La fórmula de Dynkin

En matemáticas —específicamente, en análisis estocástico— la fórmula de Dynkin es un teorema que proporciona el valor esperado de cualquier función adecuadamente suave aplicada a un proceso de Feller en un tiempo de parada . Puede verse como una generalización estocástica del (segundo) teorema fundamental del cálculo . Recibe su nombre en honor al matemático ruso Eugene Dynkin .

Sea un proceso de Feller con generador infinitesimal . Para un punto en el espacio de estados de , sea la ley del dato inicial dado , y sea la expectativa con respecto a . Entonces, para cualquier función en el dominio de , y cualquier tiempo de parada con , se cumple la fórmula de Dynkin : ^[1]${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{x}}$${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización X_{0}=x$${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{x}}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización A}$ ${\estilo de visualización \tau}$${\displaystyle \mathbf {E} [\tau ]<+\infty }$

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].}$

Sea la difusión de Itô con valor - que resuelve la ecuación diferencial estocástica${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}.}$

El generador infinitesimal de se define por su acción sobre funciones con soporte compacto (dos veces diferenciables con segunda derivada continua) como ^[2]${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización C^{2}}$${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}}$

o, equivalentemente, ^[3]

${\displaystyle Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\big (}\sigma \sigma ^{\top }{\big )}_{i,j}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).}$

Como se trata de un proceso de Feller, se cumple la fórmula de Dynkin. ^[4] De hecho, si es el primer tiempo de salida de un conjunto acotado con , entonces la fórmula de Dynkin se cumple para todas las funciones , sin el supuesto de soporte compacto. ^[4]${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización \tau}$ ${\displaystyle B\subconjunto \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {E} [\tau ]<+\infty }$${\estilo de visualización C^{2}}$${\estilo de visualización f}$

La fórmula de Dynkin se puede utilizar para encontrar el tiempo de primera salida esperado de un movimiento browniano desde la bola cerrada que, cuando comienza en un punto en el interior de , está dado por ${\displaystyle \tau_{K}}$ ${\estilo de visualización B}$ ${\displaystyle K=\{x\in \mathbf {R} ^{n}:\,|x|\leq R\},}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización K}$

${\displaystyle \mathbf {E} ^{a}[\tau _{K}]={\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )}.}$

Esto se muestra de la siguiente manera. ^[5] Fije un entero j . La estrategia es aplicar la fórmula de Dynkin con , , y un con soporte compacto con en . El generador del movimiento browniano es , donde denota el operador laplaciano . Por lo tanto, por la fórmula de Dynkin, ${\estilo de visualización X=B}$${\displaystyle \tau =\sigma _{j}=\min\{j,\tau _{K}\}}$${\displaystyle f\en C^{2}}$${\displaystyle f(x)=|x|^{2}}$${\estilo de visualización K}$${\displaystyle \Delta /2}$${\estilo de visualización \Delta}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{a}\left[f{\big (}B_{\sigma _{j}}{\big )}\right]&=f(a)+\mathbf {E} ^{a}\left[\int _{0}^{\sigma _{j}}{\frac {1}{2}}\Delta f(B_{s})\,\mathrm {d} s\right]\\&=|a|^{2}+\mathbf {E} ^{a}\left[\int _{0}^{\sigma _{j}}n\,\mathrm {d} s\right]=|a|^{2}+n\mathbf {E} ^{a}[\sigma _{j}].\end{aligned}}}$

Por lo tanto, para cualquier , ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \mathbf {E} ^{a}[\sigma _{j}]\leq {\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )}.}$

Ahora concluyamos que es casi seguro , y así lo afirmamos. ${\displaystyle j\to +\infty }$${\displaystyle \tau _{K}=\lim _{j\to +\infty }\sigma _{j}<+\infty }$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{a}[\tau _{K}]=(R^{2}-|a|^{2})/n}$

Fuentes

• Dynkin, Eugene B .; trans. J. Fabio; V. Greenberg; A. Maitra; G. Majone (1965). Procesos de Markov. Vols. Yo, II . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bände 121. Nueva York: Academic Press Inc.(Véase Vol. I, pág. 133)
• Kallenberg, Olav (2021). Fundamentos de la probabilidad moderna (tercera edición). Springer. ISBN 978-3-030-61870-4.
• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (sexta edición). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1.(Véase la sección 7.4)