un hamiltoniano complicado tiene una descomposición natural en un hamiltoniano "libre" simple y una perturbación .

Las ecuaciones que se aplican en una imagen no necesariamente se aplican en las demás, porque las transformaciones unitarias dependientes del tiempo relacionan los operadores de una imagen con los operadores análogos de las otras. No todos los libros de texto y artículos detallan de qué imagen proviene cada operador, lo que puede generar confusión.

En mecánica cuántica elemental, el estado de un sistema mecánico cuántico se representa mediante una función de onda de valor complejo ψ ( x , t ) . De manera más abstracta, el estado puede representarse como un vector de estado, o ket , | ψ ⟩. Este ket es un elemento de un espacio de Hilbert , un espacio vectorial que contiene todos los estados posibles del sistema. Un operador mecánico cuántico es una función que toma un ket | ψ ⟩ y devuelve algún otro ket | ψ′ ⟩.

Las diferencias entre las representaciones de la mecánica cuántica de Schrödinger y Heiseinberg giran en torno a cómo tratar con sistemas que evolucionan en el tiempo: la naturaleza dependiente del tiempo del sistema debe ser soportada por alguna combinación de los vectores de estado y los operadores. Por ejemplo, un oscilador armónico cuántico puede estar en un estado | ψ ⟩ para el cual el valor esperado del momento, , oscila sinusoidalmente en el tiempo. Uno puede entonces preguntarse si esta oscilación sinusoidal debería reflejarse en el vector de estado | ψ ⟩, el operador de momento , o ambos. Las tres opciones son válidas; la primera da la representación de Schrödinger, la segunda la representación de Heisenberg y la tercera la representación de interacción. ${\displaystyle \langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle }$${\displaystyle {\hat {p}}}$

La imagen de Schrödinger es útil cuando se trata con un hamiltoniano independiente del tiempo H , es decir, . ${\displaystyle \partial _{t}H=0}$

El operador de evolución temporal U ( t , t ₀ ) se define como el operador que actúa sobre el ket en el tiempo t ₀ para producir el ket en algún otro tiempo t :

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

Para los sujetadores , en cambio, tenemos

${\displaystyle \langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).}$

El operador de evolución temporal debe ser unitario . Esto se debe a que exigimos que la norma del estado ket no cambie con el tiempo. Es decir,

${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

Por lo tanto,

${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=I.}$

Cuando t  = t ₀ , U es el operador identidad , ya que

${\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},t_{0})|\psi (t_{0})\rangle .}$

La evolución temporal desde t ₀ hasta t puede considerarse como una evolución temporal en dos etapas: primero desde t ₀ hasta un tiempo intermedio t ₁ y luego desde t ₁ hasta el tiempo final t . Por lo tanto,

${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}).}$

Eliminamos el índice t ₀ en el operador de evolución temporal con la convención de que t ₀ = 0 y lo escribimos como U ( t ). La ecuación de Schrödinger es

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle ,}$

donde H es el hamiltoniano . Ahora, utilizando el operador de evolución temporal U para escribir , tenemos ${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle }$

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle .}$

Dado que es una ket constante (la ket de estado en t = 0 ), y dado que la ecuación anterior es verdadera para cualquier ket constante en el espacio de Hilbert, el operador de evolución temporal debe obedecer la ecuación ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)=HU(t).}$

Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, la solución de la ecuación anterior es ^[1]

${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }.}$

Como H es un operador, esta expresión exponencial debe evaluarse mediante su serie de Taylor :

${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots .}$

Por lo tanto,

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$

Nótese que es un ket arbitrario. Sin embargo, si el ket inicial es un estado propio del hamiltoniano, con valor propio E , obtenemos: ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$

Así vemos que los estados propios del hamiltoniano son estados estacionarios : sólo toman un factor de fase global a medida que evolucionan con el tiempo.

Si el hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos en diferentes momentos conmutan, entonces el operador de evolución temporal se puede escribir como

${\displaystyle U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$

Si el hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos en diferentes momentos no conmutan, entonces el operador de evolución del tiempo se puede escribir como

${\displaystyle U(t)=\mathrm {T} \exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right),}$

donde T es el operador de ordenación temporal , que a veces se conoce como la serie de Dyson, en honor a Freeman Dyson .

La alternativa a la imagen de Schrödinger es cambiar a un sistema de referencia giratorio, que a su vez es girado por el propagador. Como ahora la rotación ondulatoria la asume el propio sistema de referencia, una función de estado no perturbada parece ser verdaderamente estática. Esta es la imagen de Heisenberg (abajo).

La imagen de Heisenberg es una formulación (realizada por Werner Heisenberg mientras estaba en Heligoland en la década de 1920) de la mecánica cuántica en la que los operadores ( observables y otros) incorporan una dependencia del tiempo, pero los vectores de estado son independientes del tiempo.

En la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica, el vector de estado, , no cambia con el tiempo, y un observable A satisface ${\displaystyle |\psi \rangle }$

donde H es el hamiltoniano y [•,•] denota el conmutador de dos operadores (en este caso H y A ). Al tomar valores esperados se obtiene el teorema de Ehrenfest que aparece en el principio de correspondencia .

Según el teorema de Stone-von Neumann , la imagen de Heisenberg y la imagen de Schrödinger son unitariamente equivalentes. En cierto sentido, la imagen de Heisenberg es más natural y conveniente que la imagen equivalente de Schrödinger, especialmente para las teorías relativistas . La invariancia de Lorentz se manifiesta en la imagen de Heisenberg. Este enfoque también tiene una similitud más directa con la física clásica : al reemplazar el conmutador anterior por el corchete de Poisson , la ecuación de Heisenberg se convierte en una ecuación de la mecánica hamiltoniana .

El valor esperado de un observable A , que es un operador lineal hermítico para un estado dado , viene dado por ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$

$${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A|\psi (t)\rangle .}$$

En la imagen de Schrödinger , el estado en el tiempo t está relacionado con el estado en el tiempo 0 mediante un operador de evolución temporal unitario , : Si el hamiltoniano no varía con el tiempo, entonces el operador de evolución temporal se puede escribir como donde H es el hamiltoniano y ħ es la constante de Planck reducida . Por lo tanto, ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle U(t)}$$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle .}$$$${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar },}$$

$${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}$$

Definamos entonces: $${\displaystyle A(t):=e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }.}$$

Resulta que $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A(t)&={\frac {i}{\hbar }}He^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }+{\frac {i}{\hbar }}e^{iHt/\hbar }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hbar }\\&={\frac {i}{\hbar }}e^{iHt/\hbar }\left(HA-AH\right)e^{-iHt/\hbar }+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(HA(t)-A(t)H\right)+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }.\end{aligned}}}$$

La diferenciación se realizó según la regla del producto , mientras que ∂ A /∂ t es la derivada temporal de la A inicial , no el operador A ( t ) definido. La última ecuación se cumple ya que exp(− iHt / ħ ) conmuta con H .

De donde surge la ecuación de movimiento de Heisenberg anterior, ya que la dependencia funcional convectiva de x (0) y p (0) se convierte en la misma dependencia de x ( t ), p ( t ), de modo que el último término se convierte en ∂ A ( t )/∂ t . [ X ,  Y ] es el conmutador de dos operadores y se define como [ X , Y ] := XY − YX . $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar },}$$

La ecuación se resuelve mediante A ( t ) definida anteriormente, como es evidente mediante el uso del operador estándar identidad , que implica $${\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots .}$$$${\displaystyle A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A]]]+\dots }$$

Esta relación también es válida para la mecánica clásica , el límite clásico de lo anterior, dada la correspondencia entre corchetes de Poisson y conmutadores , en la mecánica clásica, para una A sin dependencia explícita del tiempo, por lo que, de nuevo, la expresión para A ( t ) es la expansión de Taylor alrededor de t = 0. $${\displaystyle [A,H]\leftrightarrow i\hbar \{A,H\}}$$$${\displaystyle \{A,H\}={\frac {d}{dt}}A\,,}$$

Las relaciones de conmutación pueden verse diferentes a las de la imagen de Schrödinger, debido a la dependencia temporal de los operadores. Por ejemplo, considere los operadores x ( t ₁ ), x ( t ₂ ), p ( t ₁ ) y p ( t ₂ ) . La evolución temporal de esos operadores depende del hamiltoniano del sistema. Considerando el oscilador armónico unidimensional,

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}}$,

La evolución de los operadores de posición y momento viene dada por:

${\displaystyle {d \over dt}x(t)={i \over \hbar }[H,x(t)]={\frac {p}{m}}}$,

${\displaystyle {d \over dt}p(t)={i \over \hbar }[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x}$.

Derivando ambas ecuaciones una vez más y resolviéndolas con las condiciones iniciales adecuadas,

${\displaystyle {\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0},}$

${\displaystyle {\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}},}$

conduce a

${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t)}$,

${\displaystyle p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)}$.

El cálculo directo produce relaciones de conmutador más generales,

${\displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$,

${\displaystyle [p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$,

${\displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})}$.

Para , uno simplemente recupera las relaciones de conmutación canónicas estándar válidas en todas las imágenes. ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$

La imagen de interacción es más útil cuando la evolución de los observables se puede resolver con exactitud, limitando cualquier complicación a la evolución de los estados. Por esta razón, el hamiltoniano para los observables se llama "hamiltoniano libre" y el hamiltoniano para los estados se llama "hamiltoniano de interacción".

Los operadores y vectores de estado en la imagen de interacción están relacionados mediante un cambio de base ( transformación unitaria ) con esos mismos operadores y vectores de estado en la imagen de Schrödinger.

Para pasar a la imagen de interacción, dividimos el hamiltoniano de la imagen de Schrödinger en dos partes,

Cualquier elección posible de partes producirá una imagen de interacción válida; pero para que la imagen de interacción sea útil para simplificar el análisis de un problema, las partes normalmente se elegirán de manera que sean bien entendidas y exactamente solucionables, mientras que contengan alguna perturbación más difícil de analizar para este sistema. ${\displaystyle H_{0,S}}$${\displaystyle H_{1,S}}$

Si el hamiltoniano tiene una dependencia explícita del tiempo (por ejemplo, si el sistema cuántico interactúa con un campo eléctrico externo aplicado que varía en el tiempo), normalmente será ventajoso incluir los términos explícitamente dependientes del tiempo con , dejando independiente del tiempo. Procedemos asumiendo que este es el caso. Si hay un contexto en el que tiene sentido que sea dependiente del tiempo, entonces se puede proceder reemplazando por el operador de evolución temporal correspondiente en las definiciones siguientes. ${\displaystyle H_{1,S}}$${\displaystyle H_{0,S}}$${\displaystyle H_{0,S}}$${\displaystyle e^{\pm iH_{0,S}t/\hbar }}$

Un vector de estado en la imagen de interacción se define como ^[2]

donde es el mismo vector de estado que en la imagen de Schrödinger. ${\displaystyle |\psi _{S}(t)\rangle }$

Un operador en la imagen de interacción se define como

Tenga en cuenta que normalmente no dependerá de t y se puede reescribir simplemente como . Solo depende de t si el operador tiene "dependencia temporal explícita", por ejemplo debido a su dependencia de un campo eléctrico externo aplicado y variable en el tiempo. ${\displaystyle A_{S}(t)}$${\displaystyle A_{S}}$

Para el propio operador , la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger coinciden, ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle H_{0,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{0,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=H_{0,S}.}$

Esto se ve fácilmente por el hecho de que los operadores conmutan con funciones diferenciables de sí mismos. Este operador en particular puede entonces llamarse H ₀ sin ambigüedad.

Para el hamiltoniano de perturbación H _{1, I} , sin embargo,

${\displaystyle H_{1,I}(t)=e^{iH_{0,S}t/\hbar }H_{1,S}e^{-iH_{0,S}t/\hbar },}$

donde el hamiltoniano de perturbación de la imagen de interacción se convierte en un hamiltoniano dependiente del tiempo, a menos que [ H _1,s , H _0,s ] = 0 .

También es posible obtener la imagen de interacción para un hamiltoniano dependiente del tiempo H _0,s ( t ), pero las exponenciales deben reemplazarse por el propagador unitario para la evolución generada por H _0,s ( t ), o más explícitamente con una integral exponencial ordenada en el tiempo.

Se puede demostrar que la matriz de densidad se transforma en la imagen de interacción de la misma manera que cualquier otro operador. En particular, sean y la matriz de densidad en la imagen de interacción y la imagen de Schrödinger, respectivamente. Si existe la probabilidad de estar en el estado físico , entonces ${\displaystyle \rho _{I}}$${\displaystyle \rho _{S}}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$

${\displaystyle \rho _{I}(t)=\sum _{n}p_{n}(t)|\psi _{n,I}(t)\rangle \langle \psi _{n,I}(t)|=\sum _{n}p_{n}(t)e^{iH_{0,S}t/\hbar }|\psi _{n,S}(t)\rangle \langle \psi _{n,S}(t)|e^{-iH_{0,S}t/\hbar }=e^{iH_{0,S}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0,S}t/\hbar }.}$

Transformando la ecuación de Schrödinger en la imagen de interacción obtenemos:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t)\rangle =H_{1,I}(t)|\psi _{I}(t)\rangle .}$

Esta ecuación se denomina ecuación de Schwinger - Tomonaga .

Si el operador es independiente del tiempo (es decir, no tiene "dependencia temporal explícita"; ver arriba), entonces la evolución temporal correspondiente para viene dada por: ${\displaystyle A_{S}}$${\displaystyle A_{I}(t)}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{I}(t)=\left[A_{I}(t),H_{0}\right].\;}$

En la imagen de interacción los operadores evolucionan en el tiempo como los operadores en la imagen de Heisenberg con el hamiltoniano . ${\displaystyle H'=H_{0}}$

Transformando la ecuación de Schwinger-Tomonaga en el lenguaje de la matriz de densidad (o equivalentemente, transformando la ecuación de von Neumann en la imagen de interacción) obtenemos:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{I}(t)=\left[H_{1,I}(t),\rho _{I}(t)\right].}$

La imagen de interacción no siempre existe. En las teorías de campos cuánticos interactuantes, el teorema de Haag establece que la imagen de interacción no existe. Esto se debe a que el hamiltoniano no se puede dividir en una parte libre y otra interactuante dentro de un sector de superselección. Además, incluso si en la imagen de Schrödinger el hamiltoniano no depende del tiempo, p. ej. H = H ₀ + V , en la imagen de interacción sí lo hace, al menos, si V no conmuta con H ₀ , ya que

${\displaystyle H_{\rm {int}}(t)\equiv e^{{(i/\hbar })tH_{0}}\,V\,e^{{(-i/\hbar })tH_{0}}}$.

La imagen de Heisenberg es la más cercana a la mecánica hamiltoniana clásica (por ejemplo, los conmutadores que aparecen en las ecuaciones anteriores corresponden directamente a los corchetes de Poisson clásicos ). La imagen de Schrödinger, la formulación preferida en los textos introductorios, es fácil de visualizar en términos de rotaciones de vectores de estado en el espacio de Hilbert , aunque carece de generalización natural a sistemas invariantes de Lorentz. La imagen de Dirac es más útil en la teoría de perturbaciones no estacionarias y covariantes, por lo que es adecuada para la teoría cuántica de campos y la física de muchos cuerpos .

Es evidente que los valores esperados de todos los observables son los mismos en las imágenes de Schrödinger, Heisenberg y de interacción.

${\displaystyle \langle \psi \mid A(t)\mid \psi \rangle =\langle \psi (t)\mid A\mid \psi (t)\rangle =\langle \psi _{I}(t)\mid A_{I}(t)\mid \psi _{I}(t)\rangle ~,}$

como deben hacerlo.

• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• Notación de corchetes

• Cohen-Tannoudji, Claude ; Bernard Diu; Frank Laloe (1977). Mecánica cuántica (volumen uno) . París: Wiley. pp.  312– 314. ISBN. 0-471-16433-X.
• Albert Messiah , 1966. Mecánica cuántica (Vol. I), traducción al inglés del francés de GM Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E. , Mecánica cuántica (3.ª ed., John Wiley 1998) pág. 430-1 ISBN 0-471-88702-1 
• LD Landau , EM Lifshitz (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista . Vol. 3 (3.ª ed.). Pergamon Press . ISBN. 978-0-08-020940-1.Copia en línea
• R. Shankar (1994); Principios de la mecánica cuántica , Plenum Press, ISBN 978-0306447907 . 
• JJ Sakurai (1993); Mecánica cuántica moderna (edición revisada), ISBN 978-0201539295 . 

• Ayudas pedagógicas para la teoría cuántica de campos Haga clic en el enlace del capítulo 2 para encontrar una introducción extensa y simplificada a la imagen de Heisenberg.